Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko
jaurtiketak

Irismen maximoa
plano horizontalean

Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Buztinaren posizioa eta abiadura askatu ondorengo t aldiunean

Erreferentziak

Gurpil batek R erradioa du eta v_o abiadura konstanteaz mugitzen ari da plano horizontal batean zehar. Gurpilaren ertzean buztin zati bat dago itsatsita eta bat batean askatu egiten da. Kalkula bedi buztin zatiak atzemango duen altuera maximoa.

Irudian adibide bat erakusten da: buztin zatia askatu eta lurrera erori arte segitzen duen ibilbidea.

Arazo hau oso interesgarria da buztinak atzematen duen altuera maximoa angeluaren araberakoa delako, baina soilik gurpilaren  abiadurak muga kritiko bat gainditzen duenean.

Buztinaren hasierako abiadura

Solido zurrunaren ikasgaian higidura mota hau zehazki aztertzen da: gurpilak irristatu gabe errodatzen badu, bi higidura sinple ezberdinen gainezarketa da:

• Translazioa, masa-zentroak duena v_o abiaduraz.

• Errotazioa, ω abiadura angeluarraz: errotazio-ardatza gurpilaren perpendikularra da eta masa-zentrotik pasatzen da.

Gurpilak irristatzen ez badu, zorua ukitzen duen kontaktu-puntua pausagunean dago, alegia, bere abiadura nulua da. Beraz translazioa eta errotazioa erlazionatuta daude:  v₀=ω·R

Bestalde, buztin-zatiaren mugimendua deskribatzeko, erreferentzia-sistema bat aukeratuko dugu, irudiak adierazten duena. Erreferentzia-sistema horretan buztin zatiaren hasierako posizioa honakoa da: x=0, y=0.

Buztin zatiaren posizioa eta abiadura askatzen den unean, t₀ aldiunean

Gurpila mugitzean, t=t₀ aldiunean distantzia bat desplazatu da: v₀·t₀ . Eta errotazioaz biratu duen angelua honako hau da: φ=ω·t₀. Hortaz, buztin-zatiaren posizioa aldiune horretan:

x₀=v₀·t₀ -R·sinφ
y₀=R -R·cosφ

Eta buztinaren abiadura:

v_0x=v₀ - v₀·cosφ
v_0y= v₀·sinφ

Abiadura-bektore horren modulua eta norabidea (horizontalarekin osatzen duen q angelua) honakoak dira:

Une horretantxe askatu egiten da, eta ondoren ibilbide parabolikoa jarraitzen du.

Adibidez:

• φ=0 denean, v=0.

• φ=π/2 denean, eta θ=π/4.

• φ=π denean, v=2v₀  eta θ=0.

Saiakuntza

Ondorengo programa interaktiboak jaurtiketaren v abiadura eta θ norabidea kalkulatzen ditu, gurpilaren φ posizio angeluarra emanda.

Datuak:

• Gurpilaren erradioa finkotzat hartu da: R=1 m.

• Gurpilaren masa-zentroaren abiadura ere finkotzat hartu da: v₀=1 m/s.

• Aukeratu gurpilaren φ posizio angeluarra gradutan, Angelua laukian idatziz edo desplazamendu-barrari eragiten. Angeluok erlojuaren orratzen alde neurtzen dira, alegia gurpila, mugitzen den noranzko berean.

Kalkulatu botoia sakatu.

Ezkerreko irudian:

• Bektore urdinak masa-zentroaren translazio-abiadura adierazten du: v₀.

• Bektore gorriak errotazio-abiadura adierazten du: v₀=ωR. Errotazio-ardatza zentrotik pasatzen da eta gurpilaren perpendikularra da.

Eskumako irudian: bektore beltzak abiadura erresultantea adierazten du, hau da, aurreko bi bektoreen batura bektoriala.

Leihatilaren goiko aldean datuak idatziz erakusten dira: abiadura erresultantearen v modulua (v₀-ren proportzionala) eta norabidea, horizontalarekin osatzen duen θ angelua (ez nahastu gurpilaren φ angelua eta buztinaren abiadura erresultantearen θ angelua).

Buztinaren posizioa eta abiadura askatu ondorengo t aldiunean

Ibilbide parabolikoan erortzen ari dela, buztinaren abiadura honela idazten da t denboraren menpe:

v_x=v₀ -v₀·cosφ
v_y=v₀·sinφ -g(t-t₀)

Beraz, bere posizioa t aldiunean

x=x₀+v_0x·(t-t₀)=v₀·t₀-R·sinφ+ v₀(1-cosφ) ·(t-t₀)
y=y₀+v_0y·(t-t₀)-g(t-t₀)²/2=R-R·cosφ+v₀·sinφ·(t-t₀)-g(t-t₀)²/2

Irismena eta altuera maximoa

Buztina lurrera iristean y=0.

