Oscilaciones de un émbolo

Sea un recipiente cilíndrico de sección S, perfectamente aislado, en posición vertical con un émbolo que separa una parte que está vacía a presión p=0, y la otra parte que contiene un gas.

Ecuación de los gases perfectos

Si que la temperatura absoluta del gas es T y su altura es y. La ecuación de los gases perfectos, nos relaciona la presión p=f/S, el volumen V=y·S y la temperatura T de una masa de gas o de su número n de moles.

p·V =nRT
f·y =nRT

Donde f es la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión, y R=8.3143 J/(K·mol) es la constante de los gases

La energía interna del gas ideal es

U=n c v T= pSy RT R γ1 T= f·y γ1

El índice γ=5/3 para un gas monoatómico y γ=7/5 para un gas diatómico

Antes de formular la ecuación del movimiento, vamos a estudiar algunas situaciones especiales.

Situación inicial de equilibrio

En la situación inicial, el émbolo de masa se m0 está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas:

La energía inicial del gas ideal es

U 0 =n c v T 0 = f 0 · y 0 γ1

Instante inicial

En el instante t=0, se coloca sobre el émbolo un bloque de masa mp. El émbolo se desequilibra, ya que el peso (m0+mp)g=mg es mayor que la fuerza que ejerce la presión del gas f0=p0·S.

Posición de equilibrio

El émbolo se mueve hacia abajo, comprimiendo el gas, hasta que la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debido a su presión, se vuelve a igualar al peso mg

En la nueva situación de equilibrio ye, el peso del conjunto formado por émbolo y el bloque mg se hace igual a la fuerza que ejerce la presión del gas fe=pe·S.

mg= fe

La ecuación de la transformación adiabática entre la posición inicial y la de equilibrio, nos permite calcular ye.

p 0 V 0 γ = p e V e γ   f 0 y 0 γ = f e y e γ y e = y 0 ( m 0 m ) 1/γ

La temperatura del gas Te se calcula a partir de la ecuación del gas ideal

f e y e =nR T e m· y e T e = m 0 y 0 T 0

Conocida ye, calculamos la velocidad ve del conjunto émbolo-bloque aplicando el principio de conservación de la energía.

m 0 g· y 0 γ1 +mg y 0 =mg y e + 1 2 m v e 2 + mg· y e γ1

En el miembro izquierdo, tenemos

En el miembro de la derecha tenemos

Máxima comprensión del gas

El movimiento del conjunto bloque-émbolo prosigue, hasta que su velocidad se hace cero, el gas se comprime al máximo. En esta posición el émbolo y el bloque no están en equilibrio.

El principio de conservación de la energía se escribe para la posición ym de máximo desplazamiento.

m 0 g· y 0 γ1 +mg y 0 =mg y m + f m y m γ1

En esta posición, la energía potencial del conjunto bloque-émbolo se convierte enteramente en energía interna del gas ideal.

La ecuación de la transformación adiabática, se escribe

p 0 V 0 γ = p m V m γ   f 0 y 0 γ = f m y m γ f m = m 0 g ( y 0 y m ) γ

Introduciendo fm en la ecuación de la conservación de la energía, obtenemos una ecuación en ym cuya raíz es preciso calcular empleando procedimientos numéricos.

Conocido fm e ym, la temperatura Tm del gas se calcula a partir de la ecuación del gas ideal

f m · y m T m = m 0 y 0 T 0

Cuando se llega a esta posición, se ha completado un semiperiodo de la oscilación. El émbolo y el bloque vuelven a recorrer el camino inverso hasta que regresan a la posición inicial de partida en el instante t=0.

Ecuación del movimiento

Supongamos que el émbolo y el bloque están en la posición ye de equilibrio estable. Si se desplaza x de dicha posición, la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo f tiende a restaurar al conjunto émbolo-bloque a la posición de equilibrio. Un comportamiento similar al del sistema formado por una partícula y un muelle elástico

Las fuerzas sobre el conjunto de los dos cuerpos, cuando el émbolo se encuentra en la posición y=ye-x, son

La segunda ley de Newton se escribe

m d 2 x d t 2 =mgf

Calculamos la fuerza f a partir de la transformación adiabática

p 0 V 0 γ =p V γ f 0 y 0 γ =f y γ f= m 0 g ( y 0 y e x ) γ d 2 x d t 2 =g( 1 ( y e y e x ) γ ) y e = y 0 ( m 0 m ) 1/γ

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales t=0, v=dx/dt=0, x=-(y0-ye).

Si x<<ye. hacemos la aproximación

( y e y e x ) γ = ( 1 x y e ) γ 1+ γx y e

La ecuación diferencial se escribe

d 2 x d t 2 + gγ y e x=0

que es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular ω2=gγ/ye

Balance energético

Cuando el émbolo desciende, la energía potencial del conjunto de los dos cuerpos disminuye, aumenta la energía cinética, y la energía interna del gas aumenta al incrementarse la presión y reducirse el volumen. Cuando el émbolo asciende ocurre el proceso inverso.

