Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

 Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko
jaurtiketak

Irismen maximoa
plano horizontalean

Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Auto batetik proiektil bat gorantz jaurti

Erreferentzia

Orri honetan ariketa ezberdin bi proposatzen dira, baina bietan agerian uzten da tiro parabolikoa bi mugimenduren konposaketa dela:

• Higidura uniformea X ardatz horizontalaren norabidean.
• Higidura uniformeki azeleratua Y ardatz bertikalaren norabidean.

Itua erorketa askean

Harri bat jatorritik jaurtitzen da botila baten kontra eta une berean botila erortzen uzten da bertikalki. Kalkula bitez harriaren jaurtiketaren abiadura eta angelua justu botilari jotzeko. (har bedi  g=9.8 m/s2)

Erantzun bedi honako galdera hau intuizioz, kalkulurik egin gabe: botilaren altuera nulua balitz, alegia hasieran harria eta botila altuera berean baleude, zein izan beharko litzateke tiroaren angelua?

Harriaren mugimendua grabitatearen azelerazio konstantepekoa da, hau da, bi mugimenduren konposaketa:

• Uniformea ardatz horizontalean

a_x= 0
v_x= v_0·cosθ
x= v₀·cosθ·t

• Uniformeki azeleratua ardatz bertikalean.

  a_y= -g
  v_y= v_0·sinθ-g·t
  y= v₀·sinθ·t-gt²/2

Botila bertikalki mugitzen da, baina grabitatearen azelerazio konstantepean ere.

a= -g
v= -g·t
y= y₀ -gt²/2

Talka gertatzen bada, harriaren eta botilaren posizioak berdinak dira:

Ekuazio bi horietan azken terminoa sinplifikatuz eta gero zatitzen badira (bigarrena zati lehena): Hau da, harriak botilari jotzeko, jaurtitzen den unean botilari zuzen-zuzen apuntatu behar dio, eta botila erortzen uzten den aldiune berean harria jaurti.

Adibidea:

• Botilaren hasierako posizioa: x₀=50 m eta  y₀=30 m

• Tiroaren abiadura  v₀=20 m/s

Harria jaurtitzeko behar den angelua hau da: tanθ=30/50, θ=31º

Eta kolpea gertatzen den tokiaren posizioa: x= 50 m. Zein aldiunetan gertatzen den kalkulatzeko:

20·cos31º·t=50, eta hemendik  t=2.92 s

Denbora horretan botilaren posizioa hau da:

y=y₀-gt²/2, alegia, y=30-9.8·2.92²/2= -11.65 m (zoruaren azpitik)

Tiroaren abiadura bizkorragoa balitz, esaterako v₀=40 m/s, kolpea zoruaren gainetik gertatuko litzateke y=19.2 m.

Saiakuntza

Berria botoia sakatzean programak zenbaki aleatorio berri bi sortzen ditu botilaren posizioa adierazteko (x₀, y₀).

Ondoren idatzi:

• Tiroaren abiadura m/s-tan, idatziz zein desplazamendu-barran eragiten.
• Tiroaren Angelua, gradutan, idatziz zein desplazamendu-barran eragiten.

Tiro egin botoia sakatu.

Asmatzen ez bada, angelua edo abiadura alda daitezke eta berriro saiatu tiro egin sakatuz. Asmatzen bada, interesgarria da abiadura aldatzea eta berriro tiro egitea, berriz asmatuko delako.

Auto batetik proiektil bat gorantz jaurti

Atal honetan proiektil baten mugimendua aztertuko da, baina mugitzen ari den auto batetik jaurtita. Autoaren higidura ere hiru mota ezberdinekoa izan daiteke:

• Zuzen horizontalean zehar mugitzen ari da.
• Malda inklinatu batean gora igotzen ari da.
• Malda inklinatu batean behera jaisten ari da.

Autoa zuzen horizontalean zehar mugitzen ari da

Demagun auto bat zuzen horizontalean mugitzen ari dela v_0x abiaduraz, eta proiektil bat jaurtitzen duela bertikalki eta gorantz v_0y abiaduraz, irudiak erakusten duen bezala:

Autoa X ardatz horizontalean mugitzen ari da v_0x abiadura konstanteaz. Hortaz, bere posizioa t aldiunean hau da:

x’ = v_0x·t

Eta proiektilaren posizioa denboraren menpe:

x=v_0x·t
y=v_0y·t-gt²/2

Proiektila berriz ere ardatz horizontalera itzultzen denean (y=0) iragandako denbora hau da:

T=2v_0y/g

Eta irismen horizontala

R=2v_0x·v_0y/g

Baina hau da autoak ibili duen x’  distantzia T denboran. Beraz autoak proiektila jaurti du koordenatuen jatorrian eta gero berriz jasotzen du posizio honetan: R=2v_0x·v_0y/g

Adibidea:

v_0x=15 m/s
v_0y=10 m/s

Proiektilak berriro ardatz horizontalera iristeko behar duen T denbora eta R irismen horizontala:

Autoak denbora berean ere x’=30.6 m aurreratzen ditu.

Autoa malda inklinatu batean gora igotzen ari da

Demagun autoa malda inklinatu batean gora igotzen ari dela eta θ angelua duela.

