El átomo de hidrógeno
Modelo atómico de Bohr
Un átomo tiene una dimensión del orden de 10-9 m. Está compuesto por un núcleo relativamente pesado (cuyas dimensiones son del orden de 10-14 m) alrededor del cual se mueven los electrones, cada uno de carga -e (1.6 10-19 C) y masa me (9.1·10-31 kg).
El núcleo está compuesto por protones y neutrones. El número Z de protones coincide con el número de electrones en un átomo neutro. La masa de un protón o de un neutrón es aproximadamente 1850 veces la de un electrón. En consecuencia, la masa de un átomo es prácticamente igual a la del núcleo.
Sin embargo, los electrones de un átomo son los responsables de la mayoría de las propiedades atómicas que se reflejan en las propiedades macroscópicas de la materia.
El movimiento de los electrones alrededor del núcleo se explica, considerando solamente las interacciones entre el núcleo y los electrones (la interacción gravitatoria es completamente despreciable).
Consideremos dos electrones separados una distancia d, y comparemos la fuerza de repulsión eléctrica con fuerza de atracción entre sus masas.
La intensidad de la interacción gravitatoria es despreciable frente a la interacción electromagnética.
El modelo de Bohr es muy simple y recuerda al modelo planetario de Copérnico, los planetas describiendo órbitas circulares alrededor del Sol. El electrón de un átomo o ión hidrogenoide describe también órbitas circulares, pero los radios de estas órbitas no pueden tener cualquier valor.
Consideremos un átomo o ión con un solo electrón. Supondremos que el núcleo de carga Ze es un centro fijo de fuerzas.
Si el electrón describe una órbita circular de radio r, por la dinámica del movimiento circular uniforme
En el modelo de Bohr, solamente están permitidas aquellas órbitas cuyo momento angular está cuantizado.
n es un número entero que se denomina número cuántico, y h= 6.6256·10-34 Js es la constante de Planck
Esta regla admite otra interpretación
Para que la órbita corresponda a un estado estacionario, la longitud de la circunferencia de radio r deberá ser un múltiplo entero de la longitud de onda λ tal como se ve en la figura.
2πr=nλ
La longitud de onda de de Broglie de una partícula de masa me que se mueve con velocidad v es onda λ=h/p. Donde h es la constante de Planck y p=mev es el momento lineal del electrón.
Los radios de las órbitas permitidas son
donde a0 se denomina radio de Bohr. a0 es el radio de la órbita del electrón del átomo de Hidrógeno Z=1 en su estado fundamental n=1.
Dibujamos las posibles órbitas circulares del electrón del átomo de hidrógeno, en unidades del radio de Bohr a0
hold on for n=1:5 fplot(@(t) n^2*cos(t),@(t) n^2*sin(t),[0,2*pi]) text(n^2+0.1, 0,num2str(n)) end hold off axis equal axis off
La energía total es
En una órbita circular, la energía total E es la mitad de la energía potencial
La energía del electrón aumenta con el número cuántico n.
La primera energía de excitación es la que lleva a un átomo de su estado fundamental a su primer (o más bajo) estado excitado. La energía del estado fundamental se obtiene con n=1, E1= -13.6 eV y la del primer estado excitado con n=2, E2=-3.4 eV. Las energías se suelen expresar en electrón-voltios (1eV=1.6 10-19 J)
La frecuencia f de la radiación emitida cuando el electrón pasa del estado excitado E2 al fundamental E1 es
El átomo de hidrógeno
El estado de un electrón de masa me alrededor de un núcleo de masa mp se describe mediante la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas
Donde μ es la masa reducida y r es la distancia entre el electrón y el núcleo.
La energía potencial V(r) del único electrón de un átomo de hidrógeno o ion hidrogenoide (He+, Li++, ...) de número atómico Z es
En este apartado, estudiaremos el átomo de hidrógeno Z=1, y supondremos que el núcleo es el centro fijo de fuerzas de atracción electrostática
Para resolver la ecuación de Schrödinger transformaremos una ecuación diferencial en derivadas parciales en un sistema de tres ecuaciones diferenciales dependientes unicamente de las variables r, θ y φ, respectivamente
En primer lugar, supondremos que la solución de la ecuación de Schrödinger es el producto de dos funciones: una que describe el estado del electrón en la dirección radial r y otra en la dirección angular (θ, φ)
Separamos la variable r de las variables θ y φ
La parte izquierda no depende de (θ, φ) y la parte derecha no depende de r, por tanto, ambas términos se igualan a una constante que denominamos λ1. La ecuación diferencial en derivadas parciales se transforma en el sistema de dos ecuaciones diferenciales
La parte angular
Supondremos que la solución Y(θ, φ) de la segunda ecuación diferencial en derivadas parciales es el producto de dos funciones que dependen solamente de θ y φ, respectivamente
