Autoinducción. Circuito R-L

Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i.

  1. El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide es uniforme y paralelo a su eje, cuyo módulo hemos obtenido aplicando la ley de Ampère
  2. B= μ 0 Ni l

  3. Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
  4. Φ= B ·(N S )=NBScos0= μ 0 N 2 S l i

  5. Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio Φ y la intensidad i.
  6. L= Φ i = μ 0 N 2 S l

El coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío

La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.

f.e.m. autoinducida

Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m. en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.

Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio

V L = dΦ dt =L di dt

La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.

Establecimiento de una corriente en un circuito

Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.

La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al aumento de la corriente en el circuito.

En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que

V ab + V bc + V ca =0 iR+L di dt V 0 =0

La ecuación del circuito se obtiene de forma alternativa

V L + V 0 =iR ( L di dt )+ V 0 =iR iR+L di dt V 0 =0

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0.

0 i di V 0 Ri = 1 L 0 t dt i= V 0 R ( 1exp( R L t ) )

Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R en muy poco tiempo. Cuando se alcanza el estado estacionario, t→∞, la autoinducción no afecta al circuito ya que di/dt→0

Caída de la corriente en un circuito

Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería, la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente.

 

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa

V ab + V ba =0 iR+L di dt =0

La ecuación del circuito se obtiene de forma alternativa

V L =iR L di dt =iR iR+L di dt =0

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i0.

i 0 i di Ri = 1 L 0 t dt i= i 0 exp( R L t )

La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.

Diseñamos un experimento para mostrar el establecimiento y caída de una corriente en un circuito. Conectamos A y B, y cuando la corriente i es casi constante y aproximadamente, igual a V0/R, conectamos B y C, la corriente i decrece rápidamente

f=@(t) (1-exp(-0.7*t));
g=@(t) exp(-0.7*(t-10));
hold on
fplot(f,[0,10])
fplot(g,[10,20])
hold off
xlabel('t')
ylabel('i')
title('Corriente en un circuito L-R')
grid on

Energía del campo magnético

Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0·i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito

iR=V0+VL

Multiplicando ambos miembros por la intensidad i.

V 0 i=R i 2 +Li di dt

El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.

d E B dt =Li di dt

Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos

E B = 1 2 L i 2

Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i.

Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se escribe

E B = 1 2 ( μ 0 N 2 S l ) i 2 =( 1 2 B 2 μ 0 )Sl

La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen) y el volumen S·l. En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula

E B = V 1 2 B 2 μ 0 dV

La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo.

Comprobación

Actividades

Se introduce

Conectamos el circuito formado por la autoinducción y la resistencia a una batería, activando la casilla titulada Batería. Observamos como la intensidad de la corriente crece con el tiempo hasta que se establece una intensidad constante e igual a V0/R. La resistencia se va calentando pasando de color negro a rojo

Desactivamos la casilla Batería, la corriente inicial del circuito i0=V0/R, va disminuyendo exponencialmente con el tiempo hasta que desaparece. La resistencia se va enfriando pasando de color rojo a negro



Ejemplo. Circuito R, L

Consideremos el circuito de la figura, formado por una batería V0 de diferencia de potencial constante, una resistencia R3 y dos bobinas en paralelo de coeficientes de autoinducción L1 y L2, de resistencias internas R1 y R2, respectivamente. En el instante inicial t=0, se cierra el interruptor S y se mide la intensidad de la corriente que pasa por las bobinas.

Este ejemplo, ilustra el papel de la autoinducción en el establecimiento de una corriente constante en el circuito después de un tiempo teóricamente infinito, t→∞

Situación inicial

Antes de cerrar el interruptor, por la malla izquierda circula una corriente de intesidad i1, que después de un tiempo, ha alcanzado el estado estacionario (la autoinducción L1 no afecta al circuito), se ha hecho constante e igual a

i 1 = V 0 R 1 + R 3

Por la malla derecha no circula intensidad alguna, i2=0.

Estas son las intensidades que hay en el circuito en el instante t=0, cuando se cierra el interruptor S.

