Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko
jaurtiketak

 Irismen maximoa
plano horizontalean

Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Proiektil bat jaurti pendulu sinple batetik

Erreferentziak

Tiro parabolikoaren kapituluan frogatu dugu, kanoia eta itua biak altuera berean daudenean, irismen maximoa 45º-ko angeluaz jaurtita lortzen dela.

Orri honetan aztertuko dugu zein angelurekin jaurti behar den proiektila h altueratik jaurtitzen denean.

Adibide honek ibilbide parabolikoa zehazkiago aztertzeko balio du eta funtzio trigonometrikoak praktikatzeko, besteak beste, sinua, kosinua eta tangentea.

Proiektil bat jaurti altuera batetik

Proiektil bat jaurtitzen da h altueratik v_o abiaduraz eta θ angelua osatuz horizontalarekin. Higidura deskribatzeko erreferentzia-sistema aukeratu behar da, hain zuzen, irudian adierazten dena:

Hona jaurtigaiaren abiaduraren osagaiak denboraren menpe:

v_x=v₀·cosθ
v_y=v₀·sinθ-g·t

Eta jaurtigaiaren posizioa denboraren menpe:

x= v₀·cosθ·t
y= h+v₀·sinθ·t-g·t²/2

Horiexek dira, hain zuzen, ibilbidearen ekuazio parametrikoak, eta t denboraren datua emanda jaurtigaiaren x eta y posizioa lortzen da.

Tiroaren T iraupena kalkula daiteke, bigarren ekuazioan y=0 baldintza ezarrita eta denbora bakanduz:

Jaurtigaia lurrera iristen da t=T aldiunean. Eta denbora horixe lehen ekuazioan ordezkatuta irismena lortzen da, alegia jatorritik inpaktuaren punturaino dagoen R distantzia horizontala.

Irudian grafiko batez adierazten da R irismena jaurtiketaren θ angeluaren menpe (v_o=60ms eta h altuera 200m hartu da):

Jaurtigaia lurrera iristean abiadura du, eta abiadura horren v_y osagaia hau da:

Jaurtigaia lurrera iristean duen abiadura osoa, v_f , eta horizontalarekin osatzen duen angelua, j, honakoak dira: (ikusi aurreragoko irudia)

Amaierako abiaduraren v_f  modulua energiaren kontserbazioa aplikatuz ere kalkula daiteke, eta noski emaitza bera lortzen da:

Irismen maximoa

Irismena, R, deribatzen bada jaurtiketaren θ angeluarekiko eta deribatua nulua dela ezartzen bada, irismen maximoa lortzen duen θ_m angelua ematen du:

Ekuazio hori osorik karratura berretuz eta sinplifikatuz,

Orduan, R irismen maximoa lortzen duen θ_m angelua hau da:

Aipagarria da h=0 denean irismen maximoa lortzen duen θ_m angelua 45° dela, bestela θ_m angelua v_o-ren menpekoa da.

Irismen maximoa (R_m) ere kalkulatzen da, R irismenaren ekuazioan cosθ eta sinθ ordezkatzen badira. Erabili euren adierazpenak z-ren menpe eta gero ordezkatu z-ren balioa:

Irismen maximoa, R_m, beste modu batean ere adieraz daiteke θ_m angeluaren menpe:

Eta honako erlazio trigonometrikoa kontutan izanda

Irismen maximoaren adierazpen laburrena lortzen da:

R_m=h·tan(2θ_m)

Eta tiroaren iraupena T_m angelu horretarako θ_m :

Irismen maximoa deribatuak kalkulatu gabe

Irismen maximoko θ_m angelua deribatuak kalkulatu gabe ere lor daiteke:

Ibilbidearen ekuazio parametrikoetan t denbora elimina daiteke eta parabolaren ekuazio inplizitua lortzen da (gogoan izan gainera 1/cos²θ=1+tan²θ).

Lurra jotzen den tokian y=0, eta  tanθ-ren menpeko bigarren graduko ekuazio bat lortzen da:

ekuazio horrek bi soluzio ditu R<R_m denean, soluzio bakar bat R=R_m denean eta bat bera ere ez R>R_m denean. Ikus bedi irudia:

Horrek esan nahi du, bigarren graduko ekuazioaren diskriminatzailea nulua izan behar dela θ_m angeluari dagokion soluzioarentzat, eta horrela irismen maximoa lortzen da.

Emaitza hori bera lortu dugu lehenago deribatuen bitartez.

