Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko
jaurtiketak

Irismen maximoa
plano horizontalean

 Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Irismena

Hasierako eta amaierako abiadurak

Adibidea

Saiakuntza

Erreferentzia

Tiro parabolikoaren orrian frogatzen da irismen maximoa 45º-ko angeluaz lortzen dela, kanoia eta itua plano horizontal berean daudenean.

Honako orri honetan, jaurtigaiaren mugimendua aztertuko dugu baina itua plano inklinatu batean kokatzen denean, eta baldintza horietan irismen maximoa lortzeko zein angelurekin jaurti behar den.

Adibide honek ibilbide parabolikoa zehazkiago aztertzeko balio du eta funtzio trigonometrikoak praktikatzeko, besteak beste, sinua, kosinua eta tangentea.

Irismena

Proiektila koordenatuen jatorritik jaurtitzen da v₀ abiaduraz eta horizontalarekin θ angelua osatuz. Zorua aldapatsua da eta α malda osatzen du horizontalarekin. Mugimendua deskribatzeko erabiltzen den erreferentzi sistema irudian erakusten da.

Jaurtigaiaren abiaduraren osagaiak denboraren menpe honakoak dira:

v_x=v₀·cosθ
v_y=v₀·sinθ-g·t

Eta posizioa denboraren menpe:

x= v₀·cosθ·t
y= v₀·sinθ·t-g·t²/2

Bi ekuazio horiek ibilbidearen ekuazio parametrikoak dira, eta t denbora finkatzen bada jaurtigaiaren x eta y posizioa ematen dute.

Baina inpaktu-puntuaren koordenatuak aldapan daudenez, y=x·tanα, baldintza bete behar dute. x eta y ekuazio horretan ordezkatuz ekuazio bakar bat geratzen da, t denboraren menpekoa, eta bertatik jaurtiketaren iraupena kalkula daiteke:

Gero, aldapan gora neurtutako R irismena ere kalkula daiteke:

Beste erreferentzia-sistema

Jaurtigaiaren mugimendu osoa beste erreferentzia-sistema baten ikuspegitik ere azter daiteke: izan ere, X ardatza aldaparen paraleloa eta Y ardatza perpendikularra.

Grabitatearen azelerazioa, g, bertikala da eta beherantz; ardatz hauetan bere osagaiak eta hasierako v₀ abiadurarenak goiko irudian erakusten dira. Hona jaurtigaiaren higiduraren ekuazioak:

x=v₀·cos(θ-α)·t-g·sinα·t²/2
y=v₀·sin(θ-α)·t-g·cosα·t²/2

Jaurtiketaren iraupena kalkulatzeko, y=0 baldintza ezarri eta denbora bakan daiteke:

T iraupenaren balioa x-ren ekuazioan ordezkatuz irismena kalkulatzen da:

Lehen, beste ardatzetan, lortutako emaitza bera, noski.

Ondorengo irudiak R irismena adierazten du jaurtiketaren θ angeluaren menpe (θ>α)

Irismen maximoa

Irismenaren adierazpena deribatuz θ angeluaren menpe, eta deribatua nulua dela inposatuz, irismen maximoa lortzen duen θ_m angelua kalkulatzen da:

Beraz, R irismen maximoa lortzeko honako θ angeluaz jaurti behar da:

Irismen maximoa, deribaturik kalkulatu gabe.

Deribatuak kalkulatzen ibili gabe ere irismen maximoko θ_m angelua kalkula daiteke:

Ibilbidearen ekuazio parametrikoetatik, t denbora eliminatuz, ibilbide parabolikoaren adierazpen esplizitua lortzen da: (gogoan izan 1/cos²θ=1+tan²θ)

Eta inpaktu-puntuaren koordenatuak, x₀ eta y₀, aldapan daudenez:  y₀=x₀·tanα. Ordezkatzean lortzen den ekuazioa tanθ-ren menpeko bigarren graduko ekuazioa da:

Eta bigarren graduko ekuazio horren emaitzak:

Hortaz badaude bi angelu irismen bera lortzen dutenak. Irudian erakusten dira θ₁ eta θ₂ angeluekin burututako jaurtiketak eta irismen bera lortzen dute: R<R_m.

