Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko
jaurtiketak

Irismen maximoa
plano horizontalean

Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Irismen horizontal maximoa

Altuera maximoa

Inguratzailearen ekuazioa

Saiakuntza

Erreferentzia

Deskribapena

Aterki bat, R erradioduna, bustita dago eta biraka ari da bere kirtenaren inguruan (simetria ardatza), ω abiadura angeluar konstanteaz eta plano bertikalean. Ur-tantak aterkiaren hagatxoen ertzetan askatu egiten dira, denak abiadura berdinaz, v₀= ωR , baina norabide ezberdinetan. Tanten abiadurak norabide tangentea du, irudiko bektore gorriak erakusten duen bezalakoa.

Tanta baten posizioa hau da: x0=R·cosθ y0=R·sinθ eta hagatxoaren ertzetik askatzean honelako abiadura du: v0= ωR  eta bere norabideak osatzen duen angelua α=θ+π/2.

Askatu ondoren ur-tantaren posizioa denboraren menpe:

x= x₀+v₀ ·cosα·t
y= y₀+ v₀ ·sinα·t-gt²/2

edo bestela:

x= R·cosθ -v₀ ·sinθ·t
y= R·sinθ +v₀·cosθ·t-gt²/2

Irismen horizontal maximoa

Demagun aterkiaren zentroa lurretik h altueran dagoela. Tanta batek duen irismen horizontala kalkulatzeko, higiduraren ekuazioetan bakarrik ezarri behar da   y= -h baldintza.

x= R·cosθ-v₀ ·sin(θ)·t
-h= R·sinθ+v₀·cos(θ)·t-gt²/2

θ angelua jakinda, jaurtiketaren iraupena kalkula daiteke bigarren ekuazioarekin, eta gero t lehen ekuazioan ordezkatu eta x irismen horizontala kalkulatzen da.

Guri interesatzen zaiguna da, zein θ_m angelurekin edo zein posiziotan egon behar den ur-tanta askatzean, ahalik eta urrutien iristeko. Ondorengo irudian angelu bi adierazten dira x_m irismen maximoa lortzen dutenak.

Lehen ekuazioan, x irismen horizontala t iraupenaren menpekoa da eta askatzearen θ angeluarena. Eta bigarren ekuazioan t iraupena askatze angeluaren menpekoa da. Irismen maximoa kalkulatzeko prozedura da, x adieraztea soilik θ-ren menpe eta gero deribatzea: dx/dθ=0, baina kasu honetan ez dirudi erraza. Erreferentzian aipatutako prozedura jarraituko dugu θ_m angelua kalkulatzeko.

Tiro parabolikoaren ekuazioak bektorialki idatz daitezke:

r(t)=r₀+v₀·t+gt²/2

eta hemen:

r= xi+yj,
r₀=Rcosθ·i+ Rsinθ·j, 
v₀= -v₀sinθ·i+v₀cosθ·j
g= -g·j

Irudika ditzagun hiru bektoreok: r₀, v₀·t, gt²/2, eta guztion batura den r bektorea: ezkerreko irudiak horixe erakusten du. Eskumako irudiak erakusten ditu OAB eta OBC hirukiak eta OB aldea hipotenusa da bietan. Honako baldintza betetzen da:

Honela lortzen da x adieraztea soilik t-ren menpe:

Bere maximoa kalkulatzeko t-rekiko deribatu behar da:

Eta t_m denbora horretarako x_m irismena hau da:

Kalkula dezagun orain, irismen maximoa duen ur-tanta batek, alegia (-x_m , -h) posiziora iristen dena, zein angelurekin jaurtia izan den: hori da θ_m. Aurreko irudian, eskumako aldean, erakusten da θ_m= π-α-β.

Eta kalkula dezagun baita ere (x_m , -h) posiziora iristen den tanta, zein angelurekin jaurtia izan den: θ_m.

Azken irudi honen eskumako aldean,erakusten da θ_m=2π-(α-β)=2π-α+β.