Hasierako abiadura eta amaierako abiadura

Amaierako abiadura eta X ardatzarekin osatzen duen angelua kalkulatzen dira:

Jaurtiketaren angelua, θ_m, eta abiadura bektoreak lurrera iristean osatzen duen φ_m angelua  erlazionatuta daude:

Beraz, hasierako abiadura-bektorea eta amaierakoa elkarren perpendikularrak dira irismen maximoa lortzen denean.

Adibidea:

• Tiroaren abiadura: v₀=60 m/s,

• Jaurtigaiaren hasierako altuera: h=200 m.

• Tiroaren angelua θ=30º.

Irismena, R, kalkulatzen da:

Tiroaren iraupena, T , hau da:

• Irismen maximoa lortzeko angelua ordea (ikusi azken irudia):

Angelu horretarako irismena eta iraupena beste honakoak dira:

• Irismen maximoa baino laburragoa lortzeko, R<R_m , adibidez R=450 m, angelu bi lortzen dira:

Angelu bi horiek kalkulatzeko, tanθ-ren menpeko bigarren graduko ekuazioa erabiltzen da.

 

θ₁=10.8º, eta  θ₂=55.3º,  eta ikusten denez, θ₁<θ_m<θ₂

Demagun atleta batek pisu bat jaurtitzen duela h altueratik, v0 abiaduraz eta θ angelua osatzen horizontalarekin, ahalik eta urrutien iristeko asmoz.

Adibidez h=2.1 m bada eta lortu nahi duen irismena R_m=22 m bada, jaurtiketaren angelu optimoa θ_m hau da:

R_m=h·tan(2θ_m)     θ_m=42.3º

Jaurtiketa erreal bat konplikatuagoa da, θ angeluaren arabera h altuera bera aldatzen delako, irudiak erakusten duen bezala. Izan ere h=H+b·sinθ, eta hemen H sorbaldaren altuera da eta b besoaren luzera, gainera v_o bakoitzerako θ_m angelu ezberdina ematen du. (irakur bedi De Luca-ren artikulua, 2005).

Saiakuntza

Idatzi ondorengo datuak:

• Proiektila jaurtitzen den posizioa: Y altuera, desplazamendu barrari eragiten edo laukian idazten.

• Jaurtiketaren θ angelua desplazamendu barrari eragiten edo laukian idazten.

• Jaurtiketaren abiadura finkoa hartu da: v₀=60 m/s.

Hasi botoia sakatu.

Jaurtigaiaren ibilbidea behatzen da lurra jotzen duen arte. Leihatilaren goiko aldean datu guztiak erakusten dira:

• Denbora t,

• Abiaduraren osagaiak: v_x eta v_y.

• Posizioa: x eta y.

Jaurtigaiak lurra jotzen duenean jaurtiketari dagozkion datuok apunta ditzakegu eta kalkuluen bitartez egiaztatu: x irismena, jaurtiketaren t iraupena, amaierako abiadurak v_x eta v_y .

Programa interaktiboak jaurtigaiaren ibilbideak irudikatzen ditu: lehenagoko jaurtiketa urdinez eta une horretako azkena gorriz. Altuera aldatzen ez badugu, θ angelu ezberdinekin saia gaitezke eta irismen maximoko angelua aurkitu, saio ezberdinekin apurka hurbiltzen joanda.

Proiektil bat jaurti pendulu sinple batetik

Demagun orain proiektila (m masaduna) l luzeradun soka batean eskegitzen dela. Oreka-posiziotik albo batera eraman eta utzi egiten bada, oszilatzen hasiko da pendulu sinplearen kapituluan azaltzen den bezala.

Proiektila (eta pendulua) albo batera eramaten da, θ₀ angeluraino oreka-posizioarekiko, eta utzi. Gero, pendulua mugitzen ari denean, soka moztu egiten da aukerako angelu batean  θ<|θ₀| eta proiektila parabola bat segituz erortzen da ondorengo irudiak erakusten duen bezala (airearen marruskadura arbuiatzen da).

Energiaren kontserbazioaren printzipioa

Proiektila pausagunetik abiatzen da θ₀ abiatze-angeluaz eta v=0 abiaduraz. Penduluan lotuta, zirkulu bat jarraitzen du eta θ angeluraino iristean (askatze-angelua) askatu egiten dugu v abiaduraz. Ondoren parabola jarraituz lurreraino iritsiko da. Energia potentzialaren jatorria edo zero-maila lurrean bertan kokatzen badugu:

Tiro parabolikoaren ekuazioak

Proiektilaren erorketa parabolikoa deskribatzeko ardatz koordenatuak kokatu behar dira, X eta Y, esate baterako irudiak erakusten duen bezala: X lurrean eta Y penduluaren oreka posizioan: θ=0.

