Oscilaciones de un émbolo que separa dos gases contenidos en un recinto adiabático

Un cilindro de sección S y longitud L está cerrado por ambos extremos, contiene un émbolo que divide el volumen en dos partes A y B, ambos contienen la misma cantidad de un gas ideal, un mol. El cilindro y el émbolo están adiabáticamente aislados. El émbolo está sujeto de modo que los volúmenes iniciales de cada parte son, respectivamente V₁₀=S·x₀, V₂₀=S(L-x₀). Las temperaturas iniciales del gas en cada una de las dos partes son T₁₀ y T₂₀.

En el instante t=0, se libera el pistón y suponemos que el émbolo se mueve sin rozamiento. Vamos a determinar el estado final de equilibrio.

El sistema alcanzará el equilibrio cuando las presiones de los gases separados por el émbolo sea la misma p_1f=p_2f=p_f

Aplicamos la ecuación de los gases ideales a cada una de las partes

p_f·V_1f=nRT_1fp_f·V_2f=nRT_2f

Como el sistema es aislado, la energía total permanece constante

U_1f+U_2f=U₁₀+U₂₀

La energía interna de un gas ideal solamente depende de la temperatura

T_1f+T_2f=T₁₀+T₂₀

Los volúmenes de los gases cambian, pero el volumen total es constante e igual al inicial que ocupaban los gases.

V₁₀+V₂₀=V_1f+V_2f

Despejamos la temperaturas finales y la presión final

$\begin{array}{l} T_{1 f} = \frac{(T_{10} + T_{20}) V_{1 f}}{V_{1 f} + V_{2 f}} T_{2 f} = \frac{(T_{10} + T_{20}) V_{2 f}}{V_{1 f} + V_{2 f}} \\ p_{f} = n R \frac{(T_{10} + T_{20})}{V_{1 f} + V_{2 f}} = n R \frac{(T_{10} + T_{20})}{V_{10} + V_{20}} \end{array}$

Ahora bien, de estas ecuaciones no podemos despejar los volúmenes finales ni las temperaturas finales. Como veremos más adelante, la formulación de un modelo de gas ideal o ciertas hipótesis acerca del acerca del movimiento del émbolo y su interacción con las moléculas del gas, nos va a permitir describir la evolución desde el estado inicial al final de equilibrio.

Oscilaciones del émbolo

Supongamos que el émbolo se mueve sin rozamiento. El principio de conservación de la energía para el sistema aislado formado por los dos gases y el émbolo se escribe para un mol de gas.

$\frac{1}{2} M {(\frac{d x}{d t})}^{2} + c_{v} T_{1} + c_{v} T_{2} = c_{v} T_{10} + c_{v} T_{20}$

El primer término es la energía cinética del émbolo de masa M. El segundo, la energía interna de un mol de gas contenido en la parte izquierda y el tercero, la energía interna de un mol de gas contenido en la parte derecha.

Los dos gases experimentan una transformación adiabática

$\begin{array}{l} p V^{γ} = cte T V^{γ - 1} = cte \\ T_{1} x^{γ - 1} = T_{10} x_{0}^{γ - 1} T_{2} {(L - x)}^{γ - 1} = T_{20} {(L - x_{0})}^{γ - 1} \end{array}$

Recuérdese que c_p=c_v+R y γ=c_p/c_v

El principio de conservación de la energía se escribe.