Irudian adierazten den erreferentzia sistema aukeratuko dugu, alegia X ardatza horizontala eta Y ardatza bertikala. Proiektilaren hasierako abiaduraren X eta Y osagaiak kalkulatu behar dira. Bere mugimendua bi mugimendu konposatu dira: X ardatz horizontalean uniformea eta Y ardatz bertikalean uniformeki azeleratua.

x=(v_0x·cosθ-v_0y·sinθ)·t
y=(v_0x·sinθ+v_0y·cosθ)·t-gt²/2

Proiektilak berriro erortzean malda inklinatua joko du: y=x·tanθ.  Denbora kalkula daiteke:

Jaurtiketa puntutik inpaktu puntura dagoen distantzia hau da:

Autoa malda inklinatuan gora mugitzen ari da. Demagun ez dagoela marruskadurarik eta aske dagoela, motorrik gabe. Autoaren pisuaren osagaia mg·sinθ da, abiaduraren aurkakoa. Autoaren higiduraren ekuazioa honakoa da:

x’ =v_0x·t-g·sinθ·t²/2

T denboran, alegia, proiektilak malda berriro jotzen duen aldiunean, autoak ibili duen distantzia R-ren berdina da berriro. Beraz autoak proiektila jaurti du koordenatuen jatorrian, t=0 aldiunean, eta gero berriz jasotzen du T aldiunean jatorritik R distantziara, planoan gora neurtuta.

Kasu berezia da proiektila Y ardatz bertikalean gora eta behera mugitzen den kasua. Baldin  x=0, v_0x·cosθ-v_0y·sinθ=0, edo bestela:

Kasu horretan proiektila jatorritik jaurti justu Y ardatz bertikalaren norabidean, gora eta behera, eta berriro jatorrian bertan erortzen da.

Erreferentzia sistema aldatzea

Ariketa bera azter daiteke baina bestelako erreferentzia sistema ezberdina erabilita: X ardatza plano inklinatuaren paraleloa eta Y ardatza planoaren perpendikularra.

Grabitatearen azelerazioa, g, bertikala da eta beherantz: irudiak erakusten ditu bere osagaiak erreferentzia sistema berrian.

Autoaren hasierako abiadura v_0x da. Bere x’  posizioa denboraren menpe hau da:

x’ =v_0x·t-g·sinθ·t²/2

Eta proiektilaren mugimendua ardatz hauetan bi mugimenduren konposaketa da: biak uniformeki azeleratuak.

x= v_0x·t-g·sinθ·t²/2
y=v_0y·t-gcosθ·t²/2

Proiektilak berriro malda inklinatura iristeko, y=0, behar duen T denbora eta R irismen horizontala:

Autoak T denboran ibili duen x' distantzia R-ren berdina da berriro. Beraz autoak proiektila jaurti du koordenatuen jatorrian, t=0 aldiunean, eta gero berriz jasotzen du T aldiunean jatorritik R distantziara.

Eta honako baldintza betetzen denean:

Proiektila jatorritik abiatu, justu Y ardatz bertikalaren norabidean, gora eta behera, eta berriro jatorrian bertan erortzen da. Hori egiaztatzeko proiektilaren x(t) posizioaren ekuazioan ordezkatu behar da v_0x-en ordez, v_0y·tanθ, eta gero atal biak bidertu bider cosθ. Proiektilaren y(t) posizioaren ekuazioan bidertu atal biak bider sinθ. Eta honakoa geratzen da:

x·cosθ=y·sinθ. hau da  y=x/tanθ,  justu zuzen bertikalaren ekuazioa.

Adibidea:

θ=20º
v_0x=15 m/s
v_0y=10 m/s

Proiektilak berriro ardatz horizontalera iristeko behar duen T denbora eta R irismen horizontala:

Autoak denbora berean ere x’=24.7 m aurreratzen ditu.

Autoaren abiadura beste hau balitz: v_0x=10·tan20=3.64 m/s. Orduan proiektila justu norabide bertikalean gora eta behera mugitu eta berriro jatorrian bertan eroriko litzateke.

Autoa malda inklinatu batean behera jaisten ari da

Demagun autoa malda inklinatu batean behera jaisten ari dela bere pisu hutsez, motorrik gabe.

Har dezagun erreferentzia sistema gisa, X ardatza malda inklinatuaren paraleloa eta Y ardatza perpendikularra.

Grabitatearen azelerazioa, g, bertikala da eta beherantz: irudiak erakusten ditu bere osagaiak erreferentzia sistema berrian.

Autoaren hasierako abiadura v_0x da. Bere x’  posizioa denboraren menpe hau da:

x’ =v_0x·t + g·sinθ·t²/2

Eta proiektilaren posizioa ardatz hauetan:

x= v_0x·t +g·sinθ·t²/2
y=v_0y·t-gcosθ·t²/2

Proiektilak berriro malda inklinatura iristeko, y=0, behar duen T denbora eta R irismen horizontala:

Autoak T denboran ibili duen x' distantzia R-ren berdina da berriro. Beraz autoak proiektila jaurti du koordenatuen jatorrian, t=0 aldiunean, eta gero berriz jasotzen du T aldiunean jatorritik R distantziara.

Adibidea:

θ=20º
v_0x=15 m/s
v_0y=10 m/s

Proiektilak berriro ardatz horizontalera iristeko behar duen T denbora eta R irismen horizontala:

Autoak denbora berean ere x’=40.5 m aurreratzen ditu.

Saiakuntza

Idatzi behar da:

• Planoaren malda kontrolean angelua gradutan, idatziz zein desplazamendu-barran eragiten.
• Autoaren hasierako abiadura, v_0x, idatziz zein desplazamendu-barran eragiten.
• Proiektila jaurtitzeko abiadura finkoa hartu da: v_0y=10 m/s

Hasi botoia sakatu.

Froga bedi kalkuluak egiten eta honako erreferentzia sistema ezberdin biak erabilita:

• X ardatza horizontala eta Y ardatza  bertikala.
• X ardatza plano inklinatuaren paraleloa eta Y ardatza perpendikularra.