Esfera de gas en equilibrio bajo la acción de su propia gravedad

Consideremos una esfera de radio R que contiene gas en estado de equilibrio.

Tomamos un elemento de volumen intersección de las superficies esféricas de radio r y r+dr, con el cono con vértice en el origen. Las fuerzas cuya dirección es radial, que actúan sobre este elemento son

La masa de gas contenida en este volumen es dm=ρ·dr·Δs. Siendo Δs el área de la base y dr la altura.

La masa de gas contenida en la capa esférica comprendida entre las superficies esféricas de radio r y r+dr es ρ(4πr2dr).

La masa de gas contenida en la esfera de radio r es

M r = 0 r ρ(r)( 4π r 2 ·dr ) =4π 0 r ρ(r) r 2 ·dr

De acuerdo a la ley de Gauss, el campo gravitatorio a una distancia r del centro de la esfera de gas solamente se debe a la masa Mr contenida en dicha esfera de radio r.

F(r)=G M r ·dm r 2 =G M r ·ρ·dr·Δs r 2

La resultante de las fuerzas que actúan sobre el elemento de volumen deberá ser cero

G M r ·ρ·dr·Δs r 2 +p(r)Δsp(r+dr)Δs=0 p(r+dr)p(r)=G M r ·ρ r 2 dr dp dr =G M r ·ρ(r) r 2

Conocida la función densidad ρ(r), resolveremos la ecuación diferencial con la condición de contorno, p(R)=0

Densidad constante

El caso más simple es ρ(r)=c

Representamos la densidad ρ(r)/c en función de r/R

line([0,1],[1,1],'color','r')
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('\rho(r)/c')
title('Densidad')

La masa de gas contenida en la esfera de radio r es

M r =4π 0 r ρ r 2 ·dr =4πc r 3 3

La ecuación diferencial se escribe

dp dr =G M r ·ρ(r) r 2 =G4π c 2 r 3

Integramos entre 0 y r

p p 0 = G4π c 2 3 0 r r·dr = G4π c 2 6 r 2

Donde p0 es la presión en el centro de la esfera que determinamos sabiendo que p(R)=0

p(R) p 0 = G4π c 2 6 R 2 p 0 = 2 3 πG c 2 R 2

La presión p en función de la distancia radial r es

p(r)= 2 3 πG c 2 ( R 2 r 2 )

Representamos p(r)/p0 en función de r/R

p(r) p 0 =1 r 2 R 2

fplot(@(x) 1-x.^2,[0,1],'color','b')
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('p(r)/p_0')
title('Presión')

La densidad es una función potencial

La densidad ρ(r) es

ρ(r)=c( 1 r n R n )

Representamos la densidad ρ(r)/c en función de r/R para n=2, 5, 8

hold on
for n=[2,5,8]
    fplot(@(x) 1-x.^n,[0,1])
end
hold off
grid on
legend('2','5','8','Location','best')
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('\rho(r)/c')
title('Densidad')

La masa de gas contenida en la esfera de radio r es

M r =4π 0 r ρ(r) r 2 ·dr =4π 0 r c( 1 r n R n ) r 2 ·dr =4πc r 3 ( 1 3 1 n+3 r n R n )

La ecuación diferencial se escribe

dp dr =G M r ·ρ(r) r 2 =G4π c 2 r( 1 3 1 n+3 r n R n )( 1 r n R n )

Integramos entre 0 y r

p p 0 =G4π c 2 0 r { r 3 ( 1 3 + 1 n+3 ) r n+1 R n + 1 n+3 r 2n+1 R 2n }·dr = G4π c 2 { r 2 6 ( 1 3 + 1 n+3 ) 1 n+2 r n+2 R n + 1 n+3 1 2n+2 r 2n+2 R 2n }

Donde p0 es la presión en el centro de la esfera que determinamos sabiendo que p(R)=0

p(R) p 0 =G4π c 2 { R 2 6 ( 1 3 + 1 n+3 ) 1 n+2 R n+2 R n + 1 n+3 1 2n+2 R 2n+2 R 2n } p 0 = 2 3 πG c 2 R 2 { 1 2(n+6) (n+2)(n+3) + 3 (n+3)(n+1) }

La presión p en función de la distancia radial r es

p(r)= 2 3 πG c 2 { [ 1 2(n+6) (n+2)(n+3) + 3 (n+3)(n+1) ] R 2 r 2 [ 1 2(n+6) (n+2)(n+3) r n R n + 3 (n+3)(n+1) r 2n R 2n ] }

