La ecuación de Schrödinger en coordenadas cilíndricas

La ecuación de Schrödinger en coordenadas cilíndricas para una partícula de masa m en un potencial V(ρ, φ, z) es

2 2m ( 1 ρ ρ ( ρ ψ(ρ,φ,z) ρ )+ 1 ρ 2 2 ψ(ρ,φ,z) φ 2 + 2 ψ(ρ,φ,z) z 2 )+V(ρ,φ,z)ψ(ρ,φ,z)=Eψ(ρ,φ,z)

Una partícula se mueve en un recinto de forma cilíndica de radio a y altura H, el potencial es

V(ρ,z)={ 0,0ρa,0zH ,z<0,z>Hyρ>a

La función de onda es nula en la superficie del recinto, en su interior la ecuación de Schrödinger es

2 2m ( 1 ρ ρ ( ρ ψ(ρ,φ,z) ρ )+ 1 ρ 2 2 ψ(ρ,φ,z) φ 2 + 2 ψ(ρ,φ,z) z 2 )=Eψ(ρ,φ,z)

Variables separadas

Probamos la solución ψ(ρ,φ,z)= ψ ρφ (ρ,φ)·Z(z) , variables separadas.

( Z ρ ρ ( ρ ψ ρφ ρ )+ Z ρ 2 2 ψ ρφ φ 2 + ψ ρφ d 2 Z d z 2 )= 2mE 2 ψ ρφ Z 1 ψ ρφ ( 1 ρ ψ ρφ ρ + 2 ψ ρφ ρ 2 + 1 ρ 2 2 ψ ρφ φ 2 )+ 1 Z d 2 Z d z 2 = 2mE 2

El primer término depende de ρ y φ, el segundo solamente de z

La ecuación diferencial se transforma en el sistema de dos ecuaciones diferenciales de variables separadas

{ 1 ρ ψ ρφ ρ + 2 ψ ρφ ρ 2 + 1 ρ 2 2 ψ ρφ φ 2 = k ρφ 2 ψ ρφ 1 Z d 2 Z d z 2 = k z 2 Z k ρφ 2 + k z 2 = 2mE 2

Transformamos la primera ecuación diferencial en un sistema de dos ecuaciones diferenciales en variables separadas ρ y φ

ψ ρφ (ρ,φ)=R(ρ)F(φ) F ρ dR dρ +F d 2 R d ρ 2 + R ρ 2 d 2 F d φ 2 = k ρφ 2 RF ( ρ R dR dρ + ρ 2 R d 2 R d ρ 2 + k ρφ 2 ρ 2 )+ 1 F d 2 F d φ 2 =0

El primer término, solamente depende de ρ, el segundo de φ, la ecuación diferencial se transforma en el sistema de dos ecuaciones diferenciales

{ ρ R dR dρ + ρ 2 R d 2 R d ρ 2 + k ρφ 2 ρ 2 n φ 2 =0 1 F d 2 F d φ 2 = n φ 2

Hemos convertido ecuación de Schrödinger en coordenadas cilíndricas en un sistema de tres ecuaciones diferenciales en variables separadas ρ, φ y z

{ ρ 2 d 2 R d ρ 2 +ρ dR dρ +( k ρφ 2 ρ 2 n φ 2 )R=0 d 2 F d φ 2 = n φ 2 F d 2 Z d z 2 = k z 2 Z k ρφ 2 + k z 2 = 2mE 2

La ecuación radial

Haciendo el cambio de variable, x=ρkρφ, resolvemos la ecuación diferencial

x 2 d 2 R d x 2 +x dR dx +( x 2 n φ 2 )R=0

La solución de esta ecuación diferencial es

R(ρ)=A· J n φ ( k ρφ ρ )+B· Y n φ ( k ρφ ρ )

Ahora bien, hemos de descartar la función Y, ya que tiende a infinito cuando x→0

R(ρ)=A· J n φ ( k ρφ ρ )

En la superficie de la región cilíndrica, para ρ=a, la función de onda es nula, R(a)=0, lo que implica que

