## El oscilador armónico en tres dimensiones

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula de masa me en el potencial armónico V(x,y,z)

$-\frac{{\hslash }^{2}}{2{m}_{e}}\left(\frac{{\partial }^{2}\psi \left(x,y,z\right)}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}\psi \left(x,y,z\right)}{\partial {y}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}\psi \left(x,y,z\right)}{\partial {z}^{2}}\right)+\frac{1}{2}{m}_{e}{\omega }^{2}\left({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\right)\psi \left(x,y,z\right)=E\psi \left(x,y,z\right)$

Tomamos una escala de energías y distancias

$x=\xi \sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }},\text{ }y=\eta \sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }},\text{ }z=\zeta \sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }},\text{ }E=\hslash \omega \epsilon$

La ecuación de Schrödinger se transforma en otra más simple

$\begin{array}{l}-\frac{{\partial }^{2}\psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}{\partial {\xi }^{2}}-\frac{{\partial }^{2}\psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}{\partial {\eta }^{2}}-\frac{{\partial }^{2}\psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}{\partial {\zeta }^{2}}+\left({\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}\right)\psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=2\epsilon \psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)\\ \frac{{\partial }^{2}\psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}{\partial {\xi }^{2}}+\frac{{\partial }^{2}\psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}{\partial {\eta }^{2}}+\frac{{\partial }^{2}\psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}{\partial {\zeta }^{2}}+\left\{2\epsilon -\left({\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}\right)\right\}\psi \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=0\end{array}$

Probamos la solución Ψ(ξ,η, ζ)=X(ξ)Y(η)Z(ζ), separación de variables

$\begin{array}{l}Y\left(\eta \right)Z\left(\zeta \right)\frac{{d}^{2}X\left(\xi \right)}{d{\xi }^{2}}+X\left(\xi \right)Z\left(\zeta \right)\frac{{d}^{2}Y\left(\eta \right)}{d{\eta }^{2}}+X\left(\xi \right)Y\left(\eta \right)\frac{{d}^{2}Z\left(\zeta \right)}{d{\zeta }^{2}}+\left\{2\epsilon -\left({\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}\right)\right\}X\left(\xi \right)Y\left(\eta \right)Z\left(\zeta \right)=0\\ \frac{1}{X\left(\xi \right)}\frac{{d}^{2}X\left(\xi \right)}{d{\xi }^{2}}+\left\{2{\epsilon }_{x}-{\xi }^{2}\right\}+\frac{1}{Y\left(\eta \right)}\frac{{d}^{2}Y\left(\eta \right)}{d{\eta }^{2}}+\left\{2{\epsilon }_{y}-{\eta }^{2}\right\}+\frac{1}{Z\left(\zeta \right)}\frac{{d}^{2}Z\left(\zeta \right)}{d{\zeta }^{2}}+\left\{2{\epsilon }_{z}-{\zeta }^{2}\right\}=0,\text{ }{\epsilon }_{x}+{\epsilon }_{y}+{\epsilon }_{z}=\epsilon \end{array}$

El primer término, es una función solamente de ξ, el segundo, de η y el tercero de ζ. Esta ecuación diferencial se convierte en el sistema de tres ecuaciones diferenciales

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{d}^{2}X\left(\xi \right)}{d{\xi }^{2}}+\left\{2{\epsilon }_{x}-{\xi }^{2}\right\}X\left(\xi \right)=0\\ \frac{{d}^{2}Y\left(\eta \right)}{d{\eta }^{2}}+\left\{2{\epsilon }_{y}-{\eta }^{2}\right\}Y\left(\eta \right)=0\\ \frac{{d}^{2}Z\left(\zeta \right)}{d{\zeta }^{2}}+\left\{2{\epsilon }_{z}-{\zeta }^{2}\right\}Z\left(\zeta \right)=0\end{array}$

Haciendo un cambio de variable, la primera ecuación diferencial se transforma en la de Hermite