Si se desprecian las pérdidas, el principio de conservación de la energía se escribe

m 0 g y 0 γ1 +mg y 0 =mgy+ 1 2 m v 2 + f·y γ1

En la figura, se representa la energía potencial Ep en función de la posición y del émbolo

E p =mgy+ f·y γ1 f y γ =cte

Para una energía total E

E= m 0 g y 0 γ1 +mg y 0

se señala la posición de partida y0, la de equilibrio ye, en el mínimo de la curva de energía potencial y la de máxima comprensión ym cuando E=Ep, y la velocidad v=0.

Supongamos que el sistema formado por el conjunto bloque-émbolo y el gas es aislado. La ecuación del balance energético es

m 0 g y 0 γ1 +mg y 0 =mgy+ 1 2 m v 2 + f·y γ1

En el miembro izquierdo, tenemos la energía interna del gas y potencial del conjunto bloque-émbolo, a la derecha, la energía cinética y potencial del conjunto bloque-émbolo y la energía interna final del gas.

El émbolo llega a la posición de equilibrio estable y=ye después de cierto tiempo, con velocidad v=0. En esta posición de equilibrio, la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión se anula con el peso del conjunto formado por el bloque y el émbolo f=(m0+mp)g=mg

m 0 g y 0 γ1 +mg y 0 =mg y e + mg· y e γ1

La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (y0-ye) se convierte enteramente en energía interna del gas en la posición final de equilibrio ye. Despejando ye

y e =( m 0 m 0 + m p +γ1 ) y 0 γ         

Un caso particular interesante, es aquél en el que la masa del bloque mp se hace muy grande, el volumen del gas no se reduce a cero, como cabría esperar, sino que tiende a un valor límite.

lim m y e = γ1 γ y 0

Si no hay pérdidas de calor, la energía potencial del conjunto bloque-émbolo en la posición inicial se convierte en energía interna del gas en la posición final de equilibrio.

Ejemplos

En la figura, se representa la situación inicial, la situación de equilibrio y cuando el conjunto émbolo-bloque se ha desplazado x=ye-y de la posición de equilibrio

Los datos del sistema formado por el gas y el émbolo de la figura son los siguientes:

Representamos la altura del émbolo y en función del tiempo t, resolviendo la ecuación diferencial del movimiento por procedimientos numéricos

n=0.002; %nĂºmero de moles
R=8.3143; %constante de los gases
T0=293; %temperatura inicial
m0=1; %masa del émbolo
mp=3; %masa del bloque
m=mp+m0; %masa total
gamma=5/3; %gas monoatómico

y0=n*R*T0/(m0*9.8); %altura inicial de equilibrio
ye=y0*(m0/m)^(1/gamma); %posición de equilibrio 

P=2*pi*sqrt(ye/(9.8*gamma)); %periodo de las pequeñas oscilaciones
%resuelve la ecuación diferencial
x0=[(ye-y0);0];
fg=@(t,x) [x(2); 9.8*(1.0-(ye/(ye-x(1)))^gamma)];
[t,x]=ode45(fg,[0,3*P],x0);
plot(t,ye-x(:,1)) %tiempo-desplazamiento
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Oscilaciones de un émbolo')
grid on

Representamos la temperatura del gas en función del tiempo

    ... %del script previo
[t,x]=ode45(fg,[0,3*P],x0);
f=(m0*9.8*y0^gamma)./(ye-x(:,1)).^gamma;
T=T0*(f.*(ye-x(:,1)))/(m0*9.8*y0);
plot(t,T) %tiempo-temperatura
xlabel('t')
ylabel('T');
title('Oscilaciones de un émbolo')
grid on

Del mismo modo, se puede representar la presión del gas f en función del tiempo t

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se pone el bloque sobre el émbolo y observamos su movimiento descendente, comprimiendo el gas.

Se representan las fuerzas sobre el conjunto émbolo-bloque,

y se proporciona el dato de la resultante f-mg.

Se proporcionan los datos del tiempo y velocidad de émbolo en la parte superior derecha. La temperatura en la parte inferior del recipiente.

En la parte derecha, se representa la fuerza f que ejerce la presión del gas sobre el émbolo en función de la posición y del émbolo. La curva tiene la forma f·yγ=cte, que es la ecuación de una transformación adiabática. La constante se determina conociendo la fuerza f0 (presión) y la altura del émbolo y0 (volumen) en el instante t=0.

Finalmente, se representa, mediante un diagrama en forma de tarta

en el que observamos la transformación de unos tipos de energía en otros.