J n φ ( k ρφ a )=0

Denominamos ξ n φ , n ρ a las raíces de J n φ (x)=0 , por lo que el parámetro kρφ vale

k ρφ = ξ n φ , n ρ a , n ρ =1,2,3...

nρ es el índice de la raíz

La ecuación angular

d 2 F d φ 2 + n φ 2 F=0

Tiene una solución conocida, que expresamos de forma equivalente

F(φ)= C 1 exp( i n φ φ )+ C 2 exp( i n φ φ )

La solución es periódica, F(φ+2π)=F(φ). Igualando las partes real e imaginaria

{ C 1 cos( n φ φ+2π n φ )+ C 2 cos( n φ φ+2π n φ )= C 1 cos( n φ φ )+ C 2 cos( n φ φ ) C 1 sin( n φ φ+2π n φ ) C 2 sin( n φ φ+2π n φ )= C 1 sin( n φ φ ) C 2 sin( n φ φ ) { ( C 1 + C 2 )cos( n φ φ+2π n φ )=( C 1 + C 2 )cos( n φ φ ) ( C 1 C 2 )sin( n φ φ+2π n φ )=( C 1 C 2 )sin( n φ φ )

Si C1C2 y C1+ C2≠0, entonces nφ tiene que ser un entero.

F(φ)=Cexp(i n φ φ), n φ =0,±1,±2....

Ecuación a lo largo de la dirección Z

d 2 Z d z 2 + k z 2 Z=0

La solución de esta ecuación diferencial es conocida

Z(z)= D 1 cos( k z z )+ D 2 sin( k z z )

La función de onda se anula en los bordes de la región cilíndrica

La expresión de Z(z) es

Z(z)= D 2 sin( n z π z H )

Niveles de energía

La energía E de los niveles es

E= 2 2m ( k ρφ 2 + k z 2 )= 2 2m ( ( ξ n φ , n ρ a ) 2 + ( n z π H ) 2 ),{ n φ =0,1,2,3... n ρ =1,2,3... n z =1,2,3...

Función de onda

ψ(ρ,φ,z)= ψ ρφ (ρ,φ)·Z(z)=R(ρ)·F(φ)·Z(z)

El elemento diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas es

dV=dρ( ρ·dφ )dz

La función de onda ha de cumplir

V ψ(ρ,φ,z) · ψ * (ρ,φ,z)·( ρ·dρ·dφ·dz )= ( 0 a ρ·R(ρ) R * (ρ)dρ )( 0 2π F(φ) F * (φ)·dφ )( 0 H Z(z) Z * (z)·dz )=1

Función de onda es

ψ n ρ , n φ , n z (ρ,φ,z)= 1 J n φ +1 ( ξ n φ , n ρ ) · 2 πH a 2 · J n φ ( ξ n φ , n ρ ρ a )sin( n z π z H )exp( i n φ φ ){ n φ =0,1,2,3... n ρ =1,2,3... n z =1,2,3...

Los niveles de energía dependen de tres números enteros asociados a tres direcciones nρ, nφ y nz. La función de onda depende de dichos números y de un valor extra p=±nφ

Representamos gráficamente la parte radial de la función de onda a R n ρ n φ (ρ) en función de ρ/a, para

hold on
np=0;
for nr=1:3
    r0=(2*nr-1)*pi/2+np*pi/2+pi/4; %ceros coseno
    xi=fzero(@(x) besselj(np,x), r0); %raíz
    disp(xi)
    f=@(x) sqrt(2)*besselj(np,x*xi)/besselj(np+1,xi);
    fplot(f,[0,1])
end
hold off
xlabel('\rho/a')
ylabel('aR')
legend('R_{1,0}','R_{2,0}','R_{3,0}','Location','best')
grid on
title('Componente radial')

