Elektromagnetismoa

Kondentsadoreak

Kondentsadore
lau eta paraleloa

Carnot-en zikloaren
eredu elektrikoa

Kondentsadore
zilindrikoa

Kondentsadorea
dielektriko batekin.

Dielektriko batek
jasandako indarra (I)

Dielektriko batek
jasandako indarra (II)

Kondentsadore bat
kargatzen eta
deskargatzen

Bala baten abiadura
neurtzea

Kondentsadoreen
  elkarketak

Kondentsadore bi eta erresistentzia bateko zirkuitua

Kondentsadore idealak seriean

Galeradun kondentsadoreak seriean

Erreferentziak

Demagun bi kondentsadoreko zirkuitua. Biak berdinak dira baina bat kargatuta dago Q kargarekin, eta bestea deskargatuta. Biak konektatzen dira zirkuitu bakarra osatuz. Amaieran, bi kondentsadoreak kargatuta geratzen dira, bakoitza Q/2 kargarekin alegia. Printzipioz prozesu hau, begi-bistakoa dirudien arren, oso interesgarria da kasu konplikatuagoak ere aztertzen lagunduko digulako eta horrela kondentsadoreen kargatze eta deskargatze-prozesuak modu errealista batean ulertu daitezkeelako.

1. Kondentsadoreak hari super-eroaleekin konektatzen dira.
2. Kondentsadoreak lotzen dituzten kableek erresistentzia elektrikoa dute.
3. Zirkuituak autoindukzioa ere ba du.

Kondentsadoreak paraleloan

Kondentsadoreak elkartzeko seriean edo paraleloan konekta daitezke.

Kasu garrantzitsuena da bi kondentsadore, C₁ eta C₂, euren zeinu bereko xaflak konektatzen direnean. Hasieran C₁ kondentsadoreak Q karga badu eta C₂ kondentsadorea deskargatuta badago, konektatu ondoren, karga pasatu egiten da kondentsadore batetik bestera, potentzialak berdintzen diren arte. 

Amaierako egoeran kondentsadore bakoitzaren karga kalkulatzeko, q₁ eta q₂, kondentsadore bien potentzialak berdinak direla plantea daiteke, eta karga totala kontserbatzen dela.

Ekuazio biko sistema honetatik q₁ eta q₂, ateratzen dira:

Hasierako energia, C1 kondentsadorean metatuta dago soilik:

Eta amaieran energia osoa kondentsadore bietan banatuta dago:

Ikus daitekeenez amaierako energia, U_f, hasierako energia, U_i , baino txikiagoa da.

Ondoko irudian, eredutzat hartzeko, analogia hidraulikoa erakusten da, kondentsadore bi paraleloan konektatzea bezalakoa.

Adibidea:

Demagun kondentsadore bat daukagula V potentzial-diferentziaraino kargatuta. Kondentsadoreak gordeko duen karga Q₀=C·V izango da, eta energia U₀=CV²/2.

Kondentsadorea beste batekin konektatzen dugu, bestea erabat deskargatuta. Etengailua ixten denean karga joan egiten da lehen kondentsadoretik bigarrenera, bietan potentzial-diferentzia berdintzen den arte.

Kondentsadore bien kapazitatea, C , berdina bada, kondentsadore bien karga amaieran hasierakoaren erdia izango da:

Q₁=Q₀/2, V₁=V/2
Q₂=Q₀/2, V₂=V/2

Kondentsadore bietan metatutako energia osoa honakoa da:

Amaierako energia hasierakoaren erdia baino ez da. Sistemak beti galtzen du energia, berdin dio kondentsadoreak konektatzen dituzten kableen erresistentzia elektrikoa aldatzen den edo ez.   

Analogia hidraulikoa

Demagun bi depositu zilindriko ditugula hodi horizontal batekin konektatua (hodiaren sekzioa arbuiagarria). Irudian erakusten den bezala ezkerreko deposituak ur masa gordetzen du eta bestea hutsik dago.

Uraren hasierako energia bere energia potentziala da, hau da, bere masa-zentroaren h altuerari dagokiona:  U₀=mgh

Giltza irekitzen denean ura ezkerreko depositutik eskumakora doa, bi deposituetan altuera berbera den arte. Beraz, ura bi deposituetan banatuta geratzen da eta hona amaierako energia:

hasierako energiaren erdia.

Dakigun bezala, batere erresistentziarik egon ez balitz, ez litzateke energia-galerarik egongo, energia potentziala energia zinetiko bilakatzen delako eta gero alderantziz. Ura depositu batetik bestera pasako litzateke eta atzera, higidura oszilakorra jarraituz. Kondentsadore biko zirkuituan ere berdin gertatuko litzateke, kargak oszilatu egingo luke kondentsadore batetik bestera.