$\frac{1}{2} M {(\frac{d x}{d t})}^{2} + \frac{R}{γ - 1} {T_{10} {(\frac{x_{0}}{x})}^{γ - 1} + T_{20} {(\frac{L - x_{0}}{L - x})}^{γ - 1}} = \frac{R}{γ - 1} (T_{10} + T_{20})$

El segundo término es la energía potencial E_p(x). que se representa en la figura. Para una energía total E, el émbolo oscila entre las dos posiciones x₀ y x₁ señaladas en la figura, con un determinado periodo

gamma=5.0/3; %indice adiabático del gas
T10=80+273; %temperaturas iniciales
T20=20+273;
R=8.3143; %constante de los gases
L=1.0; %longitud de los recipientes
x0=0.1; %posición inicial del émbolo
E=R*(T10+T20)/(gamma-1); %energía total

f=@(x) R*(T10*(x0./x).^(gamma-1)+T20*((L-x0)./(L-x)).^(gamma-1))/(gamma-1);
fplot(f,[0.05,0.85])
line([0,1],[E,E], 'color','r')
xlabel('x')
ylabel('Ep')
title ('Energía potencial')
grid on

El émbolo parte de la posición x₀, en el instante t=0, y llega a la posición de máximo desplazamiento x₁ cuando su velocidad es dx/dt=0 (la energía potencial E_p se hace igual a la energía total E). Para calcular esta posición, es preciso resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

$T_{10} {(\frac{x_{0}}{x})}^{γ - 1} + T_{20} {(\frac{L - x_{0}}{L - x})}^{γ - 1} = T_{10} + T_{20}$

>> f=@(x) T10*(x0/x)^(gamma-1)+T20*((L-x0)/(L-x))^(gamma-1)-T10-T20;
>> fzero(f,[0.3,0.9])
ans =    0.6443

Ecuación del movimiento

Derivamos la ecuación de la conservación de la energía respecto con respecto del tiempo

$M \frac{d x}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + c_{v} \frac{d T_{1}}{d t} + c_{v} \frac{d T_{2}}{d t} = 0$

La ecuación del movimiento se escribe

$M \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = R T_{10} \frac{x_{0}^{γ - 1}}{x^{γ}} - R T_{20} \frac{{(L - x_{0})}^{γ - 1}}{{(L - x)}^{γ}}$

Se resuelve esta ecuación diferencial de segundo orden por procedimiento numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, x=x₀, y dx/dt=0.

gamma=5.0/3; %indice adiabático del gas
T10=80+273; %temperaturas iniciales
T20=20+273;
R=8.3143; %constante de los gases
L=1.0; %longitud de los recipientes
x0=0.1; %posición inicial del émbolo
m=10; %masa del émbolo

fg=@(t,x) [x(2); R*(T10*x0^(gamma-1)/x(1)^gamma-T20*(L-x0)^(gamma-1)
/(L-x(1))^gamma)/m];
[t,x]=ode45(fg,[0,0.5],[x0,0]);
plot(t,x(:,1)) %tiempo-desplazamiento
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Oscilaciones de un émbolo')
grid on

Actividades

Se introduce

La temperatura inicial T₁₀ en ºC del gas situado en la parte izquierda del cilindro, en el control titulado Temperatura 1
La temperatura inicial T₂₀ en ºC del gas situado en la parte derecha del cilindro, en le control titulado Temperatura 2
La masa M del émbolo en kg, en el control titulado Masa
La posición inicial x₀, en el control titulado Posición. Determina el volumen inicial de los gases proporcional a x₀ y (1.0-x₀), respectivamente.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento oscilatorio del émbolo

Los termómetros marcan la temperatura de los dos gases en K: cuando el gas se comprime adiabáticamente se eleva su temperatura, cuando se expande su temperatura disminuye.

En la parte superior, se representa la energía potencial E_p(x) del émbolo y la energía total mediante una recta horizontal, señalándose los dos puntos de intersección x₀ y x₁ que son los puntos de retorno en los que la velocidad del émbolo se anula. El mínimo de la curva E_p(x) señala la posición de equilibrio, la fuerza sobre el émbolo es nula, la velocidad del émbolo es máxima.

El contador de tiempo en la parte superior, nos permite medir el periodo de las oscilaciones.