Los valores de kρφ para nφ=0, las raíces de J0(x), son

    2.4048
    5.5201
    8.6537

Cambiamos nφ=1

hold on
np=1;
for nr=1:3
    r0=(2*nr-1)*pi/2+np*pi/2+pi/4; %ceros coseno
    xi=fzero(@(x) besselj(np,x), r0); %raíz
    disp(xi)
    f=@(x) sqrt(2)*besselj(np,x*xi)/besselj(np+1,xi);
    fplot(f,[0,1])
end
hold off
xlabel('\rho/a')
ylabel('aR')
legend('R_{1,1}','R_{2,1}','R_{3,1}','Location','best')
grid on
title('Componente radial')

Los valores de kρφ para nφ=1, las raíces de J1(x) son

    3.8317
    7.0156
   10.1735

Pozo de potencial circular de altura infinita

Una partícula de masa m se mueve en un recinto de forma circular de radio a. El potencial es

V(ρ)={ 0,0ρ<a ,ρa

Buscamos la solución de la ecuación de Schrödinger en coordenadas cilíndricas independiente de la altura z

2 2m ( 1 ρ ρ ( ρ ψ(ρ,φ) ρ )+ 1 ρ 2 2 ψ(ρ,φ) φ 2 )+V(ρ)ψ(ρ,φ)=Eψ(ρ,φ)

Aplicamos el procedimiento de sepación de variables

ψ ρφ (ρ,φ)=R(ρ)F(φ) F ρ dR dρ +F d 2 R d ρ 2 + R ρ 2 d 2 F d φ 2 = 2mE 2 RF ( ρ R dR dρ + ρ 2 R d 2 R d ρ 2 + k 2 ρ 2 )+ 1 F d 2 F d φ 2 =0 k 2 = 2mE 2

El primer término, solamente depende de ρ, el segundo de φ, la ecuación diferencial se transforma en el sistema de dos ecuaciones diferenciales

{ ρ dR dρ + ρ 2 d 2 R d ρ 2 +( k 2 ρ 2 n φ 2 )R=0 d 2 F d φ 2 = n φ 2 F

La ecuación radial

Haciendo el cambio de variable, x=ρkρφ, resolvemos la ecuación diferencial

x 2 d 2 R d x 2 +x dR dx +( x 2 n φ 2 )R=0

La solución de esta ecuación diferencial es

R(ρ)=A· J n φ ( kρ )+B· Y n φ ( kρ )

Ahora bien, hemos de descartar la función Y, ya que tiende a infinito cuando x→0

R(ρ)=A· J n φ ( kρ )

Para ρ=a, la función de onda es nula, R(a)=0, lo que implica que

J n φ ( ka )=0

Denominamos ξ n φ , n ρ a las raíces de J n φ (x)=0 , por lo que el parámetro k vale

k= ξ n φ , n ρ a , n ρ =1,2,3...

nρ es el índice de la raíz

La ecuación angular

d 2 F d φ 2 + n φ 2 F=0

La misma solución que en el primer apartado

Niveles de energía

La energía E de los niveles es

E n φ , n ρ = 2 2m a 2 ξ n φ , n ρ 2

Función de onda

Es el producto de las dos soluciones

ψ(ρ,φ)=R(ρ)·F(φ)

La función de onda ha de cumplir

ψ(ρ,φ) · ψ * (ρ,φ)·( ρ·dρ·dφ )= ( 0 a ρ·R(ρ) R * (ρ)dρ )( 0 2π F(φ) F * (φ)·dφ )=1

Repitiendo los mismos cálculos que en el apartado anterior

La parte real de la función de onda es

ψ n ρ , n φ (ρ,φ)= 1 J n φ +1 ( ξ n φ , n ρ ) · 1 π a 2 · J n φ ( ξ n φ , n ρ ρ a )cos( n φ φ ){ n φ =0,1,2,3... n ρ =1,2,3...

