Procesos cuasiestáticos (III)

Proceso de un solo paso

Colocamos un cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es Tc en contacto con un foco (ambiente) cuya temperatura es Tf

Como hemos estudiado en la página titulada “Ley del enfriamiento de Newton” al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinito) el cuerpo alcanza la temperatura Tf.

T=Tf+(Tc-Tf)·exp(-k·t)

El cuerpo absorbe una cantidad de calor

Q=m·c·(Tf-Tc)

La variación de entropía del cuerpo es

Δ S c = T c T f dQ T =mc T c T f dT T =mcln( T f T c )

El foco de calor cede una cantidad de calor Q sin cambiar su temperatura Tf. Su variación de entropía es

Δ S f = Q T f =mc T f T c T f

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

ΔS= ΔScSf>0

ΔS=mc( ln( T f T c ) T f T c T f )

Proceso de N pasos

Consideremos un proceso de N pasos para calentar un cuerpo desde la temperatura T0 a la temperatura T1.

Primer paso

Colocamos un cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es Tc=T0 en contacto con un foco cuya temperatura es Tf=T0+(T1-T0)/N. Al cabo de cierto tiempo, el cuerpo alcanza la temperatura del foco Tf

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

Δ S 1 =mc( ln( (N1) T 0 + T 1 N T 0 ) T 1 T 0 (N1) T 0 + T 1 )

Segundo paso

Colocamos el cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es Tc= T0+(T1-T0)/N, en contacto con un foco cuya temperatura es Tf=T0+2(T1-T0)/N.  Al cabo de cierto tiempo, el cuerpo alcanza la temperatura  del foco Tf

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

Δ S 2 =mc( ln( (N2) T 0 +2 T 1 (N1) T 0 + T 1 ) T 1 T 0 (N2) T 0 +2 T 1 )

Etapa i

Colocamos el cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es Tc= T0+(i-1)(T1-T0)/N, en contacto con un foco cuya temperatura es Tf=T0+i(T1-T0)/N.  Al cabo de cierto tiempo, el cuerpo alcanza la temperatura  del foco Tf

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

Δ S i =mc( ln( (Ni) T 0 +i T 1 (Ni+1) T 0 +(i1) T 1 ) T 1 T 0 (Ni) T 0 +i T 1 )

Etapa N

Colocamos el cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es Tc= T0+(N-1)(T1-T0)/N, en contacto con un foco cuya temperatura es Tf=T1. Al cabo de cierto tiempo, el cuerpo alcanza la temperatura  del foco Tf

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

Δ S N =mc( ln( N T 1 T 0 +(N1) T 1 ) T 1 T 0 N T 1 )

Proceso completo

El proceso consta de una sucesión de N estados de equilibrio que lleva al cuerpo desde la temperatura T0 a la temperatura T1. La variación de entropía es

ΔS=mc i=1 N ( ln( (Ni) T 0 +i T 1 (Ni+1) T 0 +(i1) T 1 ) T 1 T 0 (Ni) T 0 +i T 1 )

En la figura, se representa:

Cuando el número N de pasos es muy grande la suma de las variaciones de entropía del foco y del gas tiende a cero. ΔSfSc→0 

Ejemplo:

Una etapa, N=1

Ponemos el cuerpo a la temperatura inicial de 273 K en contacto con un foco a la temperatura fija de 353 K

ΔS=ln( 353 273 ) 353273 353 =0.0304

Cuatro etapas, N=4

  1. Ponemos el cuerpo a la temperatura inicial de 273 K en contacto con un foco a la temperatura de 273+80/4=293 K. La variación de entropía es

  2. Δ S 1 =ln( 293 273 ) 293273 293 =0.0024

  3. El cuerpo ha alcanzado la temperatura de 293 K. Lo ponemos en contacto con un foco a la temperatura de 313 K. La variación de entropía es

  4. Δ S 2 =ln( 313 293 ) 313293 313 =0.0021

  5. El cuerpo ha alcanzado la temperatura de 313 K. Lo ponemos en contacto con un foco a la temperatura de 333 K. La variación de entropía es

  6. Δ S 3 =ln( 333 313 ) 333313 333 =0.0019

  7. El cuerpo ha alcanzado la temperatura de 333 K. Lo ponemos en contacto con un foco a la temperatura de 353 K. La variación de entropía es

  8. Δ S 4 =ln( 353 333 ) 353333 353 =0.0017

La variación de entropía del proceso que consta de cuatro estados de equilibrio es

ΔS= ΔS1+ΔS2+ΔS3+ΔS4=0.0081

Que como vemos es mucho menor que en el proceso de una sola etapa.

Elaboramos un script para representar:

N=4; 
SS=zeros(N+1,1);
S=zeros(N+1,1);
T0=273; %temperatura inicial del cuerpo
T1=353; %temperatura final
S(1)=0;
for k=1:N
    for j=1:k
          Tc=T0+(j-1)*(T1-T0)/k; %temperatura inicial
          Tf=T0+j*(T1-T0)/k;      %temperatura final
         S(j+1)=S(j)+log(Tf/Tc)-(Tf-Tc)/Tf;
    end
 %variación de entropía total del proceso de k etapas
SS(k)=S(k+1);
end
x=1./(1:N);
plot(x,SS(1:N),'o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlim([0.1,1.1]) 
grid on
hold off
ylabel('\DeltaS')
xlabel('1/N')
title('Variación de entropía')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se pulsa el botón titulado

Cuando el cuerpo ha alcanzado la temperatura final de equilibrio, se pulsa el botón titulado >>

Se pulsa el botón titulado

y así, sucesivamente

En la parte derecha, se representa

Cuando el número N de pasos es muy grande la suma de las variaciones de entropía del foco y del gas tiende a cero.

Referencias

Calkin M. G., Kiang D., Entropy change and reversibility. Am. J. Phys. 51 (1) January 1983., pp. 78-79