Depositu biak konektatzen dituen hodiaren erresistentzia (uraren higiduraren kontra) eta kondentsadore biak konektatzen dituzten kableen erresistentzia elektrikoa analogoak dira. Lehena ura mugitzearen kontra eta bigarrena karga mugitzearen kontra. Erresistentzia kontutan hartu ezkero, zenbait oszilazioren ondoren oszilazioak indargetu egiten dira eta oreka-posizioa atzematen da.

Hortaz, amaierako egoera ez da bat-batean atzematen, denbora pixka bat iragan ondoren baizik. Denbora hau laburragoa izango da erresistentzia handiagoa bada.

Kondentsadore bi eta Erresistentzia bateko zirkuitua

Demagun ondorengo zirkuitua, kondentsadore bi, C₁ eta C₂, eta erresistentzia bakar bat, R.

Hasieran C₁ kapazitatedun kondentsadorea kargatuta dago Q karga elektrikoarekin eta C₂ deskargatuta. Zirkuitua ixten denean t=0 aldiunea da. C₁ kapazitatedun zirkuitua deskargatzen doa eta C₂ kargatzen, baina karga R erresistentzian zehar pasatzen da.

Aldiune batean, t, honakoa dugu:

• C₁ kondentsadoreak duen karga q₁
• C₂ kondentsadoreak duen karga q₂
• R erresistentzian zehar zirkulatzen ari den korrontearen intentsitatea  i.

Zirkuituan potentzial-diferentziak neurtzen baditugu  (a, b), (b, c) eta (c, a) puntuen artean, hau bete behar da:

V_ab+V_bc+V_ca=0

• C₁ kondentsadorean a puntuko potentziala (xafla negatiboa) b puntukoa baino txikiagoa da (positiboa), eta beraz,  V_ab= - q₁/C₁
• R erresistentzian korronteak i intentsitatea du, eta b-tik  c-ra doa, beraz, V_bc=+ iR
• C₂ kondentsadorean c puntuko potentziala (xafla positiboa) a puntukoa baino handiagoa da (negatiboa), eta beraz  V_ca= + q₂/C₂

Hona zirkuitu osoaren ekuazioa:

q₁ karga denboran zehar gutxitzen doa, q₂ karga ordea, denborarekin handitzen, hortaz i intentsitatea (karga denbora unitateko):

Aurreko ekuazioa, zirkuitu osoarena, denborarekiko deribatuz:

Ekuazio diferentzial hau integra daiteke, eta hasierako baldintza:  t=0, aldiunean intentsitatea  i=i₀.

Hasierako aldiunean, t=0,  C₂ kondentsadorea deskargatuta dago eta C₁ kondentsadorearen karga Q da. Beraz:

V_ca=0, eta zirkuitu osoaren ekuazioa honela idatz daiteke: V_ab+V_bc= 0 edo bestela,

-Q/C₁+i₀·R=0.

Eta hona ekuazio diferentzial horren soluzioa:

Kondentsadore bakoitzaren karga kalkula daiteke denboraren menpe, hasierako baldintza hauekin: t=0 aldiunean q₁=Q, eta q₂=0.

Ikusten denez,  q₁+ q₂= Q,  kondentsadoreen karga totala hasierako karga berbera da.

Denbora apur bat igaro ondoren (teorikoki infinitu), oreka-egoera atzematen da eta hona kondentsadore bien kargak:

Aurreko atalean, Kondentsadoreak paraleloan, emaitza berbera lortu dugu, hain zuzen ere.

Hona hemen amaierako egoera lortzeko beste modu bat.

Denbora igaro ondoren (teorikoki infinitu) intentsitatea nulua bilakatzen da. Zirkuitu osoaren ekuazioan V_bc=0 ipintzen bada, V_ab+V_ca= 0, edo bestela, 

 - q₁/C₁+q₂/C₂=0.

Eta karga osoaren kontserbazioagatik:

q₁+q₂=Q

Ekuazio-bikote honetatik ere q₁ eta q₂ kalkula daitezke amaierako oreka-egoeran, Kondentsadoreak paraleloan atalean egin den bezalaxe.

Energiaren ikuspegia

• Hona hasieran C₁ kondentsadorean metatutako energia:

• Amaieran kondentsadore bietan metatutako energia osoa, denbora igaro ondoren (teorikoki infinitu):

• R erresistentzian disipatutako energia osoa oreka-egoera atzematen den arte:

Egiazta daitekeenez, hasierako energia osoaren zati bat erresistentzian disipatzen da eta beste zatia kondentsadore bietan bananduta geratzen da.

