Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko
jaurtiketak

Irismen maximoa
plano horizontalean

Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

 Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Jaurtiketa-angeluak

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan artilleriako egoera bat deskribatzen da, baina bere soluzioa ez da erraza.

Kanioi batek proiektil bat jaurtitzen du v abiaduraz eta θ angelua osatzen horizontalarekin. Itua tanke bat da, d distantziara dagoena tiroaren aldiunean, baina u abiadura konstanteaz mugitzen ari da, izan ere kanioiarenganantz. Kalkulatu nahi da, zein angelurekin (edo angeluekin) jaurti behar den proiektila tankeari jotzeko.

Deskribapena

Jaurtigaia grabitatearen azelerazio konstantepean mugitzen da, eta mugimendu biren konposaketa da:

• Bata uniformea X ardatz horizontalean zehar

a_x=0
v_x=v·cosθ
x= v·cosθ·t

• Eta bestea uniformeki azeleratua Y ardatz bertikalean zehar

a_y= -g
v_y=v·sinθ-g·t
y= v·sinθ·t-gt²/2

Tankearen higidura, ordea, zuzena da eta uniformea. Bere posizioa denboraren menpe hau da:

x=d -u·t

Jaurtigaiak lurra joko du  y=0 baldintza betetzen denean, alegia t=2·v·sinθ/g aldiunean.

Aldiune horretan, tankearen eta jaurtigaiaren x posizio horizontalak berdinak izatea nahi da:

Datuen arabera eta hasierako baldintzen arabera hiru kasu gerta daitezke:

1. Tankearen hasierako posizioa ezaguna da, d, eta jaurtiketaren θ angelua eta v abiadura ere ezagunak dira. Orduan kalkulatu daitekeena tankearen abiadura da:

2. Tankearen hasierako posizioa ezaguna da, d, jaurtiketaren θ angelua eta tankearen u abiadura ere ezagunak dira. Orduan kalkulatu daitekeena jaurtiketaren v abiadura da:

3. Kasurik interesgarriena da ezagunak direnean, tankearen hasierako posizioa, d, eta u abiadura eta jaurtiketaren v abiadura. Kalkulatu nahi dena jaurtiketaren angelua edo angeluak.

Jaurtiketa-angeluak

Lehengo ekuazioa, transzendentea dela ikusten da, eta bere soluzioak aurkitu nahi dira:

v²·sin(2θ)+2u·v·sinθ-d·g=0

Ekuazio transzendenteak ebazteko zenbait prozedura daude; sinpleena agian z=f(θ) funtzioa grafikoki irudikatzea:

z=v²·sin(2θ)+2u·v·sinθ-d·g

Eta funtzio horrek ardatz horizontala mozten duen tokiak gutxi gora behera aurkitzea (ikusi irudia: 26°eta 72º inguru).

Funtzio horrek maximo bat ere badu:

Izan ere, maximoaren θ_m angelua d distantziaren independentea da:

Bila ari garen bi angeluak, θ₁ eta θ₂ , honako tarteetan daude hurrenez hurren (0, θ_m) eta (θ_m, π/2). Ekuazio transzendentea ebazteko eta hortaz soluzio biok aurkitzeko "erdiko puntuaren metodoa" ere erabil daiteke.

Badago d_m distantzia posible bat,  f(θ_m) ekuazio transzendenteak soluzio bakarra ematen duena: z=0.

Kasu horretan funtzioaren maximoak, θ_m-k, baldintza hau betetzen du:

Kanioiaren eta tankearen arteko d distantzia d_m baino handiagoa bada, ez dago angelu posiblerik proiektilak tankeari jotzeko, ekuazio transzendenteak soluziorik edo errorik ez duelako, irudiak erakusten duenez,

Saiakuntza

• Proiektilaren v abiadura finkoa hartu da: 100 m/s.
• Kanioiaren eta tankearen arteko d distantzia ere finkoa hartu da: 1000 m.
• Berria botoia sakatzean programak aleatorioki zenbaki bat sortzen du, 0 eta 50 artean, eta horrek adierazten du tankearen u abiadura.
• Jaurtiketaren angelua aukeratzeko dagokion laukian idatzi, gradutan, edo desplazamendu barrari eragin.

Hasi botoia sakatu.

Tankea mugitzen hasten da, bere hasierako posiziotik abiatuta, x=1000 m, jatorrirantz, hau da, kanioia dagoen tokirantz.

• Tiroak huts egiten badu, angelua alda daiteke eta berriro tiro egin Hasi botoia sakatuz. Tankea berriro bere hasierako tokian kokatzen da eta abiadura berdinaz mugitzen da.
• Angelu ezberdinak saia daitezke ituan doi-doi jo arte.

Taula batean z funtzioaren balioak idatzi, θ jaurtiketa-angelu ezberdinen menpe eta grafiko batean irudikatu.

z=v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

• Jaurtiketaren abiadura v=100 m/s
• Tankearen u abiadura programak berak asmatzen du, baina leihatilaren eskumako eta goiko aldeko datuen artean "ituaren abiadura" erakusten du.
• Tankearen hasierako distantzia d=1000 m,
• g=9.8 m/s².

Ekuazio transzendentearen erroak (soluzioak) eta programarekin jolasean lortutako angeluak berdinak direla egiazta daiteke.

Adibidea:

Tankearen abiadura u=20.0 m/s bada, z=f(θ) funtzioaren maximoa hau da:

Tankeari jotzea lortzen duten bi angeluak hauek dira: θ₁=26.6º eta θ₂=71.5º, goian lehen irudikatu den grafikoan ikus daitekeen bezala.