El pozo de potencial

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una región unidimensional cuya energía potencial viene descrita por la función Ep(x) es

2 2m d 2 Ψ d x 2 + E p (x)Ψ=EΨ

Donde E es la energía total de la partícula de masa m

E= p 2 2m + E p (x)

La solución de la ecuación de Schrödinger Ψ(x) se denomina función de onda. La función de onda se normaliza de modo que

+ | Ψ(x) | 2 dx=1

La simetría de la función potencial Ep(x) hace que las funciones de onda puedan ser:

Partícula libre

El caso más simple es el de una partícula libre, la energía potencial Ep(x)=0. La ecuación de Schrödinger se escribe

d 2 Ψ d x 2 + 2mE 2 Ψ=0

Su solución es

Ψ(x)=Aexp(iqx)+Bexp(iqx) q 2 = 2mE 2

La caja de potencial

Consideremos una partícula obligada a moverse en una región entre x=-a y x=a, tal como una molécula en una caja, un electrón libre en un trozo de metal, etc. Si la energía cinética del electrón es pequeña comparada con la altura de la barrera de potencial, el electrón se podrá mover libremente a través del metal pero no podrá escapar de él.

Podemos representar estas situaciones físicas, por un potencial rectangular de altura infinita. Tenemos que Ep(x)=0 para -a<x<a, ya que la partícula se mueve libremente en esta región, fuera de esta región la energía potencial se hace infinita. Entonces, cualquiera que sea el valor de le energía E de la partícula, ésta no puede estar a la izquierda de x=-a, ni a la derecha de x=a. La función de onda en dichas regiones debe de ser nula.

La ecuación de Schrödinger en la región 0<x<a donde Ep(x)=0 se escribe

d 2 Ψ d x 2 + 2mE 2 Ψ=0

Su solución es

Ψ(x)=A e iqx +B e iqx q 2 = 2mE 2

Niveles de energía

Las condiciones de contorno requieren que Ψ(x)=0 en x=-a y también, que Ψ(x)=0 en x=a.

Ψ(a)=Aexp(iqa)+Bexp(iqa)=0 Ψ(a)=Aexp(iqa)+Bexp(iqa)=0 exp(2iqa)exp(iqa)=0 sin(2qa)=02qa=nπ

donde n es un número entero. La energía de la partícula será

E= n 2 π 2 2 8m a 2

Si E1 es la energía del primer nivel (n=1) la energía de los sucesivos niveles es 4E1, 9E1, 16E1... Concluimos que la partícula no puede tener una energía arbitraria, sino valores concretos, decimos que la energía de la partícula está cuantizada.

Funciones de onda

La simetría de la función potencial Ep(x) hace que los funciones de onda sean

En ambos casos el factor de escala, A se determina haciendo que

| Ψ(x) | 2 =1 a a | Ψ(x) | 2 =1 a a 4 A 2 cos 2 (qx)dx= 2 A 2 ( 2a+ sin(2qa) q ) a a 4 A 2 sin 2 (qx)dx= 2 A 2 ( 2a sin(2qa) q )

Las funciones de onda se parecen a los modos de vibración de una cuerda sujeta por ambos extremos o también denominadas ondas estacionarias.

Las funciones de onda dibujadas en color rojo, son simétricas. Las funciones de onda dibujadas en color azul, son antisimétricas

%caja de potencial
a=0.5;  %anchura de la caja 2a
Emax=18; %disminuir este valor al incrementar la anchura a
hold on
%potencial
xx=[-1 -1 -a -a a a 1 1];
yy=[0 Emax Emax 0 0 Emax Emax 0];
fill(xx,yy, [0.5 0.5 0.5])
%niveles de nergía y funciones de onda
for n=1:2:4
    %par, simétrico
    E=(n/(2*a))^2;
    line([-a a],[E E], 'color','k')
    q=n*pi/(2*a);
    suma=2*(2*a+sin(2*q*a)/q);
    x=-a:0.02:a;
    y=2*cos(q*x)/sqrt(suma);
    plot(x,E+y,'r');
    