  U_f=U_i-U_R

Kondentsadore idealak seriean

Demagun kondentsadore bi, C₁ eta C₂ , seriean elkartuta.

Kondentsadore biek karga bera dute q.  Hona potentzial-diferentzia a eta c puntuen artean:

V_ac=V_ab+V_bc=q/C₁+q/C₂=q(1/C₁+1/C₂)

Kondentsadore bien seriezko elkarketaren baliokidea den kondentsadore bakarraren kapazitatea honakoa da:

Emaitza hau egoera idealekoa da, kondentsadoreak kargarik galtzen ez dutenekoa. Horretarako kondentsadoreetako bi xaflak bata bestetik perfektuki isolatuta egon behar dira eta hau errealitatean ez da gertatzen.

Galeradun kondentsadoreak seriean

C kapazitatedun kondentsadore batek karga-galera baldin badauka suposa daiteke, eredu bezala, kondentsadore ideal bat dela R erresistentzia batean zehar deskargatzen ari dena. Aurreko orrian aztertu dugun bezala kondentsadorearen karga esponentzialki gutxitzen doa denborarekin.

R erresistentzia ez da konstantea izaten, kondentsadorearen xaflen arteko potentzial-diferentziaren proportzionala baizik, V=q/C-rena alegia. Hala ere, hemen R konstantea dela suposatuko dugu. Kondentsadore arrunten RC konstanteak zenbait minutukoak dira, baina beste batzuenak, oliozkoak edo plastiko berezizkoak, orduak edota egunak.

Demagun orain irudiko kondentsadoreak seriean konektatuta daudela eta galerak dituztela. Potentzial diferentzia bat ezarri da, V,  zirkuituko a eta c puntuen artean.

Hasierako egoera

Hasieran kondentsadoreen kargak berdinak dira eta hona euren potentzial-diferentziak hurrenez hurren: V₁=q/C₁ y V₂=q/C₂, eta beraz hau betetzen da:

Baina V₁+V₂=V denez, hauxe lortuko da:

Korrontea R₁ eta R₂ erresistentzietan zehar zirkulatzen hasten da eta, orokorrean, kondentsadore bietako kargak ez dira berdinak izango.

Amaierako egoera

Potentzial diferentzia a eta c muturren artean konstante mantentzen bada, oreka-egoeran (q₁ eta q₂ ez dira gehiago aldatzen) intentsitate berbera zirkulatzen arituko da R₁ eta R₂ erresistentzietan zehar. Kasu horretan V₁=iR₁ eta V₂=iR₂. Eta hortaz ondoko erlazioa beteko da:

Baina  V₁+V₂=V denez, 

Hortaz, kondentsadore bakoitzaren karga amaieran q₁=V₁·C₁ eta q₂=C₂·V₂, eta ondoko erlazioa beteko da.

Hasierako egoeratik amaierako egoerara 

Demagun a eta c muturren artean aplikatu den potentzial-diferentzia konstantea dela: V.

a puntutik pasatzen den korronte totala edo b tik irteten dena, t aldiunean, termino biren batura da:

• R₁ erresistentziatik pasatzen ari den korrontea  i_1.
• C₁ kondentsadorean karga aldatzen ari denean dq₁/dt

kondentsadore bi eta erresistentzia bateko zirkuituan ikusi dugun bezalaxe.

Era berean, b puntuan sartzen ari den korrontea edo c puntuan irteten ari dena, t aldiunean, termino biren batura da:

• R₂ erresistentziatik pasatzen ari den korrontea  i_2.
• C₂ kondentsadorean karga aldatzen ari denean dq₂/dt

Ordezkatzen badugu, V₂=V-V₁, lortzen den ekuazioan V₂ dugu bakarrik.

edo bestela:

Ekuazio diferentzial hau integra daiteke eta hasierako baldintza: t=0 aldiunean C₂ kondentsadorearen xaflen arteko potentzial-diferentzia V₀₂ da, atal honen hasieran ikusi dugun bezalaxe.

Integratzen

eta azken emaitza hau da:

Konprobazioa

Hasierako aldiunean t=0 hau dugu:

Eta amaieran  t →∞ beste hau:

Korrontearen intentsitatea

Korrontearen intentsitatea i honakoa da:

Intentsitatea maximoa da t=0 aldiunean, eta  t→∞ balio konstante baterantz jotzen du V₀/(R₁+R₂).

Kasu berezia

Baldintza berezi hau betetzen bada:  C₁R₁=C₂R₂  orduan V₁ eta V₂ potentzial-diferentziak denboraren independenteak dira, konstanteak, baina korronteak zirkulatu egiten du kondentsadore bietan zehar.