Situación final, estado estacionario

Después de un tiempo suficientemente grande t→∞, las corrientes i1 e i2 son constantes, las autoinducciones L1 y L2 no afectan al circuito

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{ ( R 1 + R 3 ) i 1 + R 3 i 2 = V 0 R 3 i 1 +( R 2 + R 3 ) i 2 = V 0 i 1 ()= V 0 R 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 i 2 ()= V 0 R 1 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3

De la situación inicial a la final

Estudiamos la evolución desde el estado inicial al final. Supondremos que i1 e i2 aumentan con el tiempo. Para formular la ecuación del circuito, sustituimos cada autoinducción por una batería del la misma fem que se está cargando

La ecuación de la malla izquierda y derecha son, respectivamente

{ V 0 + V L1 =( i 1 + i 2 ) R 3 + i 1 R 1 V 0 + V L2 =( i 1 + i 2 ) R 3 + i 2 R 2 { V 0 +( L 1 d i 1 dt )=( i 1 + i 2 ) R 3 + i 1 R 1 V 0 +( L 2 d i 2 dt )=( i 1 + i 2 ) R 3 + i 2 R 2

La resistencia R3 actúa de acoplamiento entre las dos mallas. Si no existiese esta resistencia, tendríamos dos ecuaciones diferenciales separadas una para i1 y otra para i2

Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, i2=0, i1=V0/(R1+R3). Introduciendo estas condiciones en el sistema de dos ecuaciones, tenemos dos condiciones más relativas a la derivada de las intensidades con respecto del tiempo

( d i 1 dt ) 0 =0, ( d i 2 dt ) 0 = R 1 L 2 ( R 1 + R 2 ) V 0

Las soluciones de las dos ecuaciones diferenciales lineales son

i 1 (t)= i 1 ()+ C 1 exp( r 1 t)+ C 2 exp( r 2 t) i 2 (t)= i 2 ()+ D 1 exp( r 1 t)+ D 2 exp( r 2 t)

Las derivadas con respecto del tiempo t, son

d i 1 dt = r 1 C 1 exp( r 1 t)+ r 2 C 2 exp( r 2 t) d i 2 dt = r 1 D 1 exp( r 1 t)+ r 2 D 2 exp( r 2 t)

Donde r1 y r2 son las raíces de la ecuación característica

A r 2 +Br+1=0 r 1 = B+ B 2 4A 2A , r 2 = B B 2 4A 2A

Conocidas las expresiones de los coeficientes A y B, no resulta difícil demostrar que ambas raíces son reales y también, son negativas

Los coeficientes C1, C2, se determinan a partir de las condiciones iniciales: la intensidad i1(0) en el instante t=0 y de su derivada primera (di1/dt)0=0

{ i 1 (0)= i 1 ()+ C 1 + C 2 0= r 1 C 1 + r 2 C 2 C 2 = r 1 r 1 r 2 ( i 1 (0) i 1 () )= 1 2 ( B B 2 4A 1 )( i 1 () i 1 (0) ) C 1 = 1 2 ( B B 2 4A +1 )( i 1 () i 1 (0) )

Los coeficientes D1, D2, se determinan a partir de las condiciones iniciales: la intensidad i2(0)=0 en el instante t=0 y de su derivada primera (di2/dt)0

{ 0= i 2 ()+ D 1 + D 2 R 1 L 2 ( R 1 + R 2 ) V 0 = r 1 D 1 + r 2 D 2 D 2 = A R 1 L 2 ( R 1 + R 2 ) V 0 + 1 2 ( B+ B 2 4A ) i 2 () B 2 4A D 1 = A R 1 L 2 ( R 1 + R 2 ) V 0 1 2 ( B+ B 2 4A ) i 2 () B 2 4A

Representamos i1(t) e i2(t) para el siguiente circuito

L1=4; %bobina 1
R1=89;
L2=4; %bobina 2
R2=89; 
R3=200; %resistencia
V0=9.3; %batería