    %impar, antisimétrico   
    E=((n+1)/(2*a))^2;
    line([-a a],[E E], 'color','k')
    q=(n+1)*pi/(2*a);
    suma=2*(2*a-sin(2*q*a)/q);
    x=-a:0.05:a;
    y=2*sin(q*x)/sqrt(suma);
    plot(x,E+y,'b');
end
hold off
xlim([-1,1])
xlabel('x');
ylabel('V')
title('Caja de potencial')

El pozo de potencial

Sea un pozo de potencial de anchura 2a y de altura V0. Situamos el origen en el centro del pozo, tal como se muestra en la figura. Las ecuaciones de Schrödinger en las regiones (1) y (2) se escriben

2 2m d 2 Ψ d x 2 =EΨ0xa 2 2m d 2 Ψ d x 2 + V 0 Ψ=EΨx>a

Las soluciones de estas ecuaciones son, respectivamente.

Ψ 1 ( x )= A 1 exp( i q 1 x )+ B 1 exp( i q 1 x ) q 1 = 2mE 2 Ψ 2 ( x )= A 2 exp( i q 2 x )+ B 2 exp( i q 2 x ) q 2 = 2m(E V 0 ) 2

q1 es real y q2 es imaginario. E<V0 es la energía de un nivel, si la solución de le ecuación de Schrödinger, Ψ(x) tiende asintóticamente a cero para grandes valores de x.

lim x± Ψ(x)=0

Ψ2(x) debe tender a cero cuando x se hace grande, para ello B2 tiene que ser cero.

Las condiciones de continuidad de la función de onda Ψ(x) y su derivada primera en la frontera x=a entre las dos regiones de distinto potencial, constituyen un par de ecuaciones que relacionan A1 y B1 con A2.

x=a{ A 1 exp( i q 1 a )+ B 1 exp( i q 1 a )= A 2 exp( i q 2 a ) q 1 A 1 exp( i q 1 a ) q 1 B 1 exp( i q 1 a )= q 2 A 2 exp( i q 2 a ) A 1 = q 1 + q 2 2 q 1 A 2 exp( i q 2 a )exp( i q 1 a ) B 1 = q 1 q 2 2 q 1 A 2 exp( i q 2 a )exp( i q 1 a )

Este último parámetro, determina la escala vertical de la función de onda Ψ(x), y se puede obtener a partir de la condición de normalización

+ | Ψ(x) | 2 dx=1

Niveles de energía

La simetría de la función potencial Ep(x) hace que las funciones de onda sean:

Las raíces de las dos ecuaciones nos dan los niveles de energía de la partícula en el pozo de potencial.

a=2;   %la anchura del pozo de potencial es 2a
H=5;  %altura del pozo de potencial 

f=@(E) sqrt(H-E)*cos(sqrt(E)*a)-sqrt(E)*sin(sqrt(E)*a); %par
g=@(E) sqrt(E)*cos(sqrt(E)*a)+sqrt(H-E)*sin(sqrt(E)*a); %impar

xb=buscar_intervalos(f,0.1,H,10);
nb=size(xb);
for i=1:nb(1)
    par(i)=fzero(f,[xb(i,1) xb(i,2)]);
end
xb=buscar_intervalos(g,0.1,H,10);
nb=size(xb);
for i=1:nb(1)
    impar(i)=fzero(g,[xb(i,1) xb(i,2)]);
end
disp(par)
disp(impar)
...
    0.4099    3.4729
    1.6105

La función buscar_intervalos busca los intervalos en los que la función f o g cambia de signo. La función MATLAB fzero encuentra la raíz de f o g cuando se le pasa el intervalo donde se encuentra

function xb = buscar_intervalos(f,a,b,n)
    x = a:(b-a)/n:b;
    j = 0; 
    y1=f(x(1));
    for i = 1:length(x)-1
        y2=f(x(i+1));
        if sign(y1) ~= sign(y2) 
            j = j + 1;
            xb(j,1) = x(i);
            xb(j,2) = x(i+1);
        end
        y1=y2;
    end
    if isempty(xb) 
        disp('no se han encontrado cambios de signo')
    else
        disp(['número de intervalos:' int2str(j)]) 
    end
end

