En esta página, se estudia la evolución hacia el estado de equilibrio de un sistema aislado formado por dos gases ideales contenidos en un cilindro de sección S separados por una pared adiabática. Inicialmente el émbolo está fijo. Las características de los dos gases son las siguientes:

• El primer gas ocupa un volumen V₁₀ y el segundo V₂₀
• El número de moles son n₁ y n₂, respectivamente
• Las presiones iniciales de los dos gases en sus recipientes son p₁₀ y p₂₀
• Las temperaturas iniciales son T₁₀ y T₂₀ tal que

${\displaystyle p_{10}{V}_{10}=n_{1}R{T}_{10}{p}_{20}{V}_{20}=n_{1}R{T}_{20}}$

R=8.3143 J/(K·mol) es la constante de los gases

• Se puede elegir que los gases puedan ser monoatómicos o diatómicos, sus calores específicos a volumen constante c_v, a presión constante c_p y el índice adiabático γ son, respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}{c}_v=\frac{3}{2}R{c}_p=\frac{5}{2}R\gamma =\frac{c_p}{c_v}=\frac{5}{3}\\ c_v=\frac{5}{2}R{c}_p=\frac{7}{2}R\gamma =\frac{c_p}{c_v}=\frac{7}{5}\end{array}}$

En el instante t=0, se libera el émbolo. El sistema alcanzará el equilibrio cuando las presiones de los gases separados por el émbolo en reposo sean las mismas p_1f=p_2f=p_f

1. Aplicamos la ecuación de los gases ideales a cada una de las partes

p_f·V_1f=n₁RT_1f

p_f·V_2f=n₂RT_2f

2. Como el sistema es aislado, la energía total permanece constante

U_1f+U_2f=U₁₀+U₂₀

La energía interna de un gas ideal solamente depende de la temperatura

n₁c_v1T_1f+n₂c_v2T_2f= n₁c_v1T₁₀+n₂c_v2T₂₀

3. Los volúmenes de los gases cambian, pero el volumen total es constante e igual al inicial que ocupaban los gases.

V₁₀+V₂₀=V_1f+V_2f

Ahora bien, de estas ecuaciones no podemos despejar los volúmenes finales ni las temperaturas finales. Es preciso hacer ciertas hipótesis acerca del movimiento del émbolo y su interacción con las moléculas del gas.

Movimiento del émbolo

El émbolo de masa m se mueve cuando hay una la diferencia de presión entre los dos gases que separa.

(p₁-p₂)S

Supondremos además, que el émbolo experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a su velocidad y de sentido contrario a ésta.

${\displaystyle f_r=-e\frac{dx\text{'}}{dt}}$

donde e es una constante de proporcionalidad y x’=x-x₀ es la posición del émbolo respecto de la posición de equilibrio x₀. Cuando se alcanza el estado de equilibrio el volumen final del gas 1 es V_1f.

La ecuación del movimiento del émbolo se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x\text{'}}{d{t}^2}=(p_1-p_2)S-e\frac{dx\text{'}}{dt}x\text{'}=\frac{V_1-V_{1f}}{S}\\ m\frac{d^2{V}_1}{d{t}^2}=(p_1-p_2)S^2-e\frac{d{V}_1}{dt}\\ \frac{d^2{V}_1}{d{t}^2}=\frac{S^2}{m}\left(k_1{\left(V_1\right)}^{-{\gamma }_1}-k_2{\left(V_T-V_1\right)}^{-{\gamma }_2}\right)-\frac{e}{m}\frac{d{V}_1}{dt}\end{array}}$

Donde hemos empleado la ecuación de la transformación adiabática

${\displaystyle p_1{V}_1^{{\gamma }_1}=k_1{p}_2{V}_2^{{\gamma }_2}=k_2{V}_T=V_1+V_2}$

Hemos obtenido la ecuación diferencial que nos da el volumen V₁ del gas 1 en función del tiempo.

k₁ y k₂ serían constantes si no se tuviese en cuenta el rozamiento, pero no pueden serlo si lo hay como vamos a ver a continuación.

Trabajo de la fuerza de rozamiento

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento se transforma en calor que se reparte entre los dos recipientes. En el tiempo dt se genera el calor

${\displaystyle f_{r}dx\text{'}=e\frac{dx\text{'}}{dt}dx\text{'}=\frac{e}{S^2}\left(\frac{d{V}_1}{dt}\right)d{V}_1}$

Una fracción α de este calor se transfiere al gas 1 y el resto, (1-α) al gas 2.

Vamos ahora a estudiar el proceso por el cual el gas en el intervalo de tiempo Δt, cambia su volumen de V a V+ΔV. Este proceso lo podemos dividir por conveniencia en dos etapas:

• Etapa A→B, adiabática, el gas produce trabajo
• Etapa B→C, isócora, el gas absorbe calor

En la transformación adiabática A→B

${\displaystyle p{V}^{\gamma }=p_B{\left(V+\Delta V\right)}^{\gamma }=k}$

donde k es la constante que caracteriza el proceso adiabático

En la transformación isócora B→C,

${\displaystyle \Delta Q=n{c}_v(T_C-T_B)\Delta Q=\alpha \frac{e}{S^2}\left(\frac{dV}{dt}\right)\Delta V}$

El trabajo de la fuerza de rozamiento se transforma en calor, una parte del cual se transfiere al gas, que incrementa su energía interna, es decir su temperatura.