Lehenik (t-t₀) kalkulatzen bada, gero irismen horizontala kalkula daiteke: x_m

x_m= v₀·t₀-R·sinφ+ v₀(1-cosφ) ·(t-t₀)

Eta altuera maximoa atzematen duenean: v_y=0

Zatidura horrek emaitza positiboa eman dezan, φ angelua 0<φ<π tartean egon behar da, horrek esan nahi du buztin-zatia gorantz abiatu dela (beherantz abiatzen bada ez du altuera gehiagorik atzemango), eta altuera maximoak honako hau balio du:

Altuera maximo hori, y_m , beste modu batez ere kalkula daiteke: energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, eta erakutsiko dugu.

Askatze-posizioan altuera hau da: y₀=R -Rcosφ eta bere abiaduraren osagaiak:

v_0x=v₀-v₀·cosφ
v_0y= v₀·sinφ

Beraz, bere energia osoa hau da:

Altuera maximoko posizioan altuera y_m da eta abiaduraren osagai bertikala nulua da, v_y=0, baina abiaduraren v_x osagaia ez da nulua, izan ere, hasierako balio bera du. Hortaz, amaierako energia osoa, E_f , hau da:

Energiaren kontserbazio printzipioa aplikatzen E_i=E_f  eta hortik lortzen da y_m , lehengo emaitza bera.

Altuera maximoaren balio maximoa

Irudiak erakusten du buztin zatiak atzematen duen y_m altuera maximoa gurpilaren φ posizioaren menpe. Irudi hori egiteko gurpilaren translazio-abiadura v₀= 2 m/s hartu da eta gurpilaren erradioa R=1 m. Buztinaren altuera maximorik handiena atzematen da,  φ=π=180º denean eta y_m=2, hau da, gurpilaren goreneko puntua.

Baina gurpilaren translazio-abiadura v₀= 5 m/s bada, irudia ezberdina ateratzen da eta altuera maximorik handiena angelu txikiago batez atzematen da,alegia φ<π.

Kalkula dezagun y_m altuera maximoaren maximoa lortzen duen φ angelua:

Ekuazio honek soluzio bi ditu:

• Lehena da, sinφ=0, φ=π, eta beraz y_m=2R

• Eta bigarren soluzioa:

Baina emaitza horrek zentzun fisikoa izateko, kosinua bat baino txikiagoa izan behar da, balio absolutuan, eta beraz honako baldintza bete behar da:

Kosinua negatiboa izateko eta gainera buztina gorantz abiatzeko φ angelua honako tartean egon behar da: π/2<φ<π.

Eta horrelako posizio batean askatzen bada buztina, atzemango duen y_m altuera maximoa honakoa da:

Adibidea:

• Gurpilaren erradioa finkotzat hartzen da R =1 m

• Gurpilaren abiadura: v₀=2 m/s

• Buztina askatzen bada φ=π/2 angeluan, askatzen den t₀ aldiunea hau da: t₀=φ·R/v₀=π/4=0.79 s

Kalkula dezagun altuera maximoa, y_m

Eta v₀=5 m/s bada, kosinuaren baldintza betetzen da: 5²>1·9.8

Orduan altuera maximoa lortzen duen φ askatze-angelua hau da: (ikusi goiko irudian 110° eta 115° artean dagoela)

Y_m altuera maximoa 2R baino altuagoa da, eta askatze-posizioa atzematen den aldiunea hau da: t₀=φ·R/v₀=1.97/5=0.39 s

Saiakuntza

Datuak

• Gurpilaren erradioa finkotzat hartu da R=1 m.

• Aukera bedi gurpilaren zentroaren v₀ translazio-abiadura, laukian idazten edo desplazamendu-barrari eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Buztin-zatia askatzea nahi denean, φ posizio angeluar batean edo t₀ aldiune konkretu batean, Gelditu botoia sakatu eta gero Pausoka lor daiteke helburu den aldiunea; t denbora leihatilaren goiko aldean idatzita adierazten da.

Askatu botoia sakatu.

Jarraitu botoia sakatuz mugimendua berriro abiatzen da, edota Pausoka botoia zenbait aldiz sakatuz, altuera maximoa lortzen den aldiunea zehazkiago behatzeko (buztinaren abiaduraren y osagaia nulua den aldiunea, v_y=0). Altuera maximoa apuntatu, y_m, eta eskuz egindako kalkuluekin egiazta daiteke.