Representamos la función de onda para algunos valores de nφ y nρ

np=0;
nr=1;
r0=(2*nr-1)*pi/2+np*pi/2+pi/4; %ceros coseno
xi=fzero(@(x) besselj(np,x), r0); %raíz
disp(xi)
rho=linspace(0,1,50);
phi=linspace(0,2*pi, 100);
[Rho,Phi]=meshgrid(rho,phi);
X=Rho.*cos(Phi);
Y=Rho.*sin(Phi);
Z=cos(np*Phi).*besselj(np,Rho*xi)/(sqrt(pi)*besselj(np+1,xi));
surfl(X,Y,Z)
shading interp
colormap(gray);
text(-0.9,1,2,num2str(xi^2))
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
grid on
title('Función de onda')

Pozo de potencial circular de altura finita

Una partícula de masa m se mueve en un recinto de forma circular de radio a. El potencial es

V(ρ,φ)={ V 0 ,0ρa 0,ρ>a

Buscamos la solución de la ecuación de Schrödinger en coordenadas cilíndricas independiente de la altura z

2 2m ( 1 ρ ρ ( ρ ψ(ρ,φ) ρ )+ 1 ρ 2 2 ψ(ρ,φ) φ 2 )+V(ρ)ψ(ρ,φ)=Eψ(ρ,φ)

Aplicamos el procedimiento de sepación de variables

ψ(ρ,φ)=R(ρ)·F(φ) F ρ dR dρ +F d 2 R d ρ 2 + R ρ 2 d 2 F d φ 2 = 2m 2 ( EV(ρ) )RF ( ρ R dR dρ + ρ 2 R d 2 R d ρ 2 + 2m 2 ( EV(ρ) ) ρ 2 )+ 1 F d 2 F d φ 2 =0

El primer término, solamente depende de ρ, el segundo de φ, la ecuación diferencial se transforma en el sistema de dos ecuaciones diferenciales

{ ρ R dR dρ + ρ 2 R d 2 R d ρ 2 + 2m 2 ( EV(ρ) ) ρ 2 = n φ 2 1 F d 2 F d φ 2 = n φ 2 { ρ 2 d 2 R d ρ 2 +ρ dR dρ +( 2m 2 ( EV(ρ) ) ρ 2 n φ 2 )R=0 d 2 F d φ 2 + n φ 2 F=0

La ecuación angular

d 2 F d φ 2 + n φ 2 F=0

La misma solución que en el primer apartado

La ecuación radial

Resolvemos la ecuaciones diferenciales

Niveles de energía

La continuidad en ρ=a exige que

{ R(ka)=R(qa) dR(kρ) dρ | ρ=a = dR(qρ) dρ | ρ=a { D K n φ (ka)=A J n φ (qa) D d K n φ (kρ) dρ | ρ=a =A d J n φ (qρ) dρ | ρ=a

Dividiendo

d K n φ (kρ) dρ | ρ=a K n φ (ka) = dJ n φ (qρ) dρ | ρ=a J n φ (qa)

Teniendo en cuenta

u=kx d dx f(kx)=k d du f(u)

y las derivadas de las funciones de Bessel

d K n (x) dx = K n1 (x) n x K n (x) d J n (x) dx = n x J n (x) J n+1 (x)

La ecuación tanscendente que calcula los niveles de energía es

( ka ) K n φ 1 (ka)+ n φ ka K n φ (ka) K n φ (ka) =( qa ) n φ qa J n φ (qa) J n φ +1 (qa) J n φ (qa) q 2 + k 2 = 2m 2 V 0

Expresamos la ecuación transcendente de forma adecuada para aplicar el procedimiento numérico que calcula las raíces de ka mediante el rpocedimiento fzero de MATLAB

2 n φ +( ka ) K n φ 1 (ka) K n φ (ka) ( qa ) J n φ +1 (qa) J n φ (qa) =0 2 n φ K n φ (ka) J n φ (qa)+( ka ) K n φ 1 (ka) J n φ (qa)( qa ) J n φ +1 (qa) K n φ (ka)=0 ( qa ) 2 = r 0 2 ( ka ) 2 , k 2 = 2mE 2 , r 0 2 = 2m 2 V 0

Denominamos ξ n φ , n ρ a las raíces de la ecuación transcendente, por lo que el parámetro k vale

k= ξ n φ , n ρ a , n ρ =1,2,3...

