Un cilindro de sección S y longitud L está cerrado por ambos extremos, contiene un émbolo que divide el volumen en dos partes A y B, ambos contienen la misma cantidad de un gas ideal, un mol. El cilindro y el émbolo están adiabáticamente aislados. El émbolo está sujeto de modo que los volúmenes iniciales de cada parte son, respectivamente  V₁₀=S·x₀, V₂₀=S(L-x₀). Las temperaturas iniciales del gas en cada una de las dos partes son T₁₀ y T₂₀.

En el instante t=0, se libera el pistón y suponemos que el émbolo se mueve sin rozamiento. Vamos a determinar el estado final de equilibrio.

El sistema alcanzará el equilibrio cuando las presiones de los gases separados por el émbolo sea la misma p_1f=p_2f=p_f

1. Aplicamos la ecuación de los gases ideales a cada una de las partes

p_f·V_1f=nRT_1f
p_f·V_2f=nRT_2f

2. Como el sistema es aislado, la energía total permanece constante

U_1f+U_2f=U₁₀+U₂₀

La energía interna de un gas ideal solamente depende de la temperatura

T_1f+T_2f=T₁₀+T₂₀

3. Los volúmenes de los gases cambian, pero el volumen total es constante e igual al inicial que ocupaban los gases.

V₁₀+V₂₀=V_1f+V_2f

Despejamos la temperaturas finales  y la presión final

${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_{1f}=\frac{(T_{10}+T_{20})V_{1f}}{V_{1f}+V_{2f}}{T}_{2f}=\frac{(T_{10}+T_{20})V_{2f}}{V_{1f}+V_{2f}}\\ p_f=nR\frac{(T_{10}+T_{20})}{V_{1f}+V_{2f}}=nR\frac{(T_{10}+T_{20})}{V_{10}+V_{20}}\end{array}}$

Ahora bien, de estas ecuaciones no podemos despejar los volúmenes finales ni las temperaturas finales. Como veremos más adelante, la formulación de un modelo de gas ideal o ciertas hipótesis acerca del acerca del movimiento del émbolo y su interacción con las moléculas del gas, nos va a permitir describir la evolución desde el estado inicial al final de equilibrio.

Oscilaciones del émbolo

Supongamos que el émbolo se mueve sin rozamiento. El principio de conservación de la energía para el sistema aislado formado por los dos gases y el émbolo se escribe para un mol de gas.

${\displaystyle \frac{1}{2}M{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+c_v{T}_1+c_v{T}_2=c_v{T}_{10}+c_v{T}_{20}}$

El primer término es la energía cinética del émbolo de masa M. El segundo, la energía interna de un mol de gas contenido en la parte izquierda y el tercero, la energía interna de un mol de gas contenido en la parte derecha.

Los dos gases experimentan una transformación adiabática

${\displaystyle \begin{array}{l}p{V}^{\gamma }=\text{cte}T{V}^{\gamma -1}=\text{cte}\\ T_1{x}^{\gamma -1}=T_{10}{x}_0^{\gamma -1}{T}_2{\left(L-x\right)}^{\gamma -1}=T_{20}{\left(L-x_0\right)}^{\gamma -1}\end{array}}$

Recuérdese que c_p=c_v+R y γ=c_p/c_v

El principio de conservación de la energía se escribe.

${\displaystyle \frac{1}{2}M{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{R}{\gamma -1}\left\{T_{10}{\left(\frac{x_0}{x}\right)}^{\gamma -1}+T_{20}{\left(\frac{L-x_0}{L-x}\right)}^{\gamma -1}\right\}=\frac{R}{\gamma -1}(T_{10}+T_{20})}$

El segundo término es la energía potencial E_p(x). que se representa en la figura. Para una energía total E, el émbolo oscila entre las dos posiciones x₀ y x₁ señaladas en la figura, con un determinado periodo

gamma=5.0/3; %indice adiabático del gas
T10=80+273; %temperaturas iniciales
T20=20+273;
R=8.3143; %constante de los gases
L=1.0; %longitud de los recipientes
x0=0.1; %posición inicial del émbolo
E=R*(T10+T20)/(gamma-1); %energía total

f=@(x) R*(T10*(x0./x).^(gamma-1)+T20*((L-x0)./(L-x)).^(gamma-1))/(gamma-1);
fplot(f,[0.05,0.85])
line([0,1],[E,E], 'color','r')
xlabel('x')
ylabel('Ep')
title ('Energía potencial')
grid on

El émbolo parte de la posición x₀, en el instante t=0, y llega a la posición de máximo desplazamiento x₁ cuando su velocidad es dx/dt=0 (la energía potencial E_p se hace igual a la energía total E). Para calcular esta posición, es preciso resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

${\displaystyle T_{10}{\left(\frac{x_0}{x}\right)}^{\gamma -1}+T_{20}{\left(\frac{L-x_0}{L-x}\right)}^{\gamma -1}=T_{10}+T_{20}}$

>> f=@(x) T10*(x0/x)^(gamma-1)+T20*((L-x0)/(L-x))^(gamma-1)-T10-T20;
>> fzero(f,[0.3,0.9])
ans =    0.6443

Ecuación del movimiento

Derivamos la ecuación de la conservación de la energía respecto con respecto del tiempo

${\displaystyle M\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+c_v\frac{d{T}_1}{dt}+c_v\frac{d{T}_2}{dt}=0}$

La ecuación del movimiento se escribe

${\displaystyle M\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=R{T}_{10}\frac{x_0^{\gamma -1}}{x^{\gamma }}-R{T}_{20}\frac{{(L-x_0)}^{\gamma -1}}{{(L-x)}^{\gamma }}}$

Se resuelve esta ecuación diferencial de segundo orden por procedimiento numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, x=x₀, y dx/dt=0.

gamma=5.0/3; %indice adiabático del gas
T10=80+273; %temperaturas iniciales
T20=20+273;
R=8.3143; %constante de los gases
L=1.0; %longitud de los recipientes
x0=0.1; %posición inicial del émbolo
m=10; %masa del émbolo

fg=@(t,x) [x(2); R*(T10*x0^(gamma-1)/x(1)^gamma-T20*(L-x0)^(gamma-1)
/(L-x(1))^gamma)/m];
[t,x]=ode45(fg,[0,0.5],[x0,0]);
plot(t,x(:,1)) %tiempo-desplazamiento
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Oscilaciones de un émbolo')
grid on

Actividades

Se introduce

• La temperatura inicial T₁₀ en ºC del gas situado en la parte izquierda del cilindro, en el control titulado Temperatura 1

• La temperatura inicial T₂₀ en ºC del gas situado en la parte derecha del cilindro, en le control titulado Temperatura 2

• La masa M del émbolo en kg, en el control titulado Masa

• La posición inicial x₀, en el control titulado Posición. Determina el volumen inicial de los gases proporcional a x₀ y (1.0-x₀), respectivamente.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento oscilatorio del émbolo

Los termómetros marcan la temperatura de los dos gases en K: cuando el gas se comprime adiabáticamente se eleva su temperatura, cuando se expande su temperatura disminuye.

En la parte superior, se representa la energía potencial E_p(x) del émbolo y la energía total mediante una recta horizontal, señalándose los dos puntos de intersección x₀ y x₁ que son los puntos de retorno en los que la velocidad del émbolo se anula. El mínimo de la curva E_p(x) señala la posición de equilibrio, la fuerza sobre el émbolo es nula, la velocidad del émbolo es máxima.

El contador de tiempo en la parte superior, nos permite medir el periodo de las oscilaciones.