Procesos cuasiestáticos (II)

Proceso de un solo paso

Situación inicial

En la situación inicial, el émbolo de masa m0 está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas:

Si la altura inicial de equilibrio es y0. La ecuación de los gases ideales, nos relaciona la presión p0, el volumen y0·S y la temperatura T de una masa de gas o de su número n de moles.

p0·S·y0 =nRT
f0·y0 =nRT

R=8.3143 J/(K·mol) es la constante de los gases

La energía interna inicial del gas ideal  es

U0=ncvT

 

Posición de equilibrio

En el instante t=0, se coloca sobre el émbolo un bloque de masa mp. El émbolo se desequilibra ya que el peso (m0+mp)g=mg es mayor que la fuerza que ejerce la presión del gas f0=p0·S

El émbolo se mueve hacia abajo, comprimiendo el gas, hasta que la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debido a su presión, se vuelve a igualar al peso mg

En la nueva situación de equilibrio, el peso del conjunto formado por émbolo y el bloque mg se hace igual a la fuerza que ejerce la presión del gas fe=pe·S.

mg= fe

Se calcula esta posición a partir de la ecuación de la transformación isotérmica

p 0 V 0 = p e V e m 0 y 0 =m y e y e = m 0 m 0 + m p y 0

El movimiento del conjunto bloque-émbolo prosigue, hasta que su velocidad se hace cero y el gas se comprime al máximo. En esta posición el émbolo y el bloque no están en equilibrio.

Ecuación del movimiento

Supongamos que el émbolo y el bloque están en la posición ye de equilibrio estable. Si se desplaza x de dicha posición. La fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo f tiende a restaurar al conjunto émbolo-bloque a la posición de equilibrio.

Las fuerzas sobre el conjunto de los dos cuerpos, cuando se encuentra en la posición y=ye-x, son

La segunda ley de Newton se escribe

m d 2 x d t 2 =mgf

Calcaulamos la fuerza f a partir de la transformación isotérmica

p e V e =pVmg y e =fy d 2 x d t 2 =g x y e x y e = y 0 ( m 0 m )

Si x<<ye

d 2 x d t 2 + g y e x=0

que es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular ω2=g/ye

El émbolo llega a la posición de equilibrio estable y=ye después de cierto tiempo, con velocidad v=0. En esta posición de equilibrio, la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debida a la presión se anula con el peso del conjunto formado por el bloque y el émbolo f=mg.

Variación de entropía

Como la energía interna del gas solamente depende de la temperatura y ésta es constante. La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (y0-ye) fluye en forma de calor hacia el foco.

ΔEp=(m0+mp)g(y0-ye)

La variación de entropía del foco es

Δ S f = ( m 0 + m p )g( y 0 y e ) T = m p g y 0 T

La variación de entropía del gas que cambia su volumen de V0=y0·S a Ve=ye·S es

Δ S g =nRln( y e y 0 )=nRln( m 0 m 0 + m p )

La variación de entropía total es

ΔSSfSg>0

Proceso de N pasos

Dividimos el bloque de masa mp en varios trozos iguales, que se colocan sucesivamente sobre el émbolo cada vez que se alcanza el equilibrio. Nos aproximaremos al proceso reversible a través de una sucesión de estados de equilibrio que nos conducirán desde el estado inicial al final.

Dividimos el bloque en N trozos iguales de masa Δm=mp/N, donde mp es la masa del bloque y los vamos colocando sobre el émbolo del siguiente modo:

Situación inicial

Partimos de la situación inicial de equilibrio, con el émbolo a una altura y0. La fuerza que ejerce el gas f0 sobre el émbolo debida a la presión se compensa con el peso del émbolo m0g.

m0g·y0 =nRT

Primera etapa

Colocamos un trozo del bloque de masa Δm, observamos que comprime el gas y alcanza la posición de equilibrio y1. La fuerza f1 que ejerce el gas debido a la presión, se iguala al peso del conjunto formado por el émbolo y la porción del bloque, f1=(m0+ Δm)g. La transformación isoterma

m 0 g y 0 = f 1 y 1 y 1 = m 0 y 0 m 0 +Δm

La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (y0-y1) fluye en forma de calor hacia el foco.

ΔEp=(m0+Δm)g(y0-y1)

La variación de entropía del foco es

Δ S f = ( m 0 +Δm)g( y 0 y 1 ) T = Δmg y 0 T

La variación de entropía del gas que cambia su volumen de V0=y0·S a V1=y1·S es

Δ S g =nRln( y 1 y 0 )=nRln( m 0 m 0 +Δm )

Segunda etapa

La posición de equilibrio y1 es ahora la posición inicial cuando se coloca el segundo trozo del bloque de igual masa Δm. Observamos que se comprime el gas y alcanza la posición de equilibrio y2 a la altura.

y 2 = ( m 0 +Δm) y 1 m 0 +2Δm = m 0 y 0 m 0 +2Δm

La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (y1-y2) fluye en forma de calor hacia el foco.