Bigarren graduko ekuazioen (ax²+bx+c=0) soluzioek honako ezaugarriak dituzte:

Hortik, θ₁ eta θ₂angeluak erlaziona daitezke:

Irismena handitzen joan ahala, θ₁ eta θ₂  angelu biak gero eta gertuago daude eta irismen maximoan berdinak dira. Soluzio biak berdinak direnean θ_m=θ₁=θ₂.

Azken emaitza hau deribatuekin lortutako bera da, θ_m = α/2+π/4 , eta irismenaren adierazpenean angelu hori ordezkatzen bada irismen maximoa lortzen da:

Badago beste modu bat ere irismen maximoa lortzeko: tanθ -ren menpeko bigarren graduko ekuazioak orokorrean bi soluzio ditu, baina diskriminatzailea zero denean bakarra du, eta horixe da maximoa:

Hortik R_m bakandu eta θ_m ordezkatu α/2+π/4, adierazpen bera lortzen da R_m irismen maximorako.

Jaurtiketa θ_m angeluaz gauzatzen bada, bere iraupena hau da:

Eta adierazpen hori sinplifikatuz honakoa lortzen da:

Hasierako eta amaierako abiadurak

Amaierako abiadurak X ardatzarekin osatzen duen angelua hau da:

Eta irismen maximoa lortzen duen angelurako: θ_m=π/4+α/2

Irismen maximoa lortzen denean, hasierako eta amaierako abiadurak (v₀ eta v_f ) elkarren perpendikularrak dira.

Adibidea

• Jaurtiketaren abiadura v₀=60 m/s

• Aldaparen malda α=20º

• Jaurtiketaren angelua θ₁=60º

Irismena bere adierazpenean ordezkatuz lortzen da:

Eta jaurtiketaren iraupena:

• Demagun jaurtiketaren angelua bestelakoa dela: θ₁=50º

Irismen bera lortzen da:

Eta jaurtiketaren iraupena motzagoa:

• Irismen maximoa lortzen duen angelua honakoa da: (ikusi lehengo azken irudia)

Eta irismen maximoa hau da:

Eta jaurtiketaren iraupena:

• Irismen bera lortzen duten angeluak ere kalkula daitezke. Esate baterako R=200 m.

Zein angelurekin jaurti behar da 200 m-ko irismena lortzeko? tanθ-ren menpeko bigarren graduko ekuazioan angelu bi kalkulatzen dira baldin eta R<R_m bada.

x₀=R·cosα, x₀=200·cos20º=187.9 m

Hona emaitza biak: θ₁=37.7º eta  θ₂=72.3º,  egiazta daitekeenez  θ₁+θ₂=90+20=110º, eta θ₁<θ_m<θ₂

Saiakuntza

Jaurtiketaren abiadura finkoa hartu da: v₀=60 m/s.

Ondoko datuak aukeratu behar dira:

• Aldaparen α angelua, planoaren malda izeneko desplazamendu-barran eragiten edo laukian idatzita. Angelu hori positiboa zein negatiboa izan daiteke.

• Jaurtiketaren θ angelua desplazamendu-barran eragiten edo laukian idatzita.

Hasi botoia sakatu.

Jaurtigaiaren ibilbide osoa beha daiteke lurra jotzen duen arte. Applet-aren goiko aldean honako datuak ematen dira:

• Denbora t,

• Abiaduraren osagaiak v_x eta v_y,

• Posizioa, x eta y. Irismena kalkulatzeko:

Programa interaktiboak jaurtigaiaren ibilbideak irudikatzen ditu: lehenagoko jaurtiketa urdinez eta une horretako azkena gorriz. Planoaren malda aldatzen ez badugu, θ angelu ezberdinekin saia gaitezke eta irismen maximoko angelua aurkitu, saio ezberdinekin apurka hurbiltzen joanda.