Proiektila askatzen da v abiaduraz, θ angelua osatuz horizontalarekin eta h=H+(l-lcosθ) altueratik. Hemen  H+l  da penduluaren zentroaren altuera.

Proiektilaren posizioa denboraren menpe hau da:

x= l·sinθ+v·cosθ·t
y= h+v·sinθ·t-g·t²/2

Aurreko ataleko kalkuluen prozedura bera jarraituz lor daitezke: R irismena ibilbidearen bigarren ekuazioan y=0 baldintza ezarriz, tiroaren iraupena (edo t denbora) bakanduz eta ibilbidearen lehen ekuazioan ordezkatuz:

R irismena θ angeluaren menpe soilik ere adieraz daiteke, v eta z ordezkatuz:

Irismenaren adierazpen hori erabiliz, eta θ₀  abiatze-angelua ezaguntzat hartuta, irismen maximoa lortzen duen θ angelua kalkulatzen saiatuko gara.

Irismen maximoa

Proiektilaren abiatze-angelua, θ₀, ezaguntzat hartuta irismen maximoko  θ_m angelua kalkulatuko dugu:

Aurreko irudiak erakusten du R irismena θ askatze-angeluaren menpe, baina θ₀=80º kasurako. Irismen maximoa lortzen duen θ_m angelua lortzeko, R irismenaren ekuazioa deribatu behar da θ askatze-angeluarekiko eta deribatua nulua dela ezarri, alegia honako ekuazioa ebatziz: dR/dθ=0.

Deribatua egitean ekuazio kubikoa lortzen da, eta erreferentzietan aipatzen den bigarren artikuluan azaltzen den bezala, ekuazio horren erro errealak kalkulatu behar dira:

eta hemen x=cosθ_m

Adibidea:

• Penduluaren luzera l=0.6 m

• Proiektilaren altuera oreka posizioan, H=1.0 m

• Pendulua albora eramaten da oreka posizioarekiko θ₀=80º

• Proiektila askatu egiten da penduluaren sokak askatze-angelu hau osatzen duenean: θ=30º

Proiektila askatzen denean hauxe da bere abiadura:

Higiduraren ekuazioak:

x= 0.6·sin30+2.85·cos30·t
y= 1.0+0.6-0.6·cos30+2.85·sin30·t-9.8·t²/2

Irismena kalkulatzeko y=0 baldintza ezarri behar da. Gero t-ren menpeko bigarren graduko ekuazio hori ebazten da eta soluzio positiboa aukeratzen da: t=0.64 s

Lehen ekuazioan irismena kalkulatzen da: x=1.87 m

Irismenaren adierazpena erabilita, bitarteko kalkulurik egin gabe, irismena zuzenean kalkula daiteke:

Eta irismen maximoko θ_m askatze-angelua kalkulatzeko ekuazio kubikoa ebatzi behar da:

x³+a·x²+bx+c=0

hemen  a=2.32, b=0, c= -2.49

Kalkuluak burutuz,

Eta R²>Q³ denez, orduan ekuazioak soluzio erreal bakarra du:

Eta askatze-angelua x₁=cosθ_m,  

Angelu hori, θ_m=28.1º, lehenagoko grafikoan baiezta daiteke.

Saiakuntza

• Penduluaren luzera finkoa hartu da: l=0.6 m.

• Jaurtigaiaren altuera oreka-posizioan ere finkoa hartu da: H=1.0 m

Berria botoia sakatu eta idatzi ondorengo datuak:

• Pendulua albora eramaten den θ₀ abiatze-angelua desplazamendu barrari eragiten edo laukian idazten.

• Jaurtigaia askatzeko, penduluak bertikalarekin osatzen duen θ askatze-angelua desplazamendu barrari eragiten edo laukian idazten.

Hasi botoia sakatu.

Jaurtigaia lurrera iristen denean, datu-bikote bat idatzita agertzen da applet-aren ezkerraldeko leihatilan: askatze-angelua θ eta irismena R. Errepika ezazu zenbait alditan askatze-abiadura ezberdinak erabiliz.

Grafikoa botoia sakatuz programak R(θ) kurba adierazten du urdinez, alegia, irismena askatze-angeluaren menpe, baina aukeratutako abiatze-angelu finko horretarako. Lortutako datu-bikote esperimentalak puntu gorriez adierazten dira kurbaren gainean, eta programak irismen maximoko θ_m askatze-angelua ere kalkulatzen du.