Autoinducción. Circuito R-L

Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i.

  1. El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide es uniforme y paralelo a su eje, cuyo módulo hemos obtenido aplicando la ley de Ampère
  2. B= μ 0 Ni l

  3. Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
  4. Φ=NB·S=NBScos0= μ 0 N 2 S l i

  5. Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio Φ y la intensidad i.
  6. L= Φ i = μ 0 N 2 S l

El coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío

La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.

f.e.m. autoinducida

Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m. en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.

Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio

V L = dΦ dt =L di dt

La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.

Establecimiento de una corriente en un circuito

Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.

La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al aumento de la corriente en el circuito.

En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que

V ab + V bc + V ca =0 iR+L di dt V 0 =0

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0.

0 i di V 0 Ri = 1 L 0 t dt i= V 0 R ( 1exp( R L t ) )

Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R en muy poco tiempo.

Caída de la corriente en un circuito

Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería, la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente.

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa

V ab + V ba =0 iR+L di dt =0

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i0.

i 0 i di Ri = 1 L 0 t dt i= i 0 exp( R L t )

La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.

Diseñamos un experimento para mostrar el establecimiento y caída de una corriente en un circuito. Conectamos A y B, y cuando la corriente i es casi constante y aproximadamente, igual a V0/R, conectamos B y C, la corriente i decrece rápidamente

f=@(t) (1-exp(-0.7*t));
g=@(t) exp(-0.7*(t-10));
hold on
fplot(f,[0,10])
fplot(g,[10,20])
hold off
xlabel('t')
ylabel('i')
title('Corriente en un circuito L-R')
grid on

Energía del campo magnético

Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0·i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito

iR=V0+VL

Multiplicando ambos miembros por la intensidad i.

V 0 i=R i 2 +Li di dt

El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.

d E B dt =Li di dt

Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos

E B = 1 2 L i 2

Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i.

Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se escribe

E B = 1 2 ( μ 0 N 2 S l ) i 2 =( 1 2 B 2 μ 0 )Sl

La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen) y el volumen S·l. En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula

E B = V 1 2 B 2 μ 0 dV

La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo.

Comprobación