ΔEp=(m0+m)g(y1-y2)

La variación de entropía del foco es

Δ S f = ( m 0 +2Δm)g( y 1 y 2 ) T = Δmg y 1 T = Δmg T m 0 y 0 m 0 +Δm

La variación de entropía del gas que cambia su volumen de V1=y1·S a V2=y2·S es

Δ S g =nRln( y 2 y 1 )=nRln( m 0 +Δm m 0 +2Δm )

Etapa N

La posición de equilibrio yN-1 es la posición inicial cuando se coloca la última porción N de bloque. Observamos que se comprime el gas y alcanza la posición de equilibrio final  yN a la altura.

y N = m 0 y 0 m 0 +N·Δm

La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (yN-1-yN) fluye en forma de calor hacia el foco.

ΔEp=(m0+NΔm)g(yN-1-yN)

La variación de entropía del foco es

Δ S f = ( m 0 +NΔm)g( y N1 y N ) T = Δmg y N1 T = Δmg T m 0 y 0 m 0 +(N1)Δm

La variación de entropía del gas que cambia su volumen de VN-1=yN-1·S a VN=yN·S es

Δ S g =nRln( y N y N1 )=nRln( m 0 +(N1)Δm m 0 +N·Δm )

Variación de entropía

La variación total de entropía del gas en el proceso isotérmico que lleva al gas desde un volumen V0 a un volumen VN es

Δ S g =nRln( m 0 m 0 +Δm )+nRln( m 0 +Δm m 0 +2·Δm )+....+nRln( m 0 +(N1)Δm m 0 +N·Δm )= nRln( m 0 m 0 +N·Δm )

La variación de entropía del foco en el mismo proceso es

Δ S f = Δmg T y 0 ( 1+ m 0 m 0 +Δm + m 0 m 0 +2Δm +...+ m 0 m 0 +(N1)Δm )= nR( Δm m 0 + Δm m 0 +Δm + Δm m 0 +2Δm +...+ Δm m 0 +(N1)Δm )

La variación de entropía total es

ΔS=nRln( m 0 m 0 +N·Δm )+nR i=0 N1 Δm m 0 +i·Δm

En la figura se representa:

Cuando el número N de pasos es muy grande la suma de las variaciones de entropía del foco y del gas tiende a cero. ΔSfSg→0 

Ejemplo

Proceso de N=1 etapas

Consideremos ahora un proceso de N=5 etapas,

Los cinco bloques que se colocan sucesivamente sobre el émbolo tienen una masa Δm=mp/5= 1kg cada uno.

Elaboramos un script para representar:

nMoles=0.002; %moles de gas
m0=1; %masa del émbolo
mp=5; %masa del bloque en trozos completo
N=5; %número de trozos en lo que se divide el bloque
y=zeros(N+1,1);
S=zeros(N+1,1);
SS=zeros(N+1,1);
%situación inicial
T0=293; %temperatura constante del foco
y(1)=nMoles*8.3143*T0/(m0*9.8); %altura de equilibrio inicial
S(1)=0;
%estado de equilibrio al final de cada etapa
for k=1:N
    dm=mp/k; %masa de cada trozo
    for j=1:k
        y(j+1)=y(1)*m0/(m0+j*dm);
        S(j+1)=S(j)+(m0+j*dm)*9.8*(y(j)-y(j+1))/T0
+nMoles*8.3143*log(y(j+1)/y(j));
    end
    SS(k)=S(k+1); %variación de entropía total del proceso de k etapas
end
x=1./(1:N);
plot(x,SS(1:N),'o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlim([0.1,1.1]) 
grid on
hold off
ylabel('\DeltaS')
xlabel('1/N')
title('Variación de entropía')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se pulsa el botón titulado

Cuando el émbolo ha alcanzado la posición final de equilibrio, se pulsa el botón titulado >>,

Se pulsa el botón titulado

Cuando el émbolo ha alcanzado la posición final de equilibrio, se pulsa el botón titulado >>

y así, sucesivamente.

Se representan las fuerzas sobre el conjunto émbolo-bloque,

El proceso es una sucesión de N estados de equilibrio. Cuando N es grande, observamos que hay muy poca diferencia en las dos fuerzas que actúan sobre el émbolo a lo largo de todo el proceso. Naturalmente, en las posiciones de equilibrio son iguales.

En la parte derecha, se representa

Cuando el número N de pasos es muy grande la suma de las variaciones de entropía del foco y del gas tiende a cero.

Referencias

Gupta V. K., Shander G., Sharma N. K. Reversibility and step processes: An experiment for the undergraduate laboratory.  Am. J. Phys. 52 (10) October 1984, pp. 945-947