Funciones de onda

Representamos las funciones de onda para cada uno de los niveles de energía

Ψ 1 ( x )= A 1 exp( i q 1 x )+ B 1 exp( i q 1 x ) Ψ 2 ( x )= A 2 exp( i q 2 x )

Subtituyendo q1=q y q2=ik

La función de onda simétrica, A1=B1 es

Ψ 1 ( x )=2 A 1 cos( qx )0xa Ψ 2 ( x )= A 2 exp( kx )x>a

La continuidad en x=a establece las relaciones entre A1 con A2 que actúa como factor de escala

A 1 = A 2 qcos(qa)+ksin(qa) 2q exp(ka)

La función de onda antisimétrica, A1=-B1 es

Ψ 1 ( x )=2i A 1 sin( qx )0xa Ψ 2 ( x )= A 2 exp( kx )x>a A 1 =i A 2 kcos(qa)qsin(qa) 2q exp(ka)

Normalizamos la función de onda, es decir, determinamos el valor de A2 para que la integral

| Ψ(x) | 2 dx=1 0 | Ψ(x) | 2 dx= 0 a | Ψ 1 (x) | 2 dx+ a | Ψ 2 (x) | 2 dx= 1 2 0 a 4 A 1 2 cos 2 (qx)dx+ a A 2 2 exp(2kx)dx=2 A 1 2 ( a+ sin(2qa) 2q ) + A 2 2 2k exp(2ka) 0 a 4 A 1 2 sin 2 (qx)dx+ a A 2 2 exp(2kx)dx=2 A 1 2 ( a sin(2qa) 2q ) + A 2 2 2k exp(2ka)

....
hold on
%pozo de potencial
xx=[-4 -4 -a -a a a 4 4];
yy=[0 H H 0 0 H H 0];
fill(xx,yy, [0.5 0.5 0.5])
%niveles de nergía y funciones de onda
for i=1:length(par)
   %nivel de energía
   line([-4 4],[par(i) par(i)], 'color','k')
    text(4, par(i),num2str(par(i)),
'VerticalAlignment','bottom', 'HorizontalAlignment','right');
 
    %función de onda (simétrica)
    q=sqrt(par(i));
    k=sqrt(H-par(i));
    A1=(q*cos(q*a)+k*sin(q*a))*exp(-k*a)/(2*q);
    suma=2*A1^2*a+A1^2*sin(2*q*a)/q+exp(-2*k*a)/(2*k);
    x=0:0.1:4;
    y=((2*A1*cos(q*x)).*(x<=a)+(exp(-k*x)).*(x>a))/sqrt(suma);
    plot([fliplr(-x) x], [par(i)+fliplr(y) par(i)+y],'r');
end
for i=1:length(impar)
   %nivel de energía
    line([-4 4],[impar(i) impar(i)], 'color','k')
    text(4, impar(i),num2str(impar(i)),
'VerticalAlignment','bottom', 'HorizontalAlignment','right');
    %función de onda (antisimétrica)
    q=sqrt(impar(i));
    k=sqrt(H-impar(i));
    A1=(k*cos(q*a)-q*sin(q*a))*exp(-k*a)/(2*q);
    suma=2*A1^2*a-A1^2*sin(2*q*a)/q+exp(-2*k*a)/(2*k);
    x=0:0.1:4;
    y=((2*A1*sin(q*x)).*(x<=a)-(exp(-k*x)).*(x>a))/sqrt(suma);
    plot([fliplr(-x) x], [impar(i)+fliplr(-y) impar(i)+y],'b');
end
ylim([0 H+1]);

hold off
xlabel('x');
ylabel('V')
title('Pozo de potencial')