Viscosidad

En la figura, se representa un fluido comprendido entre una lámina inferior fija y una lámina superior móvil.

La capa de fluido en contacto con la lámina móvil tiene la misma velocidad que ella, mientras que la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas intermedias aumenta uniformemente entre ambas láminas tal como sugieren las flechas. Un flujo de este tipo se denomina laminar.

Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará  en la porción ABC’D’.

Sean dos capas de fluido de área S que distan dx y entre las cuales existe una diferencia de velocidad dv.

La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad. La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad η.

F A =η dv dx

En el caso particular, de que la velocidad aumente uniformemente, como se indicó en la primera figura, la expresión se escribe

F A =η v d

En la figura, se representan dos ejemplos de movimiento de un fluido a lo largo de una tubería horizontal alimentada por un depósito grande que contiene líquido a nivel constante. Cuando el tubo horizontal está cerrado todos los tubos manométricos dispuestos a lo largo de la tubería marcan la misma presión p=p0+ρgh. Al abrir el tubo de salida los manómetros registran distinta presión según sea el tipo de fluido.

Fluido ideal

Un fluido ideal (figura de la izquierda) sale por la tubería con una velocidad, v= 2gh , de acuerdo con el teorema de Torricelli. Toda la energía potencial disponible (debido a la altura h) se transforma en energía cinética. Aplicando la ecuación de Bernoulli comprobamos que la altura del líquido en los manómetros debe ser cero.

Fluido viscoso

En un fluido viscoso (figura de la derecha) el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan alturas decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energía potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado íntegramente en calor. El hecho de que los manómetros marquen presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la pérdida de energía en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo

Viscosidad de algunos líquidos

Líquido η ·10-2 kg/(ms)
Aceite de ricino 120
Agua 0.105
Alcohol etílico 0.122
Glicerina 139.3
Mercurio 0.159

Ley de Poiseuille

Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tubería de radio interior R y de longitud L, bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión existente en los extremos del tubo.

F=(p1-p2)π r2

Sustituyendo F en la definición de viscosidad y teniendo en cuenta que el área A de la capa es ahora el área lateral de un cilindro de longitud L y radio r.

( p 1 p 2 )π r 2 2πrL =η dv dr

El signo negativo se debe a que v disminuye al aumentar r.

Perfil de velocidades

Integrando esta ecuación, obtenemos el perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo. Se ha de tener en cuenta que la velocidad en las paredes del tubo r=R es nula.

v 0 dv = p 1 p 2 2ηL r R rdrv= p 1 p 2 4ηL ( R 2 r 2 )

que es la ecuación de una parábola.

El flujo tiene por tanto un perfil de velocidades parabólico, siendo la velocidad máxima en el centro del tubo.

Gasto

El volumen de fluido que atraviesa cualquier sección normal del tubo en la unidad de tiempo se denomina gasto.

El volumen de fluido que atraviesa el área del anillo comprendido entre r y r+dr en la unidad de tiempo es v(2π rdr). Donde v es la velocidad del fluido a una distancia r del eje del tubo y 2π rdr es el área del anillo

El gasto se hallará integrando

G= 0 R v2πrdr = π( p 1 p 2 ) 2ηL 0 R ( R 2 r 2 )rdr = π 8 ( p 1 p 2 ) R 4 ηL

El gasto G es inversamente proporcional a la viscosidad η y varía en proporción directa a la cuarta potencia del radio del tubo R, es directamente proporcional al gradiente de presión a lo largo del tubo, es decir, al cociente (p1-p2)/L.

El gasto se puede expresar G=πR2<v>, donde <v> es la velocidad media del fluido

p 1 p 2 = 8ηL R 2 <v>

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se muestra el movimiento de partículas de fluido situadas a distintas distancias del eje del tubo. Se comprueba que las velocidades de las partículas son directamente proporcionales al gradiente de presión (p1-p2)/L e inversamente proporcionales a la viscosidad η.


Perfil de velocidades

La ecuación de Navier-Stokes para un fluido incompresible bajo la acción de un gradiente de presión es

η 2 vp=0

Movimiento del fluido entre dos placas planas paralelas en reposo

El caso más simple, es el movimiento de un fluido entre dos placas planas paralelas al plano XY distantes 2h. Se establece un gradiente de presión dp/dy a lo largo del eje Y

η d 2 v d z 2 = dp dy

La solución de esta ecuación diferencial es

dv dz = 1 η dp dy z+ c 1 v= 1 2η dp dy z 2 + c 1 z+ c 2

Las constantes c1 y c2 se determinan sabiendo que la velocidad del fluido es nula, v=0 cuando está en contacto con la placa superior z=h e inferior z=-h

c 1 =0, c 2 = 1 2 1 η dp dy h 2 v= 1 2η dp dy ( z 2 h 2 ) v= 1 2η p 2 p 1 L ( z 2 h 2 )= 1 2η Δp L h 2 ( 1 z 2 h 2 )

Donde Δp/L=(p1-p2)/L es el gradiente de presión p1>p2

El máximo de velocidad dv/dz=0, se obtiene para z=0

Representamos el perfil de velocidades: v/v0 en el eje X y z/h en el eje Y. Donde v0=Δp·h2/(2ηL)

f=@(x) (1-x.^2);
fplot(f, [-1,1])
xlabel('z/h')
ylabel('v/v_0')
grid on
title('Perfil de velocidades')
view(90,-90)

Gasto

El volumen de fluido que atraviesa el área de longitud 1 y anchura dz (señalada en color azul en la figura) en la unidad de tiempo es v·dz. El flujo o gasto es