$\begin{array}{l}X\left(\xi \right)=x\left(\xi \right)\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}}{2}\right)\hfill \\ \frac{dX}{d\xi }=\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}}{2}\right)\frac{dx}{d\xi }-\xi \mathrm{exp}\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}}{2}\right)x\hfill \\ \frac{{d}^{2}X}{d{\xi }^{2}}=\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}}{2}\right)\frac{{d}^{2}x}{d{\xi }^{2}}-\xi \mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}}{2}\right)\frac{dx}{d\xi }-\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}}{2}\right)x+{\xi }^{2}\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}}{2}\right)x-\xi \mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}}{2}\right)\frac{dx}{d\xi }\hfill \\ \frac{{d}^{2}x}{d{\xi }^{2}}-2\xi \frac{dx}{d\xi }+\left(2{\epsilon }_{x}-1\right)x=0\hfill \end{array}$

Del mismo modo, la segunda y la tercera

$\begin{array}{l}\frac{{d}^{2}y}{d{\eta }^{2}}-2\eta \frac{dy}{d\eta }+\left(2{\epsilon }_{y}-1\right)y=0\\ \frac{{d}^{2}z}{d{\zeta }^{2}}-2\zeta \frac{dz}{d\zeta }+\left(2{\epsilon }_{z}-1\right)z=0\end{array}$

Cuyas soluciones son los polinomios de Hermite

Los niveles de energía ε son

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}2{\epsilon }_{x}-1=2{n}_{x},\text{ }{\epsilon }_{x}={n}_{x}+\frac{1}{2},\text{ }{n}_{x}=0,1,2,3...\\ 2{\epsilon }_{y}-1=2{n}_{y},\text{ }{\epsilon }_{y}={n}_{y}+\frac{1}{2},\text{ }{n}_{y}=0,1,2,3...\\ 2{\epsilon }_{z}-1=2{n}_{z},\text{ }{\epsilon }_{z}={n}_{z}+\frac{1}{2},\text{ }{n}_{z}=0,1,2,3...\end{array}\\ \epsilon ={\epsilon }_{x}+{\epsilon }_{y}+{\epsilon }_{z}={n}_{x}+{n}_{y}+{n}_{z}+\frac{3}{2}\end{array}$

nx, ny, nzkεn=k+3/2
0,0,003/2
1,0,015/2
0,1,015/2
0,0,115/2
2,0,027/2
0,2,027/2
0,0,227/2
1,1,027/2
1,0,127/2
0,1,127/2

Como apreciamos en la tabla hay

En general, el número de estados con la misma energía k viene dado por la fórmula

$\frac{\left(k+2\right)!}{k!·2!}$

### Las funciones de onda

Las soluciones de las tres ecuaciones diferenciales son los polinomios de Hermite

$\begin{array}{l}x\left(\xi \right)={C}_{x}·{H}_{{n}_{x}}\left(\xi \right),\text{ }y\left(\eta \right)={C}_{y}·{H}_{{n}_{y}}\left(\eta \right),\text{ }z\left(\zeta \right)={C}_{z}·{H}_{{n}_{z}}\left(\zeta \right)\\ {\psi }_{{n}_{x},{n}_{y},{n}_{z}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=C·{H}_{{n}_{x}}\left(\xi \right){H}_{{n}_{y}}\left(\eta \right){H}_{{n}_{z}}\left(\zeta \right)\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)\end{array}$

Donde C es una constante a determinar, de modo que

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{|{\psi }_{{n}_{x},{n}_{y},{n}_{z}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)|}^{2}d\xi ·d\eta ·d\zeta =1\\ {C}^{2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{H}_{{n}_{x}}^{2}\left(\xi \right)\mathrm{exp}\left(-{\xi }^{2}\right)d\xi ·\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{H}_{{n}_{y}}^{2}\left(\eta \right)\mathrm{exp}\left(-{\eta }^{2}\right)d\eta ·\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{H}_{{n}_{z}}^{2}\left(\zeta \right)\mathrm{exp}\left(-{\zeta }^{2}\right)d\zeta =1\end{array}\hfill \\ {C}^{2}\left(\sqrt{\pi }{2}^{{n}_{x}}{n}_{x}!\right)\left(\sqrt{\pi }{2}^{{n}_{y}}{n}_{y}!\right)\left(\sqrt{\pi }{2}^{{n}_{z}}{n}_{z}!\right)=1\hfill \end{array}$