Al finalizar el proceso la nueva constante k’ que caracteriza la etapa adiabática del  siguiente proceso que comienza en el instante t+Δt  valdrá

${\displaystyle p_C{\left(V+\Delta V\right)}^{\gamma }=k\text{'}}$

Vamos a relacionar k’ con k teniendo en cuenta que ΔV<<V

${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_C-T_B=\frac{\Delta Q}{n{c}_v}\\ \left(p_C-p_B\right)(V+\Delta V)=\frac{R}{c_v}\Delta Q\\ \left(k\text{'}-k\right){\left(V+\Delta V\right)}^{-\gamma }(V+\Delta V)=\frac{R}{c_v}\Delta Q\\ \Delta k=\alpha \frac{eR}{c_v{S}^2}\left(\frac{dV}{dt}\right){\left(V+\Delta V\right)}^{\gamma -1}\Delta V\end{array}}$

En el límite, cuando el intervalo de tiempo Δt→0

${\displaystyle \frac{dk}{dt}=\alpha \frac{eR}{c_v{S}^2}{\left(\frac{dV}{dt}\right)}^2{V}^{\gamma -1}}$

Sistema de ecuaciones diferenciales

El comportamiento del sistema formado por los dos gases y el émbolo de acuerdo con el modelo adoptado, se describe por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{V}_1}{d{t}^2}=\frac{S^2}{m}\left(k_1{\left(V_1\right)}^{-{\gamma }_1}-k_2{\left(V_T-V_1\right)}^{-{\gamma }_2}\right)-\frac{e}{m}\frac{d{V}_1}{dt}\\ \frac{d{k}_1}{dt}=\alpha \frac{eR}{c_{v1}{S}^2}{\left(\frac{d{V}_1}{dt}\right)}^2{\left(V_1\right)}^{{\gamma }_1-1}\\ \frac{d{k}_2}{dt}=(1-\alpha )\frac{eR}{c_{v2}{S}^2}{\left(\frac{d{V}_1}{dt}\right)}^2{\left(V_T-V_1\right)}^{{\gamma }_2-1}\end{array}}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales.

En el instante t=0.

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_1=V_{10}\left(\frac{d{V}_1}{dt}\right)=0\\ k_1=p_{10}{V}_{10}^{{\gamma }_1}{k}_2=p_{20}{V}_{20}^{{\gamma }_2}\end{array}}$

Como el sistema formado por los dos gases y el émbolo es aislado la energía total permanecerá constante e igual a la inicial.

${\displaystyle n_1{c}_{v1}{T}_1+n_2{c}_{v2}{T}_2+\frac{1}{2}m{v}^2=n_1{c}_{v1}{T}_{10}+n_2{c}_{v2}{T}_{20}}$

donde v=dx’/dt es la velocidad del émbolo

${\displaystyle n_1{c}_{v1}{T}_1+n_2{c}_{v2}{T}_2+\frac{1}{2}\frac{m}{S^2}{\left(\frac{d{V}_1}{dt}\right)}^2=n_1{c}_{v1}{T}_{10}+n_2{c}_{v2}{T}_{20}}$

La constancia de la energía del sistema en cada instante es el criterio que nos permitirá probar la adecuación del procedimiento numérico para la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales.

Actividades

Se introduce

• Para cada uno de los dos gases:
• La presión, en unidades 10⁵ Pa, en los dos controles titulados Presión
• El volumen, en litros, 10^-3 m³, en los dos controles titulados Volumen
• El número de moles, en los dos controles titulados n. moles
• Se activa el botón de radio titulado Monoatómico o Diatómico en el tipo de gas
• El coeficiente e de proporcionalidad de la fuerza de rozamiento, en el control titulado Rozamiento
• La masa m del émbolo en kg, en el control titulado Masa
• El área del émbolo se ha fijado en S=2.0·10^-4 m²
• El calor producido por el émbolo al desplazarse se reparte por igual entre los dos gases α=0.5.

Se pueden seleccionar cuatro modos de visualización:

• El dispositivo: El sistema formado por los dos gases separados por un émbolo móvil. Los termómetros nos señalan la temperatura de cada gas en kelvin. Un diagrama en forma de tarta en la parte superior, nos muestra las transformaciones energéticas:
• En color rojo, la energía del gas situado a la izquierda
• En color azul, la energía del gas situado a la derecha
• En color gris, la energía cinética del émbolo.
• Gráfica P-t: se muestra la gráfica de la presión (eje vertical) en función del tiempo (eje horizontal). La presión está en unidades de 10⁵ Pa
• Gráfica V-t: se muestra la gráfica del volumen (eje vertical) en función del tiempo (eje horizontal). El volumen está en litros (10^-3 m³)
• Gráfica T-t: se muestra la gráfica de la temperatura (eje vertical) en función del tiempo (eje horizontal).

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Comprobar que si no hay rozamiento, el émbolo oscila permanentemente, no se alcanza el estado de equilibrio.

Si hay rozamiento, el émbolo describe una especie de oscilación amortiguada, al cabo de un cierto tiempo se alcanza el equilibrio igualándose las presiones de los dos gases a ambos lados del émbolo.

Referencias

Anacleto J., Anacleto J. A. C. Thermodynamical interactions: subtleties of heat and work concepts. Eur. J. Phys. 29 (2008) 555-566