G= h h v·dz = 2 3η Δp L h 3

Movimiento del fluido entre dos placas planas paralelas, la superior en movimiento y la inferior en reposo

Supongamos ahora que la placa superior se mueve con velocidad constante u y la inferior está en reposo

Calculamos los coeficienets c1 y c2 sabiendo que v=0, para z=-h y v=u, para z=h

c 1 = u 2h , c 2 = 1 2 ( u 1 η dp dy h 2 ) v= 1 2η dp dy h 2 ( z 2 h 2 1 )+ u 2 ( z h +1 ) v u = 1 2ηu Δp L h 2 ( 1 z 2 h 2 )+ 1 2 ( 1+ z h )

Representamos el perfil de velocidades: v/u en el eje X y z/h en el eje Y para varios valores de k=Δp·h2/(2ηu·L). Para k=0, el perfil de velocidades es una recta

hold on
for k=(-3:3)/4
    f=@(x) k*(1-x.^2)+(1+x)/2;
    fplot(f, [-1,1],'displayName',num2str(k))
end
hold off
xlabel('z/h')
ylabel('v/u')
grid on
legend('-DynamicLegend','location','northwest')
title('Perfil de velocidades')
view(90,-90)

Movimiento del fluido por una tubería

Consideresmos ahora un tubo de radio R por el que circula un fluido al establecerse un gradiente de presión Δp/L=(p1-p2)/L

En coordenadas cilíndricas ρ es la distancia al eje Z del tubo

El perfil de velocidades, se obtiene integrando la ecuación diferencial

η 1 ρ d dρ ( ρ dv dρ )= dp dz

La solución de esta ecuación diferencial es

d dρ ( ρ dv dρ )= 1 η dp dy ρ ρ dv dρ = 1 2η dp dy ρ 2 + c 1 v= 1 4η dp dy ρ 2 + c 1 lnρ+ c 2

En una tubería de radio R, c1=0, para que la velocidad v sea finita cuando ρ→0

c2 se determina con la condición de que v=0, para ρ=R

v= 1 4η dp dy ( ρ 2 R 2 ) v= 1 4η Δp L R 2 ( 1 ρ 2 R 2 )

El perfil de velocidades es similar al estudiado en el primer apartado, Movimiento del fluido entre dos placas planas paralelas en reposo

Gasto

Calculamos el volumen de fluido que atraviesa cualquier sección normal del tubo en la unidad de tiempo

El volumen de fluido que atraviesa el área del anillo comprendido entre ρ y ρ+dρ en la unidad de tiempo es v(2πρ·dρ). Donde v es la velocidad del fluido a una distancia ρ del eje del tubo y 2πρ·dρ es el área del anillo

G= 0 R v( 2πρ·dρ ) = 2π 4η Δp L R 2 ( R 2 2 R 4 4 R 2 )= π 8η Δp L R 4

Tubo hueco

Supongamos ahora un tubo hueco de radio interior r y radio exterior R. Sabiendo que v=0, para ρ=r (superficie interior del tubo) y para ρ=R (superficie exterior), calculamos las constantes c1 y c2

0= 1 4η dp dy r 2 + c 1 lnr+ c 2 0= 1 4η dp dy R 2 + c 1 lnR+ c 2

El perfil de velocidades es

v= 1 4η dp dy ( ρ 2 ( R 2 r 2 ) ln( R r ) lnρ+ ( R 2 r 2 ) ln( R r ) lnR R 2 )= 1 4η dp dy R 2 ( ρ 2 R 2 + ( 1 r 2 R 2 ) ln( R r ) ln( R ρ )1 ) v= 1 4η Δp L ( ρ 2 r 2 )lnR( R 2 r 2 )lnρ+( R 2 ρ 2 )lnr ln( R r )

k=1;
R=1;
r=0.25;
f=@(x) k*(1-x.^2-(1-(r/R)^2)*log(R./x)/log(R/r));
fplot(f, [r,R])
xlabel('\rho/R')
ylabel('v/v_0')
grid on
title('Perfil de velocidades')
view(90,-90)

La máxima velocidad se obtiene derivando e igualando a cero, dv/dρ=0

dv dρ = 1 4η Δp L 2ρlnR R 2 r 2 ρ 2ρlnr ln( R r ) =0 r m = R 2 r 2 2ln( R r )

>> rm=sqrt((R^2-r^2)/(2*log(R/r)))
rm =    0.5815
>> f(rm)
ans =    0.2952

La máxima velocidad v/v0=0.2952, donde v0=Δp·R2/(4ηL)

Gasto

Obtenemos el gasto de forma similar a la del tubo, cambiando solamente el límite inferior de la integral, en vez de 0 se pone r radio interior del tubo.

G= r R v( 2πρ·dρ ) = π 2η Δp L 1 ln( R r ) { ( ρ 4 4 r 2 ρ 2 2 )lnR( R 2 r 2 ) ρ 2 2 ( lnρ 1 2 )+( R 2 ρ 2 2 ρ 4 4 )lnr } | r R = π 8η Δp L ( R 2 r 2 ){ R 2 r 2 +( R 2 + r 2 )ln( R r ) } ln( R r )

Se ha utilizado el resultado de la integral

xlnx·dx= x 2 2 ( lnx 1 2 )

Referencias

Francis W. Sears, Mark W. Zemansky. Física. Edt. Aguilar, (1966), pp. 307-313

C. Neipp, A. Hernández, T. Beléndez, J.J. Rodes, A. Beléndez. Three approaches to calculating the velocity profile of a laminar incompressible fluid in a hollow tube. Am. J. Phys. 71 (1) January 2003, pp. 46-48