Eta C₁R₁=C₂R₂  denez, kondentsadore bietako q₁ eta q₂ kargak ere berdinak dira.

Baldintza hau bete dadin kondentsadorearen xaflen artean kokatzen den dielektrikoaren k konstante dielektrikoa eta bere erresistibitatea r, aukera daitezke; kondentsadorea laua eta paraleloa bada A azaleraduna eta xaflen arteko distantzia d bada.

• Kondentsadorearen kapazitatea C=kε₀A/d
• Eta korrontearen aurkako erresistentzia R=ρd/A

Bi magnitudeen arteko biderketa, RC, soilik da menpeko k konstante dielektrikoarena eta ρ erresistibitatearena: RC=ρ kε₀.

Bi kondentsadoreetako xaflen arteko dielektrikoek erlazio hau betetzen baldin badute ρ₁ k₁=ρ₂ k₂  orduan kasu berezi honetako baldintza ere beteko da C₁R₁=C₂R₂

1 adibidea:

• Lehen kondentsadorearen datuak: C₁=0.2μF  eta  R₁=5000 MΩ.

• Bigarren kondentsadorearen datuak:  C₂=0.5μF  eta  R₂=1000 MΩ.

Hasierako aldiunean, t=0, potentzialen arteko erlazioa V₁/V₂=2.50. Eta denbora luze baten ondoren  t →∞ V₁/V₂=5.0

2 adibidez:

• Lehen kondentsadorearen datuak: C₁=0.1μF  eta  R₁=5000 MΩ.

• Bigarren kondentsadorearen datuak: C₂=0.5μF  eta  R₂=1000 MΩ.

Kasu honetan baldintza berezia bete egiten da, C₁R₁=C₂R₂. Potentzialen arteko erlazioa berbera da hasieran (t=0) eta amaierako egoeran (t →∞) V₁/V₂=5 . Kondentsadore bien karga konstantea da baina intentsitatea ez da nulua.

Oharra: erreferentzietan aipatutako artikuluan adierazpen berbera lortzen da V₂(t)-rentzat, baina egoera errealagoa suposatzen da V, potentzial diferentzia, 0-tik V₀ balio konstantera oso denbora laburrean pasatzen dela.

Hemen τ denbora-konstantea oso txikia da kondentsadore bien autodeskarga-prozesuen denbora-konstanteekin konparatuz, hau da, C₁R₁ eta C₂R₂.

Saiakuntza

Aukeratu beharrekoak:

• Lehen kondentsadorearen kapazitatea C₁, mikro Farad-etan

• Lehen kondentsadorearen erresistentzia  R₁ mega Ohm-etan

• Bigarren kondentsadorearen kapazitatea C₂, mikro Farad-etan

• Bigarren kondentsadorearen erresistentzia  R₂ mega Ohm-etan

• Kondentsadore bietan aplikatzen den potentzial-diferentzia konstante mantentzen da, 100 V

Hasi botoia sakatu.

Applet-aren ezker aldean grafikoki adierazten da V₁/V₂ denboraren menpe, baina ez t denbora soilik, t/T baizik, eta T denbora-konstante hau da:     T=R₁R₂(C₁+C₂)/(R₁+R₂).

Kolore urdineko lerro horizontal bi daude V₁/V₂ erlazioa adierazteko: hasieran, t=0, aldiunean V₁/V₂=C₂/C₁ eta amaieran t →∞  V₁/V₂→R₁/R₂.

Iturri elektrikoa adierazteko depositu handi bat irudikatzen da, eta likidoaren altuera konstante mantentzen da "esperimentu" osoan zehar. Kondentsadoreen galerak adierazteko erabili den eredua da: likido-deposituak zulo txiki batetik hustutzen.

• Deposituaren zabalera kapazitatearen proportzionala da, C.

• Likidoaren altuera xaflen arteko potentzial-diferentzia, V.

• Karga (q=CV) likido kantitatearen proportzionala da. Kolore urdin argiz betetako azalera.

Likidoaren altuera aldatzen ari dela behatzen da, depositu bietan eta denboran zehar. Kolore gorriko puntuek korrontearen intentsitatea adierazten dute (karga positibodun eramaileen mugimendua) eta denboran zehar moteltzen doa, balio konstantea atzematen duen arte t→∞ denean:  V / (R₁+R₂)

Oharra: Orri honetan ez da frogatu zirkuitu elektrikoek eta zirkuitu hidraulikoek portaera analogoak dituztenik. Zirkuitu hidraulikoa soilik eredutzat erabili da zirkuitu elektrikoan denboran zehar gertatzen diren aldaketak ilustratzeko.