Zinematika |
Higidura kurboa Magnitude zinematikoak Tiro parabolikoa Higidura konposatuak Kanioi bat apuntatzea itu finko bati jotzeko Hegazkin batetik itu mugikorra bonbardatzea Saskibaloiko jaurtiketak Irismen maximoa plano horizontalean Irismen maximoa plano inklinatuan
Jaurtigai batekin itu mugikor bat jotzea Gurpil batetik askatzen den buztin-zatia Tiro parabolikoa eta higidura zirkularra Torpedo bat itsasontzi baten atzetik |
Ibilbidearen ekuazioa Ibilbideak eta X ardatz horizontalak mugatutako azalera |
|
|
Orri honetan, aurrekoetan bezala, proiektil bat jaurtitzen da tiro parabolikoaz koordenatuen jatorritik v0 abiaduraz eta θ angeluaz horizontalarekiko, baina bestelako ezaugarri batzuk aztertuko ditugu:
Ibilbidearen ekuazioaProiektil bat jaurtitzen da tiro parabolikoaz, koordenatuen jatorritik v0 abiaduraz eta θ angeluaz horizontalarekiko. Higiduraren ekuazioak honakoak dira: · X ardatz horizontalean zehar: · Y ardatz bertikalean zehar: x eta y-ren ekuazioetatik, bietatik, denbora eliminatuz ibilbidearen ekuazio esplizitua lortzen da:
IrismenaInpaktu-puntuaren x posizioa irismena deitzen da, R, eta ibilbidearen ekuazioan y=0 baldintza ezarrita lortzen da.
R-ren balio maximoa lortzen da θ=45º-ko angeluaz jaurtita. Tiroaren iraupenaPosizio bertikalaren ekuazioan y=0 ezarrita eta denbora bakanduz, soluzio bi lortzen dira: bata t=0, jaurtiketaren uneari dagokiona, eta bestea:
Iraupenaren balio maximoa lortzen da θ=90º-ko angeluaz jaurtita, alegia proiektila bertikalki jaurtita, eta ibilbidea kasu horretan zuzen bertikal bat da.
Ibilbideak eta X ardatz horizontalak mugatutako azalera
Ibilbideak eta X ardatz horizontalak mugatzen duten azalera kalkulatzeko, irudiak erakusten duen y·dx azalera diferentzialak hartu behar dira, eta azalera totalerako honako integral mugatua kalkulatzen da:
Azaleraren adierazpen hori ondorengo irudiak erakusten du; ibilbideak eta X ardatz horizontalak mugatzen duten A azalera totala da, baina jaurtiketaren θ angeluaren menpe. Azalera handitzen da θ angelua handitzean, baina maximo bat atzematen duen arte, gero berriro gutxitzen da eta azkenik zero da berriro θ=90º denean.
Azalera angeluaren menpe deskribatzen duen funtzioa honelakoa da, f(θ)=sin3θ·cosθ , ba kalkula dezagun bere maximoa non dagoen:
Zeinu positiboa bakarrik aukeratzen da, negatiboak ez duelako zentzu fisikorik, eta beraz θ=60º. Proiektil bat, θ=60º angeluaz jaurtitzen bada ibilbideak eta X ardatz horizontalak mugatzen duten A azalera totala maximoa da. Ibilbidearen luzera
Ibilbidearen luzera kalkulatzeko irudiak erakusten duen elementu diferentzialak hartu behar dira (gorria): elementu horren luzera hiruki zuzen baten hipotenusa da eta bere aldeak dx eta dy:
Ibilbide osoaren luzera kalkulatzeko honako integral mugatua kalkulatu behar da:
Baina integral hori itxuraz honelakoa da:
Bere soluzioa ez da ebidentea, baina Kalkulu Diferentzial eta Integraleko liburuetan badator:
Aldagaia aldatzerakoan, u-tik x-ra, integralaren mugak ere aldatu behar dira:
Erlazio hau kontuan izanda: 1+tan2θ=1/cos2θ
Funtzio hori behean erakusten da grafikoki adierazita, alegia, jaurtigaiak ibilitako ibilbidearen L luzera jaurtiketaren θ angeluaren menpe. Ikusten denez, θ angelua handitzen den heinean L luzera ere handituz doa, baina maximo batera iritsi arte, gero berriro gutxitzen da:
Maximoa aurkitzeko L(θ) deribatu behar da θ angeluarekiko eta zero balio behar duela inposatu. Ekuazio horretatik kalkulatzen da luzera maximoa lortzen duen θ angelua, alegia ibilbide luzeena dakarren jaurtiketa-angelua.
Baina geratzen den ekuazioa transzendentea da:
Aurreko irudian ikusten denez, L(θ) funtzioaren maximoa 50 eta 60º-ren artean nonbait dago. Orri honen amaieran prozedura bat erakusten da, Java hizkuntzako kodean idatzita, ekuazio transzendenteak ebazteko. Prozedura horren izena "erdiko puntuaren prozedura" da, eta aurreko irudi horren kasurako maximoa lortzen du θm=56.46º angeluan.