Temperatura: Temperatura:
Masa Posición:

Aproximación al equilibrio

Haciendo que el émbolo conduzca el calor cuando hay una difeencia de temperaturas entre la parte izquierda y derecha del recipiente nos aproximamos a la situación de equilibrio

Un cilindro horizontal de sección A y longitud 2L cuyas paredes son perfectamente aislantes contiene un gas ideal a la temperatura T₀ y a la presión P₀. Un émbolo de masa m que divide al recipiente en dos partes iguales se puede desplazar sin rozamiento.

El número n de moles en cada una de las dos partes es $P_{0} A L = n R T_{0}$

Se supondrá que la presión y temperatura del gas ideal son uniformes en cada instante (no hay diferencias entre dos puntos del recinto que lo contiene)

En el instante t=0, el émbolo se desplaza x₀ de la posición de equilibrio y se suelta. Vamos a determinar la posición x del émbolo, su velocidad v, la presión P₁ y la temperatura T₁ de la parte izquierda y la presión P₂ y la temperatura T₂ de la parte derecha, en función del tiempo t

Como el número de moles de gas es el mismo en cada una de las dos partes

$n R = \frac{P_{1} A (L + x)}{T_{1}} = \frac{P_{2} A (L - x)}{T_{2}}$

Evolución del sistema

Se describe el comportamiento del sistema mediante tres ecuaciones diferenciales y la ecuación de estado del gas ideal

La ecuación del movimiento del émbolo de masa m es

$m \frac{d v}{d t} = P_{1} A - P_{2} A$

Transferencia de calor entre las dos partes

La ley de Fourier establece que el flujo de calor (energía por unidad de área y unidad de tiempo) es proporcional al gradiente de temperatura.

Suponiendo que la temperatura T₂ de la parte derecha es mayor que la la de la parte izquierda T₁. El calor absorbido por la parte izquierda es

$\frac{d Q_{1}}{d t} = h A (T_{2} - T_{1})$

donde h es un coeficiente efectivo de transferencia de calor con unidades W/(m²K)

El primer principio de la termodinámica para la parte izquierda se escribe

$\begin{array}{l} d U_{1} = d Q_{1} - P_{1} \cdot d V_{1}, V_{1} = (L + x) A \\ n c_{v} \frac{d T_{1}}{d t} = h A (T_{2} - T_{1}) - P_{1} A \frac{d x}{d t} \end{array}$

c_v es el calor específico a volumen constante

Análogamente, para la parte derecha,

$\begin{array}{l} d U_{2} = d Q_{2} - P_{2} \cdot d V_{2}, V_{2} = A (L - x) \\ \frac{d Q_{2}}{d t} = - h A (T_{2} - T_{1}) \\ n c_{v} \frac{d T_{2}}{d t} = - h A (T_{2} - T_{1}) + P_{2} A \frac{d x}{d t} \end{array}$

Conservación de la energía

Se trata de un sistema aislado, la energía total permanece constante. La energía total se compone de tres términos

La energía interna de la parte izquierda
La energía interna de la parte derecha
La energía cinética del émbolo

La energía inicial corresponde a 2n moles de gas ideal a la temperatura T₀

$n c_{v} T_{1} + n c_{v} T_{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} = n c_{v} T_{10} + n c_{v} T_{20}$

T₁₀ y T₂₀ son las temperaturas iniciales de cada una de las dos partes

Solución numérica del sistema de tres ecuaciones diferenciales

Antes de resolver el sistema de tres ecuaciones diferenciales, es conveniente expresarlas en términos de magnitudes adimensionales

$\begin{array}{l} t_{c} = \sqrt{\frac{m L}{P_{0} A}} \\ τ = \frac{t}{t_{c}}, p = \frac{P}{P_{0}}, ξ = \frac{x}{L}, Γ = \frac{T}{T_{0}} \end{array}$

La ecuación de estado

$\begin{array}{l} \frac{P_{1} A (L + x)}{T_{1}} = \frac{P_{2} A (L - x)}{T_{2}} = \frac{P_{0} A L}{T_{0}} \\ \frac{p_{1} (1 + ξ)}{Γ_{1}} = \frac{p_{2} (1 - ξ)}{Γ_{2}} = 1 \end{array}$