nρ es el índice de la raíz

La energía de los niveles es

E= 2 k 2 2m

Función de onda

Es el producto de las dos soluciones

ψ(ρ,φ)=R(ρ)·F(φ)

La función de onda ha de cumplir

ψ(ρ,φ) · ψ * (ρ,φ)·( ρ·dρ·dφ )= ( 0 a ρ·R(ρ) R * (ρ)dρ )( 0 2π F(φ) F * (φ)·dφ )=1

Repitiendo los mismos cálculos que en el apartado anterior

La parte real de la función de onda es

ψ(ρ,φ)= 1 2π cos( n φ φ ){ A J n φ ( r 0 2 ξ n φ , n ρ 2 ρ a ),ρa D K n φ ( ξ n φ , n ρ ρ a ),ρ>a ,{ n φ =0,1,2,3... n ρ =1,2,3...

Dado r0 o bien, la profundidad V0 del pozo de potencial, representamos la función de onda para algunos valores de nφ y nρ

function pozo_polar_3
    n_phi=0;
    r0=8;
    f=@(x) 2*n_phi*besselk(n_phi,x).*besselj(n_phi,sqrt(r0^2-x.^2))+x.*
besselk(n_phi-1,x).*besselj(n_phi,sqrt(r0^2-x.^2))-sqrt(r0^2-x.^2).*
besselj(n_phi+1,sqrt(r0^2-x.^2)).*besselk(n_phi,x);
    xx=linspace(0,r0,20);
    ceros=raices(f,xx);
    rr=fliplr(ceros); %invierte el orden
    disp([r0,-rr.^2]) %energía
    
    n=1; %raíz número
    suma=besselj(n_phi+1, sqrt(r0^2-rr(n)^2))^2/2+besselj(n_phi,
sqrt(r0^2-rr(n)^2))^2*integral(@(x) x.*besselk(n_phi, rr(n)*x),1, 100)
/besselk(n_phi, rr(n))^2;
    A=1/sqrt(suma);
    D=A*besselj(n_phi, sqrt(r0^2-rr(n)^2))/besselk(n_phi, rr(n));
    hold on
    rho=linspace(0,1,20);
    phi=linspace(0,2*pi, 100);
    [Rho,Phi]=meshgrid(rho,phi);
    X=Rho.*cos(Phi);
    Y=Rho.*sin(Phi);
    Z=A*cos(n_phi*Phi).*besselj(n_phi, sqrt(r0^2-rr(n)^2)*rho)/sqrt(2*pi);
    surfl(X,Y,Z)
    rho=linspace(1,3,50);
    phi=linspace(0,2*pi, 100);
    [Rho,Phi]=meshgrid(rho,phi);
    X=Rho.*cos(Phi);
    Y=Rho.*sin(Phi);
    Z=D*cos(n_phi*Phi).*besselk(n_phi, rr(n)*rho)/sqrt(2*pi);
    surfl(X,Y,Z)
    shading interp
    colormap(gray);
    xlabel('X')
    ylabel('Y')
    zlabel('Z')
    grid on
    title('Función de onda') 
    view(-15,15)

    function r = raices(f, x)
        y=f(x);
        indices=find(y(1:end-1).*y(2:end)<0);
        r=zeros(1,length(indices));
        for k=1:length(indices)
            r(k)=fzero(f, [x(indices(k)), x(indices(k)+1)]);
        end
    end
end

Referencias

Arkadiy S. Baltenkov, Alfred Z. Msezane. Electronic quantum confinement in cylindrical potential well. Eur. Phys. J. D (2016) 70: 81

Young-Sea Huang, Tzuu-Kang Chyi, Kung-Te Wu. The right way to solve the infinite circular well in quantum mechanics. Preprint, August 2018

Nagalakshmi A Rao, Shivalingaswamy T, Kagali B.A. Eigenstates of a Non-Relativistic Particle in a Two-Dimensional Square Well Potential. Physics Education. Jul - Sep 2014.