Jaurtiketa-puntuaren eta proiektilaren arteko distantziaJaurtiketa puntua koordenatuen jatorria da eta proiektilaren posizioa (x, y). Bien arteko d distantzia edozein t aldiunetan hau da:
Eta d distantzia maximoa (edo minimoa) izateko, denborarekiko deribatu eta zero balioa inposatu:
Ekuazio horretan t bat sinplifikatuz, bigarren graduko ekuazioa geratzen da, eta emaitza bi ditu:
Emaitza horiek errealak dira bakarrik diskriminatzailea positiboa edo nulua denean:
Emaitza horrek esan nahi du, jaurtiketaren angelua θ< θ0 bada, d distantziak ez duela maximorik ez minimorik, alegia, proiektilaren eta jatorriaren arteko distantzia hazi egiten dela etengabe, beraz, bere balio maximoa atzematen dela jaurtiketa amaitzean, hau da, lurra jotzean. Kasu horretan d distantzia maximoa R irismena da eta T=2v0sinθ/g aldiunean gertatzen da, alegia jaurtiketaren iraupena. Bestalde, θ>θ0 bada, bi emaitza dauzkagu, t+ eta t-, konpara ditzagun biak: t+ aldiunean jatorriaren eta proiektilaren arteko distantzia d+ da eta hau da bere balioa:
t- aldiunean ordea, jatorriaren eta proiektilaren arteko distantzia d- da eta hona bere balioa:
Bi distantzia horiek konparatuz, egiaztatzen da d- handiagoa dela d+ baino:
θ>θ0=70.5º Orduan bigarren graduko ekuazioaren soluzio bietatik (t+ eta t-) bigarrena bakarrik hartu behar da kontuan zeren d->d+ (bakarrik θ>θ0=70.5º baldin bada). Froga daiteke t+ eta d+ minimo bat dela. Gainera, egiaztatzen da t- aldiunea jaurtiketaren T iraupena baino txikiagoa dela beti.
Konpara ditzagun orain d- eta R irismena: gerta daiteke d- distantzia maximo bat izan arren, R irismena baino txikiagoa izatea. Kalkula dezagun zein angelurekin (θ1) lortzen den d- handiagoa izatea R baino.
Eta azken ekuazio hori berridatziz (sinq=x): 11x8-31x6+28x4-7x2-1=0 Ekuazioa faktoretan berridatziz: 11x8-31x6+28x4-7x2-1=(x-1)2 (x+1)2(11x4-9x2-1) Lehen bi faktoreetan ikusten da, soluzio erreal eta bikoitz bi dituela: x=1 eta x= -1 (θ=±90º) Hirugarren eta azken faktorea (11x4-9x2-1=0) bi bider karratua da, eta soluzioa kalkulatzeko aldagai aldaketa egiten da: z=x2 Orduan, 11z2-9z-1=0 Ekuazio horren soluzioak errealak dira: x=±0.95775, eta honako angeluei dagozkie θ= ±arcsinx= ±73.3º Orduan, jaurtiketa-angelua θ≥θ1=73.3º bada, proiektilaren eta jatorriaren arteko d- distantzia t- aldiunean R irismena baino handiagoa da, bestela txikiagoa da. Gaineko irudiak erakusten du jatorriaren eta proiektilaren arteko d distantzia maximoa egiten duen tm aldiunea. Lehenik, θ<θ1=73.3º baldin bada, d distantzia maximoa R irismena da, eta denbora tm=T , alegia, jaurtiketaren iraupena. Harritzekoa da kurba hori θ=θ1=73.3º angeluan ez-jarraitua dela. Ondoren, θ>θ1 denean tm=t- da eta distantzia maximoa dm=d-. Parametro bi horiek, t- eta d- , θ jaurtiketa-angeluaren menpe atal honetan bertan deduzitu dira. Adibidea:
SaiakuntzaJaurtiketaren abiadura finkotzat hartu da: v0=60 m/s. Idatzi beharreko datua
Hasi botoia sakatu. Jaurtiketa eta ibilbide osoa behatzen da. Goiko aldean parametro guztien balioak erakusten dira: t denbora, d distantzia eta x eta y posizioak. Jaurtigaiaren eta jatorriaren arteko d distantzia behatzen bada, ikusiko da 70.5º baino angelu txikiagoaz jaurtiz gero, distantzia handitzen joango dela denbora osoan zehar, lurra jotzen duen arte. Jaurtiketaren angelua 70.5º eta 73.3º bitartean badago, d distantziak badauka maximo bat t- aldiunean baina gero minimo bat t+ aldiunean eta berriz handitzen da. Kasu honetan maximoa irismena da. Azkenik, jaurtiketaren angelua 73.3º baino handiagoa bada, orduan distantzia maximoa t- aldiunean gertatzen da eta programak hala adierazten du, tmax goiko aldeko datuen artean idatziz eta marra gorri batez tiro parabolikoaren irudian. |
Sarafian H. On projectile motion. The Physics Teacher. Vol 37, February 1999, pp. 86-88
Hu H, Yu J. Another look at projectile motion. The Physics Teacher Vol 38, October 2000, pp. 423
Mirabelli A. A new projectile problem and the attribution of continuity. Am. J. Phys. 54 (3) March 1986, pp. 278-279
public class Ecuacion {
static final double CERO=1e-10;
static final double ERROR=0.001;
static final int MAXITER=200;
public static void main(String[] args) {
double aIni=50*Math.PI/180;
double aFin=60*Math.PI/180;
double raiz=puntoMedio(aIni, aFin);
System.out.println(raiz*180/Math.PI);
}
static double puntoMedio(double a, double b) {
double m, ym;
int iter=0;
do{
m=(a+b)/2;
ym=f(m);
if(Math.abs(ym)<CERO) break;
if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
if((f(a)*ym)<0) b=m;
else a=m;
iter++;
}while(iter<MAXITER);
if(iter==MAXITER){
System.out.println("No se ha encontrado la raíz");
}
return m;
}
static double f(double x){
double y=1.0-Math.sin(x)*Math.log((1+Math.sin(x))/Math.cos(x));
return y;
}
}
|
Bestelako maximo
batzuk