Altuera maximoa

Izan ere θ=0 posiziotik jaurtitzen den ur-tanta guztiz bertikalki irteten da:

v_y=v₀-gt
y=v₀·t-gt²/2

Eta atzematen duen altuera maximoa kalkula daiteke: v_y=0 baldintza ezarriz,

Baina badaude beste tanta batzuk altuera hori baino gorago iristen direnak, eta kalkulatuko dugu zein angeluaz jaurtiak izan diren.

Ur tanta bat θ angelutik askatzen bada bere abiaduraren osagai bertikala denboraren menpe hau da:

v_y= v₀·cos(θ) -gt
y= R·sinθ+v₀·cos(θ)t-gt²/2

Altuera maximoa atzematen da v_y=0 denean, eta hauxe balio du:

Baina y altuera maximoa izateko θ angeluaren menpe, dy/dθ=0

Ekuazio horren soluzio bat hau da: cosθ=0, beraz, θ=π/2, alegia ur-tanta horizontalki jaurtitzen denean. Beste soluzioa hauxe da:

Eta posizio horretatik askatzen den ur-tantak atzematen duen altuera maximoa hau da:

Posizio horretan bere x osagaia nulua da, x_m=0, beheko irudian ikusten den bezala.

Inguratzailearen ekuazioa

Irudiak erakusten duen bezala, ur-tanten ibilbideek (gorriek) inguratzaile bat dute (urdina) eta bera ere parabola da. Inguratzailea Y ardatzarekiko simetrikoa da, beraz, bere ekuazioa honelakoa izan behar da: y=ax²+b. Parabola hori bi puntu hauetatik pasatzen da:  (0, y_m) eta (x_m, -h). Datu horiekin inguratzailearen a eta b koefizienteak kalkula daitezke, ekuazio bi planteatuz ezezagun biak kalkulatu:

Inguratzailearen ekuazioa (kasurako), honako parabola da:

Saiakuntza

Idatzi beharreko datuak:

• Aterkiaren erradioa finkotzat hartu da R=1 m eta altuera 8m.

• Aterkiaren ω abiadura angeluarra, rad/s-tan, dagokion laukian idatziz edo desplazamendu-barra saguaz mugiarazten.

Hasi botoia sakatu.

Programa interaktiboak, aterkiak askatutako hamabi hagatxoetako ur-tantak eta ibilbideak erakusten ditu, izan ere, honako angeluez askatzen dira: 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270, 300º, eta 330º.

Eskuz kalkula daitezke zenbait ur-tantek duten irismen horizontala eta erorketaren iraupena, esaterako θ=90º eta θ=270º posiziotan askatzen direnak.

Adibidea:

Demagun ω=9.04 rad/s, beraz, v₀=9.04 m/s.

• Har dezagun θ=60º posizioan askatzen den ur-tanta:

Ur-tanta horren posizioa denboraren menpe:

x=1.0·cos60º-9.04·sin60º·t
y=1.0·sin60º+ 9.04·cos60º·t-9.8·t²/2

Lurrera iristeko, y= -8 m, erorketaren iraupena t=1.88 s da eta irismen horizontala x= -14.24 m.

• Lehenago egindako kalkuluak aplikatuz, kalkula dezagun zein den irismen horizontal maximoa, alegia, urrutien iristen den tantarena:

Eta lurrera iristeko tardatzen duen denbora:

Irismen horizontal maximoa duten ur-tanta biak honako posiziotan askatzen dira:

• Eta altuera maximoa atzematen duen ur-tanta honako posizioan askatzen da:

Eta hauxe da atzematen duen y_m altuera maximoa:

Eskuz egindako kalkuluak eta programa interaktiboak emandakoak errazago konparatzeko, Gelditu/Jarraitu botoiak eta Pausoka botoia erabil daitezke, ur-tanta konkretu bat lurrera iristen den aldiunea edo irismena egiaztatzeko.