Trayectorias parabólicas

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es

r= d 1+cosθ

d=1;
ang=-2*pi/3:pi/180:2*pi/3;
r=d./(1+cos(ang));
polar(ang,r)
title('Trayectoria parabólica')

El Sol se encuentra en el centro, la mínima distancia entre el Sol y el cometa es a=d/2. La energía E del cometa es cero. Su velocidad máxima v está relacionada con la distancia de máximo acercamiento a. El momento angular L es constante

1 2 m v 2 +( G Mm a )=0 L=mvasin90=m 2GMa

Vamos ahora a calcular el tiempo que tarda un cometa en desplazarse un determinado arco de parábola.

En la página titulada Trayectorias elípticas, calculamos el periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta un cuerpo celeste que describe una trayectoria elíptica.

En el intervalo de tiempo entre t y t+dt, el radio vector se desplaza un intervalo angular entre θ y θ+dθ y barre el área de un triángulo de base (r·dθ) y altura r.

r( r·dθ ) 2 = r 2 ·dθ 2

El momento angular en coordenadas polares se escribe

L=m r 2 dθ dt

Teniendo en cuenta que el momento angular es constante, integramos

0 θ r 2 2 dθ= L 2m 0 t dt

El tiempo t, que tarda en desplazarse un cometa desde θ=0, a θ es

t= 1 2GMa 0 θ ( 2a 1+cosθ ) 2 dθ= a 2 2GMa 0 θ 1 cos 4 (θ/2 ) dθ= 2 a 2 2GMa 0 θ 1 cos 4 φ dφ

Para integrar, hacemos los cambios

y=tanφdy= dφ cos 2 φ 1+ tan 2 φ= 1 cos 2 φ dφ cos 4 φ = dy cos 2 φ = (1+ y 2 )dy=( y+ y 3 3 )=tanφ+ tan 3 φ 3

El tiempo t que tarda el cometa en desplazarse un ángulo θ es

t= 2 a 3 GM ( tan θ 2 + tan 3 (θ/2 ) 3 )

Tiempo de tránsito de un cometa

Supongamos que un cometa atraviesa la órbita circular de la Tierra de radio R, tal como se muestra en la figura

Calculamos el ángulo θ de intersección de las dos trayectorias

R= 2a 1+cosθ

Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica

tan 2 θ 2 = 1cosθ 1+cosθ

Tenemos que

tan θ 2 = Ra a

Por simetría, el tiempo de tránsito es el doble que el calculado entre 0 y θ

t= 2 3 ( 2a+R ) 2 GM ( Ra )

El extremo de t (máximo o mínimo) se obtienen derivando t respecto de a e igualando a cero, dt/da=0. El resultado es a=R/2, por lo que el tiempo de tránsito se reduce a

t= 4 3 R 3 GM

Este tiempo es una fracción del periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta la Tierra

La Tierra describe una órbita circular de radio R. Para calcular su velocidad v aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme

m v 2 R =G Mm R 2 v= GM R

El tiempo que tarda en recorrer la órbita circular es

P= 2πR v =2π R 3 GM

El tiempo de tránsito de un cometa con a=R/2 que pasa justamente entre el Sol y la Tierra es una fracción del periodo P (un año) de la Tierra

t= 2 3π P

Referencias

Ahmad A. Kamal. 1000 Solved Problems in Classical Physics. An Exercise Book. Springer (2011). Problemas 5.46 y 5.47 pp. 226-228