A=L1*L2/(R1*R2+R1*R3+R2*R3);
B=(L1*(R2+R3)+L2*(R1+R3))/(R1*R2+R1*R3+R2*R3);
i1_0=V0/(R1+R3);  %intensidad inicial
i1_inf=R2*V0/(R1*R2+R1*R3+R2*R3); %intensidad final
i2_inf=R1*V0/(R1*R2+R1*R3+R2*R3);
%raíces de la ecuación característica
r1=(-B+sqrt(B^2-4*A))/(2*A);
r2=(-B-sqrt(B^2-4*A))/(2*A);
C1=-(B/sqrt(B^2-4*A)+1)*(i1_inf-i1_0)/2;
C2=(B/sqrt(B^2-4*A)-1)*(i1_inf-i1_0)/2;
D1=-(A*R1*V0/(L2*(R1*R2))+(-B+sqrt(B^2-4*A))*i2_inf/2)/sqrt(B^2-4*A);
D2=(A*R1*V0/(L2*(R1*R2))-(B+sqrt(B^2-4*A))*i2_inf/2)/sqrt(B^2-4*A);
f1=@(t) (i1_inf+C1*exp(r1*t)+C2*exp(r2*t))*1000; %intensidad mA
f2=@(t) (i2_inf+D1*exp(r1*t)+D2*exp(r2*t))*1000; %intensidad mA
hold on
fplot(f1,[0,0.1])
fplot(f2,[0,0.1])
line([0,0.1],[i1_inf,i1_inf]*1000, 'lineStyle','--','color','k') %asíntota
hold off
grid on
xlabel('t (s)')
legend('1','2')
ylabel('i(t) (mA)')
title('Intensidades')

Observamos que las intensidades tienden hacia un valor constante, i1(∞)=i2(∞) señalado por la línea horizontal a trazos

Podemos ahora, calcular y representar la diferencia de potencial entre los elxtremos de un elemento del cicuito, por ejemplo, representamos la diferencia de potencial entre los extremos de la bobina izquierda

V 1 = i 1 R 1 + L 1 d i 1 dt

L1=4; %bobina 1
R1=89;
L2=4; %bobina 2
R2=89; 
R3=200; %resistencia
V0=9.3; %batería

A=L1*L2/(R1*R2+R1*R3+R2*R3);
B=(L1*(R2+R3)+L2*(R1+R3))/(R1*R2+R1*R3+R2*R3);
i1_0=V0/(R1+R3);
i1_inf=R2*V0/(R1*R2+R1*R3+R2*R3);
i2_inf=R1*V0/(R1*R2+R1*R3+R2*R3);
%raíces de la ecuación característica
r1=(-B+sqrt(B^2-4*A))/(2*A);
r2=(-B-sqrt(B^2-4*A))/(2*A);
C1=-(B/sqrt(B^2-4*A)+1)*(i1_inf-i1_0)/2;
C2=(B/sqrt(B^2-4*A)-1)*(i1_inf-i1_0)/2;
D1=-(A*R1*V0/(L2*(R1*R2))+(-B+sqrt(B^2-4*A))*i2_inf/2)/sqrt(B^2-4*A);
D2=(A*R1*V0/(L2*(R1*R2))-(B+sqrt(B^2-4*A))*i2_inf/2)/sqrt(B^2-4*A);
f1=@(t) i1_inf+C1*exp(r1*t)+C2*exp(r2*t); %intensidad, A
f2=@(t) i2_inf+D1*exp(r1*t)+D2*exp(r2*t); %intensidad, A

V1=@(t) R1*f1(t)+L1*(r1*C1*exp(r1*t)+r2*C2*exp(r2*t));% ddp en la bobina
fplot(V1,[0,0.06])
line([0,0.06],[R1*i1_inf,R1*i1_inf], 'lineStyle','--','color','k') %asíntota
grid on
ylim([1,3])
xlabel('t (s)')
ylabel('V_1 (V)')
title('d.d.p.')

La diferencia de potencial V1 entre los extremos de la bobina, tiende hacia R1·i1(∞). La autoinducción L1 no afecta al circuito en el estado estacionario

Referencas

Carl E. Mungan. Double-Exponential LR circuit. The Physics Teacher, Vol. 43, November 2005, pp. 519-523