Se ha tenido en cuenta las relaciones de ortogonalidad de los polinomios de Hermite. El resultado final es

${\psi }_{{n}_{x},{n}_{y},{n}_{z}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\frac{{H}_{{n}_{x}}\left(\xi \right){H}_{{n}_{y}}\left(\eta \right){H}_{{n}_{z}}\left(\zeta \right)}{\sqrt{\pi ·\sqrt{\pi }{2}^{{n}_{x}+{n}_{y}+{n}_{z}}{n}_{x}!·{n}_{y}!·{n}_{z}!}}\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)$

Algunos ejemplos

$\begin{array}{l}{\psi }_{0,0,0}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\frac{1}{\sqrt{\pi \sqrt{\pi }·{2}^{0}·0!·0!·0!}}{H}_{0}\left(\xi \right){H}_{0}\left(\eta \right){H}_{0}\left(\zeta \right)\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi \sqrt{\pi }}}\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)\\ {\psi }_{1,0,0}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\frac{1}{\sqrt{\pi \sqrt{\pi }·{2}^{1}·1!·0!·0!}}{H}_{1}\left(\xi \right){H}_{0}\left(\eta \right){H}_{0}\left(\zeta \right)\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sqrt{\pi }}}2\xi \mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)\\ {\psi }_{2,0,0}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\frac{1}{\sqrt{\pi \sqrt{\pi }·{2}^{2}·2!·0!·0!}}{H}_{2}\left(\xi \right){H}_{0}\left(\eta \right){H}_{0}\left(\zeta \right)\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi \sqrt{\pi }}}\left(4{\xi }^{2}-2\right)\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)\\ {\psi }_{2,1,0}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\frac{1}{\sqrt{\pi \sqrt{\pi }·{2}^{3}·2!·1!·0!}}{H}_{2}\left(\xi \right){H}_{1}\left(\eta \right){H}_{0}\left(\zeta \right)\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\pi \sqrt{\pi }}}\eta \left(4{\xi }^{2}-2\right)\mathrm{exp}\left(-\frac{{\xi }^{2}+{\eta }^{2}+{\zeta }^{2}}{2}\right)\end{array}$

La ecuación diferencial de la parte radial para el potencial V(r)

$\frac{1}{{r}^{2}}\frac{d}{dr}\left({r}^{2}\frac{dR}{dr}\right)+\left\{\frac{2{m}_{e}}{{\hslash }^{2}}\left(E-V\left(r\right)\right)-\frac{l\left(l+1\right)}{{r}^{2}}\right\}R=0$

Donde me es la masa de la partícula, V(r)=meω2r2/2, R(r) es la componente radial de la función de onda

$\frac{d}{dr}\left({r}^{2}\frac{dR}{dr}\right)+\left\{\frac{2{m}_{e}}{{\hslash }^{2}}\left(E-\frac{1}{2}{m}_{e}{\omega }^{2}{r}^{2}\right){r}^{2}-l\left(l+1\right)\right\}R=0$

Haciendo el cambio de variable, la ecuación diferencial se transforma en

$\begin{array}{l}E=\hslash \omega \epsilon ,\text{ }r=\sqrt{\frac{\hslash }{{m}_{e}\omega }}x\\ \frac{d}{dx}\left({x}^{2}\frac{dR}{dx}\right)+\left\{\frac{2{m}_{e}}{{\hslash }^{2}}\left(\hslash \omega \epsilon -\frac{1}{2}{m}_{e}{\omega }^{2}\frac{\hslash }{{m}_{e}\omega }{x}^{2}\right)\frac{\hslash }{{m}_{e}\omega }{x}^{2}-l\left(l+1\right)\right\}R=0\\ \frac{{d}^{2}R}{d{x}^{2}}+\frac{2}{x}\frac{dR}{dx}+\left\{2\epsilon -{x}^{2}-\frac{l\left(l+1\right)}{{x}^{2}}\right\}R=0\end{array}$

Definimos, u(x)=xR(x), calculamos la derivada primera y segunda de R respecto de x y las introducimos en la ecuación diferencial