La ecuación del movimiento del émbolo. Primera ecuación diferencial

$\begin{array}{l} m \frac{L d^{2} ξ}{\frac{m L}{P_{0} A} d τ^{2}} = P_{0} A (p_{1} - p_{2}) \\ \frac{d^{2} ξ}{d τ^{2}} = p_{1} - p_{2} \\ \frac{d^{2} ξ}{d τ^{2}} = \frac{Γ_{1}}{1 + ξ} - \frac{Γ_{2}}{1 - ξ} \end{array}$

La segunda ecuación diferencial

$\begin{array}{l} n c_{v} \frac{d T_{1}}{d t} = h A (T_{2} - T_{1}) - P_{1} A \frac{d x}{d t} \\ n c_{v} \frac{T_{0} d Γ_{1}}{t_{c} d τ} = h A T_{0} (Γ_{2} - Γ_{1}) - P_{0} p_{1} A L \frac{d ξ}{t_{c} d τ} \\ \frac{d Γ_{1}}{d τ} = \frac{h A t_{c}}{n c_{v}} (Γ_{2} - Γ_{1}) - \frac{P_{0} A L}{n c_{v} T_{0}} p_{1} \frac{d ξ}{d τ} \\ \frac{d Γ_{1}}{d τ} = \frac{h A t_{c}}{n c_{v}} (Γ_{2} - Γ_{1}) - \frac{R}{c_{v}} p_{1} \frac{d ξ}{d τ} \\ \frac{d Γ_{1}}{d τ} = \frac{t_{c}}{t_{h}} (Γ_{2} - Γ_{1}) - \frac{R}{c_{v}} p_{1} \frac{d ξ}{d τ}, t_{h} = \frac{n c_{v}}{h A} \\ \frac{d Γ_{1}}{d τ} = \frac{t_{c}}{t_{h}} (Γ_{2} - Γ_{1}) - \frac{R}{c_{v}} \frac{Γ_{1}}{1 + ξ} \frac{d ξ}{d τ} \end{array}$

La tercera ecuación diferencial

Del mismo modo

$\begin{array}{l} n c_{v} \frac{d T_{2}}{d t} = h A (T_{1} - T_{2}) + P_{2} A \frac{d x}{d t} \\ \frac{d Γ_{2}}{d τ} = - \frac{t_{c}}{t_{h}} (Γ_{2} - Γ_{1}) + \frac{R}{c_{v}} p_{2} \frac{d ξ}{d τ} \\ \frac{d Γ_{2}}{d τ} = - \frac{t_{c}}{t_{h}} (Γ_{2} - Γ_{1}) + \frac{R}{c_{v}} \frac{Γ_{2}}{1 - ξ} \frac{d ξ}{d τ} \end{array}$

El principio de conservación de la energía

$\begin{array}{l} n c_{v} T_{1} + n c_{v} T_{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} = n c_{v} T_{10} + n c_{v} T_{20} \\ n c_{v} T_{0} Γ_{1} + n c_{v} T_{0} Γ_{2} + \frac{1}{2} m \frac{L^{2}}{\frac{m L}{P_{0} A}} {(\frac{d ξ}{d τ})}^{2} = n c_{v} T_{10} + n c_{v} T_{20} \\ n c_{v} T_{0} Γ_{1} + n c_{v} T_{0} Γ_{2} + \frac{1}{2} \frac{P_{0} A L}{n c_{v}} {(\frac{d ξ}{d τ})}^{2} = n c_{v} T_{10} + n c_{v} T_{20} \\ Γ_{1} + Γ_{2} + \frac{1}{2} \frac{R}{c_{v}} {(\frac{d ξ}{d τ})}^{2} = Γ_{10} + Γ_{20} \end{array}$