La parte angular se estudia en la página titulada La ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas con λ1=l(l+1), y m=0, ±1, ±2, ...±l es decir, 2l+1 valores
Los primeros armónicos esféricos son
Parte radial
Hay que resolver la ecuación diferencial
Hacemos el cambio de variable r=aρ. Denominaremos R(r)= u(ρ)
Donde a0 es el radio de Bohr
Comportamiento asintótico
Cuando ρ es grande
Cuando ρ es pequeño
La solución de esta ecuación diferencial es
El coeficiente A deberá ser cero, para que la solución sea finita para ρ→∞. Cuando ρ es grande u(ρ) es proporcional a
Buscamos una solución de la forma u=ρs, obtenemos la ecuación de segundo grado
s(s-1)-l(l+1)=0. Las raíces de la ecuación de segundo grado en s son
La segunda no puede ser ya que ρ-l→∞ cuando ρ→0. Cerca del origen el comportamiento de u(ρ) es proporcional a ρl+1
Conociendo el comportamiento asintótico, buscamos una solución para la ecuación diferencial radial de la forma
La ecuación diferencial en u(ρ) se convierte en
Hacemos otro cambio de variable llamando y(x) a v(ρ)
Llamando a , la ecuación diferencial se transforma en
Si n es un entero positivo, las energías permitidas son
El mismo resultado que en el modelo de Bohr
Polinomios asociados de Laguerre
La ecuación diferencial y su solución, los polinomios asociados de Laguerre, son
Generamos los polinomios asociados con el siguiente código
syms x k; for n=0:3 for m=0:n disp([n,m]) pol_n_m=factorial(n+m)*symsum((-1)^k*x^k/(factorial(n-k)* factorial(m+k)*factorial(k)),k,0,n) end end
0 0 pol_n_m =1 1 0 pol_n_m =1 - x 1 1 pol_n_m =2 - x 2 0 pol_n_m =x^2/2 - 2*x + 1 2 1 pol_n_m =x^2/2 - 3*x + 3 2 2 pol_n_m =x^2/2 - 4*x + 6 3 0 pol_n_m =- x^3/6 + (3*x^2)/2 - 3*x + 1 3 1 pol_n_m =- x^3/6 + 2*x^2 - 6*x + 4 3 2 pol_n_m =- x^3/6 + (5*x^2)/2 - 10*x + 10 3 3 pol_n_m =- x^3/6 + 3*x^2 - 15*x + 20
Solución de la ecuación diferencial en y(x)
Ahora estamos en condiciones de encontrar la solución de la ecuación diferencial en y(x), a continuación en v(ρ), en u(ρ) y finalmente, R(r)
La solución son los polinomios asociados de Laguerre
Con los cambios de variable que hemos efectuado
Multiplicamos la última expresión por un factor para que los paréntesis contengan la misma variable,
Es conveniente expresar R(r) en términos del cociente r/a0 en vez de r/a, donde a0 es el radio de Bohr
El coeficiente A se determina haciendo que
El volumen de una capa esférica comprendida entre r y r+dr es 4πr2·dr
Aunque existe una fórmula para el coeficiente A para cualquier n y l al igual que para los armónicos esféricos, esta es muy complicada de obtener, por lo que calcularemos la integral con la ayuda de MATLAB
Calculamos las primeras funciones Rm,l(r)
>> syms a x; >> assume(a,'positive') >> int(x^2*exp(-2*x/a),x,0,inf) ans =a^3/4
>> int(x^2*exp(-x/a)*(2-x/a)^2,x,0,inf) ans =8*a^3
>> int(x^2*exp(-x/a)*(x/a)^2,x,0,inf) ans =24*a^3
>> int(x^2*exp(-2*x/(3*a))*(2*(x/a)^2/9-2*(x/a)+3)^2,x,0,inf) ans =(243*a^3)/4
>> int(x^2*exp(-2*x/(3*a))*(2*x/(3*a))^2*(-2*x/(3*a)+4)^2,x,0,inf) ans =486*a^3
>> int(x^2*exp(-2*x/(3*a))*(2*x/(3*a))^4,x,0,inf) ans =2430*a^3
Representamos las primeras funciones , en función del cociente r/a0
f=@(x) 2*exp(-x); fplot(f,[0,20]) grid on xlabel('r/a_0') ylabel('R_{1,}') title('Funciones radiales, n=1, l=0') figure f1=@(x) (2-x).*exp(-x/2)/(2*sqrt(2)); f2=@(x) x.*exp(-x/2)/(2*sqrt(6)); hold on fplot(f1,[0,20]) fplot(f2,[0,20]) hold off grid on xlabel('r/a_0') ylabel('R_{2,}') legend('R_{2,0}', 'R_{2,1}') title('Funciones radiales, n=2, l=0 y l=1') figure f1=@(x) (2*x.^2-18*x+27).*exp(-x/3)*2/(81*sqrt(3)); f2=@(x) (6-x).*x.*exp(-x/3)*4/(81*sqrt(6)); f3=@(x) (x.^2).*exp(-x/3)*4/(81*sqrt(30)); hold on fplot(f1,[0,20]) fplot(f2,[0,20]) fplot(f3,[0,20]) hold off grid on xlabel('r/a_0') ylabel('R_{3,}') legend('R_{3,0}', 'R_{3,1}', 'R_{3,2}') title('Funciones radiales, n=3, l=0, l=1 y l=2')
Combinando la solución radial y angular
En general
Para cada valor de n que especifica un nivel de energía, hay n valores diferentes del momento angular, desde l=0 hasta l=n-1. El número cuántico l está relacionado con el módulo del momento angular L
Al resolver la ecuación diferencial de la parte angular, ya se ha especificado los posibles valores de m=0, ±1, ±2, ±3,... ±l. El número cuántico m está relacionado con la componente Lz, es decir, la dirección del momento angular
Las primeras funciones son
Estas funciones cumplen
En la figura, el elemento de volumen dV=dr·rdθ·(rsinθ·dφ)=r2sinθ·dφ·dθ en coordenadas esféricas, el ángulo φ varía entre 0 y 2π, el ángulo θ, entre 0 y π
Referencias
Blomm D., Blomm D. W. Vibrating wire loop and the Bohr model. The Physics Teacher, 41, May 2003, pp. 292-294
R. L. Herman. The Three-dimensional Schödinger Equation. November 7, 2016