$\begin{array}{l}\frac{dR}{dx}=-\frac{1}{{x}^{2}}u+\frac{1}{x}\frac{du}{dx}\\ \frac{{d}^{2}R}{d{x}^{2}}=\frac{2}{{x}^{3}}u-\frac{1}{{x}^{2}}\frac{du}{dx}-\frac{1}{{x}^{2}}\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}\frac{{d}^{2}u}{d{x}^{2}}=\frac{2}{{x}^{3}}u-\frac{2}{{x}^{2}}\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}\frac{{d}^{2}u}{d{x}^{2}}\\ \frac{2}{{x}^{3}}u-\frac{2}{{x}^{2}}\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}\frac{{d}^{2}u}{d{x}^{2}}+\frac{2}{x}\left(-\frac{1}{{x}^{2}}u+\frac{1}{x}\frac{du}{dx}\right)+\left\{2\epsilon -{x}^{2}-\frac{l\left(l+1\right)}{{x}^{2}}\right\}R=0\\ \frac{{d}^{2}u}{d{x}^{2}}+\left\{2\epsilon -{x}^{2}-\frac{l\left(l+1\right)}{{x}^{2}}\right\}u=0\end{array}$

Definimos, una nueva función v(x), calculamos la derivada primera y segunda de u respecto de x y las introducimos en la ecuación diferencial

$\begin{array}{l}u\left(x\right)=v\left(x\right){x}^{l+1}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)\\ \frac{du}{dx}=\frac{dv}{dx}{x}^{l+1}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)+v\left(l+1\right){x}^{l}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)-v{x}^{l+2}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)\\ \frac{{d}^{2}u}{d{x}^{2}}=\frac{{d}^{2}v}{d{x}^{2}}{x}^{l+1}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)+\frac{dv}{dx}\left(l+1\right){x}^{l}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)-\frac{dv}{dx}{x}^{l+2}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)\\ \frac{dv}{dx}\left(l+1\right){x}^{l}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)+vl\left(l+1\right){x}^{l-1}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)-v\left(l+1\right){x}^{l+1}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)\\ -\frac{dv}{dx}{x}^{l+2}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)-v\left(l+2\right){x}^{l+1}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)+v{x}^{l+3}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right)\end{array}$

Obtenemos la ecuación diferencial

$x\frac{{d}^{2}v}{d{x}^{2}}+\left(2\left(l+1\right)-2{x}^{2}\right)\frac{dv}{dx}+\left(2\epsilon -2l-3\right)x·v=0$

Hacemos un nuevo cambio de variable, z=x2

$\begin{array}{l}\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dz}\frac{dz}{dx}=2x\frac{dv}{dz}\\ \frac{{d}^{2}v}{d{x}^{2}}=2\frac{dv}{dz}+2x\frac{d}{dx}\left(\frac{dv}{dz}\right)=2\frac{dv}{dz}+2x\frac{d}{dz}\left(\frac{dv}{dz}\right)\frac{dz}{dx}=2\frac{dv}{dz}+4{x}^{2}\frac{{d}^{2}v}{d{z}^{2}}\\ 2x\frac{dv}{dz}+4{x}^{3}\frac{{d}^{2}v}{d{z}^{2}}+\left(2\left(l+1\right)-2{x}^{2}\right)2x\frac{dv}{dz}+\left(2\epsilon -2l-3\right)x·v=0\\ z\frac{{d}^{2}v}{d{z}^{2}}+\left(l+\frac{1}{2}+1-z\right)\frac{dv}{dz}+\frac{1}{4}\left(2\epsilon -2l-3\right)v=0\\ z\frac{{d}^{2}v}{d{z}^{2}}+\left(l+\frac{1}{2}+1-z\right)\frac{dv}{dz}+\frac{1}{4}\left(2\left(k+\frac{3}{2}\right)-2l-3\right)v=0\\ z\frac{{d}^{2}v}{d{z}^{2}}+\left(l+\frac{1}{2}+1-z\right)\frac{dv}{dz}+\frac{k-l}{2}v=0\end{array}$

Que es la ecuación diferencial de los polinomios asociados de Laguerre

$x\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}+\left(m+1-x\right)\frac{dy}{dx}+ny=0,\text{ }\left\{\begin{array}{l}m=l+\frac{1}{2}\\ n=\frac{k-l}{2}\end{array}$