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones diferenciales

${\begin{cases} \frac{d^{2} ξ}{d τ^{2}} = \frac{Γ_{1}}{1 + ξ} - \frac{Γ_{2}}{1 - ξ} \\ \frac{d Γ_{1}}{d τ} = \frac{t_{c}}{t_{h}} (Γ_{2} - Γ_{1}) - \frac{R}{c_{v}} \frac{Γ_{1}}{1 + ξ} \frac{d ξ}{d τ} \\ \frac{d Γ_{2}}{d τ} = - \frac{t_{c}}{t_{h}} (Γ_{2} - Γ_{1}) + \frac{R}{c_{v}} \frac{Γ_{2}}{1 - ξ} \frac{d ξ}{d τ} \end{cases}$

Con las condiciones iniciales: en el instante τ=0, el desplazamiento es ξ₀<1, la temperaturas iniciales son iguales Γ₁=1 y Γ₂=1

El sistema de tres ecuaciones diferenciales se resuelve mediante el procedimiento ode45 de MATLAB. Además se comprueba la conservación de la energía

Ejemplo 1

El cociente t_c/t_h=1
Calor específico a volumen constante, c_v=5R/2
El desplazamiento inicial ξ₀=0.25
La velocidad inicial dξ/dt₀=0
La temperatura inicial de la parte izquierda Γ₁₀=1
La temperatura inicial de la parte derecha Γ₂₀=1

% x(1) es xi, x(2) es dxi/dtau, x(3) es T1 , x(4) es T2
k=1; %cociente t_c/t_h
cv=2.5; %c_v/R

fg=@(t,x)[x(2); x(3)/(1+x(1))-x(4)/(1-x(1)); k*(x(4)-x(3))-
x(3)*x(2)/(cv*(1+x(1))); -k*(x(4)-x(3))+x(4)*x(2)/(cv*(1-x(1)))];
[t,x]=ode45(fg,[0,30],[0.25,0,1,1]);
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('\tau')
ylabel('\xi');
title('Posición del émbolo')

figure
plot(t,x(:,2))
grid on
xlabel('\tau')
ylabel('d\xi/d\tau');
title('Velocidad del émbolo')

figure
hold on
plot(t,x(:,3))
plot(t,x(:,4))
hold off
legend('1','2','Location', 'best')
grid on
xlabel('\tau')
ylabel('\Gamma');
title('Temperaturas ')

figure
hold on
plot(t,x(:,3)./(1+x(:,1)))
plot(t,x(:,4)./(1-x(:,1)))
hold off
legend('1','2','Location', 'best')
grid on
xlabel('\tau')
ylabel('p');
title('Presión del gas')

figure
plot(x(:,1),x(:,2))
grid on
xlabel('\xi')
ylabel('d\xi/d\tau');
title('Espacio de las fases')

%conservación de la energía
E=x(:,4)+x(:,3)+x(:,2).^2/(2*cv);

Posición del émbolo ξ en función del tiempo τ

Velocidad del émbolo dξ/dτ en función del tiempo τ

Velocidad del émbolo dξ/dτ en función de la posición ξ

Presión p del gas en función del tiempo τ

Se emplea la ecuación de estado para calcular la presión conocido el desplazamiento del émbolo ξ y la temperatura Γ

$\frac{p_{1} (1 + ξ)}{Γ_{1}} = \frac{p_{2} (1 - ξ)}{Γ_{2}} = 1$

Temperaturas del gas Γ₁ y Γ₂

Comprobamos la conservación de la energía

>> E=x(:,4)+x(:,3)+x(:,2).^2/(2*cv)
E =
    2.0000
    2.0000
    ....
    2.0000
    2.0000
    2.0000

Ejemplo 2

El desplazamiento inicial ξ₀=0
La velocidad inicial dξ/dt₀=0
La temperatura inicial de la parte izquierda Γ₁₀=1.25
La temperatura inicial de la parte derecha Γ₂₀=1