El coeficiente de y, n=(k-l)/2 tiene que ser un número entero positivo (incluyendo el cero), esto limita los posibles valores de l dado k

Dado el entero k, (energía del nivel, k+3/2) para que n sea entero, los posibles valores de l se recogen en la tabla. La última columna, nos da el índice inferior n de los polinomios asociados de Laguerre, m=l+1/2 es su índice superior

kln
000
110
201
220
311
330
402
421
440

Partiendo de la solución de la ecuación diferencial de Laguerre, deshacemos los cambios hasta llegar a la expresión de la componente radial de la función de onda R(r)

$\begin{array}{l}v\left(x\right)={L}_{n}^{l+\frac{1}{2}}\left({x}^{2}\right)\\ u\left(x\right)={x}^{l+1}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right){L}_{n}^{l+\frac{1}{2}}\left({x}^{2}\right)\\ {R}_{nl}\left(x\right)=C·{x}^{l}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right){L}_{n}^{l+\frac{1}{2}}\left({x}^{2}\right)\end{array}$

La constante C se calcula de modo que

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{x}^{2}{R}_{nl}^{2}\left(x\right)dx=1\\ {C}^{2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{x}^{2l+2}\mathrm{exp}\left(-{x}^{2}\right){\left({L}_{n}^{l+\frac{1}{2}}\left({x}^{2}\right)\right)}^{2}dx=1\end{array}$

Recuérdese que el volumen de una capa comprendida entre las superficies esféricas concéntricas de radio x y x+dx es 4πx2·dx. Véase la página titulada El átomo de hidrógeno

Hacemos el cambio de variable z=x2

$\frac{{C}^{2}}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{z}^{l+\frac{1}{2}}\mathrm{exp}\left(-z\right){\left({L}_{n}^{l+\frac{1}{2}}\left(z\right)\right)}^{2}dz=1$

Teniendo en cuenta la relación de ortogonalidad de los polinomios asociados de Laguerre

$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-x}{x}^{k}{L}_{n}^{k}\left(x\right){L}_{m}^{k}\left(x\right)dx=\left\{\begin{array}{l}0,\text{ }m\ne n\\ \frac{\left(n+k\right)!}{n!},\text{ }m=n\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{{C}^{2}}{2}\frac{\left(n+l+\frac{1}{2}\right)!}{n!}=1\\ C=\sqrt{\frac{2n!}{\Gamma \left(n+l+1+\frac{1}{2}\right)}}\end{array}$

Se ha utilizado la relación entre la función gamma, Γ(x) y el factorial de un número x!

$\left(n+\frac{1}{2}\right)!=\Gamma \left(n+1+\frac{1}{2}\right)$

La componente radial de la función de onda Rnl(x)

${R}_{nl}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2n!}{\Gamma \left(n+l+1+\frac{1}{2}\right)}}·{x}^{l}\mathrm{exp}\left(-\frac{{x}^{2}}{2}\right){L}_{n}^{l+\frac{1}{2}}\left({x}^{2}\right)$

### Ejemplos

• R1,1(x), energía, ε3=3+3/2

• k=3;
l=1;
n=1;
f=@(x) sqrt(2*factorial(n)/gamma(n+l+3/2))*x.^l.*exp(-x.^2/2).
*laguerreL(n, l+1/2, x.^2);
fplot(f,[0,5])
g=@(x) x.^2.*f(x).^2;
integral(g,0,20)
grid on
xlabel('x')
ylabel('R_{1,1}(x)')
title('Funciones radiales')

Comprobación

Se calcula mediante la función integral de MATLAB

$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{x}^{2}{R}_{nl}^{2}\left(x\right)dx$

>> g=@(x) x.^2.*f(x).^2;
>> integral(g,0,20)
>> 1.0000
• R0,2(x), energía, ε4=4+3/2

• Se cambia la variable l=0, y la variable n=2

Comprobación

>> g=@(x) x.^2.*f(x).^2;
>> integral(g,0,20)
>> 1.0000

## Referencias

3D Harmonic oscillator. January 19, 2018