Representamos p(r)/p0 en función de r/R para n=2, 5, 8

p(r) p 0 =1 r 2 R 2 1 2(n+6) (n+2)(n+3) r n R n + 3 (n+3)(n+1) r 2n R 2n 1 2(n+6) (n+2)(n+3) + 3 (n+3)(n+1)

hold on
for n=[2,5,8]
    f=@(x) 1-(x.^2).*(1-2*(n+6)*x.^n/((n+2)*(n+3))+3*x.^(2*n)/((n+3)*(n+1)))
/(1-2*(n+6)/((n+2)*(n+3))+3/((n+3)*(n+1)));
    fplot(f,[0,1])
end
hold off
grid on
legend('2','5','8','Location','best')
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('p(r)/p_0')
title('Presión')

La densidad es una función exponencial decreciente

La densidad ρ(r) es

ρ(r)=c( 1 r 3R ) e r R

Representamos la densidad ρ(r)/c en función de r/R

fplot(@(x) (1-x/3).*exp(-x),[0,1])
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('\rho(r)/c')
title('Densidad')

La masa de gas contenida en la esfera de radio r es

M r =4π 0 r ρ(r) r 2 ·dr =4π 0 r c( 1 r 3R ) e r R r 2 ·dr = 4πc{ 0 r r 2 e r R ·dr 1 3R 0 r r 3 e r R ·dr }

Integrando por partes

r 3 e r R ·dr =R r 3 e r R +3R r 2 e r R ·dr

El resultado es

M r = 4 3 πc r 3 e r R

La ecuación diferencial se escribe

dp dr =G M r ·ρ(r) r 2 = 4 3 πG c 2 r( 1 r 3R ) e 2 r R

Integramos entre 0 y r

p p 0 = 4 3 πG c 2 { 0 r r e 2 r R dr 1 3R 0 r r 2 e 2 r R dr }

Integrando por partes

r 2 e 2 r R ·dr = R 2 r 2 e 2 r R +R r e 2 r R ·dr r e 2 r R ·dr = R 2 r e 2 r R R 2 4 e 2 r R

El resultado es

p p 0 = 4 3 πG c 2 R 2 1 3 { 1 2 +( 1 2 r 2 R 2 r R 1 2 ) e 2 r R }

Donde p0 es la presión en el centro de la esfera que determinamos sabiendo que p(R)=0

p(R) p 0 = 4 3 πG c 2 R 2 1 3 { 1 2 1 e 2 } p 0 = 4 9 πG c 2 R 2 { 1 2 1 e 2 }

La presión p en función de la distancia radial r es

p= 2 9 πG c 2 R 2 { ( 1+2 r R r 2 R 2 ) e 2 r R 1 e 2 }

Representamos p(r)/p0 en función de r/R

p p 0 = ( 1+2 r R r 2 R 2 ) e 22 r R 2 e 2 2

f=@(x) ((1+2*x-x.^2).*exp(2-2*x)-2)/(exp(2)-2); 
fplot(f,[0,1])
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('p(r)/p_0')
title('Presión')

Otra condición de contorno sería que la presión en el infinito fuese nula p(∞)=0

p() p 0 = 4 3 πG c 2 R 2 1 3 1 2 p 0 = 2 9 πG c 2 R 2

La presión p en función de la distancia radial r es

p= 2 9 πG c 2 R 2 ( 1+2 r R r 2 R 2 ) e 2 r R

Representamos p(r)/p0 en función de r/R

p p 0 =( 1+2 r R r 2 R 2 ) e 2 r R

f=@(x) (1+2*x-x.^2).*exp(-2*x); 
fplot(f,[0,3])
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('p(r)/p_0')
title('Presión')

La densidad es una función gausiana

La densidad ρ(r) es

ρ(r)=c( 1 2 3 r 2 R 2 ) e r 2 R 2

Representamos la densidad ρ(r)/c en función de r/R

fplot(@(x) (1-2*x.^2/3).*exp(-x.^2),[0,1])
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('\rho(r)/c')
title('Densidad')

La masa de gas contenida en la esfera de radio r es

M r =4π 0 r ρ(r) r 2 ·dr =4π 0 r c( 1 2 3 r 2 R 2 ) e r 2 R 2 r 2 ·dr = 4πc{ 0 r r 2 e r 2 R 2 ·dr 2 3 1 R 2 0 r r 4 e r 2 R 2 ·dr }

Integrando por partes

r 4 e r 2 R 2 dr= R 2 2 r 3 e r 2 R 2 + 3 2 R 2 r 2 e r 2 R 2 dr

El resultado es

M r = 4 3 πc r 3 e r 2 R 2

La ecuación diferencial se escribe

dp dr =G M r ·ρ(r) r 2 = 4 3 πG c 2 r( 1 2 3 r 2 R 2 ) e 2 r 2 R 2

Integramos entre 0 y r

p p 0 = 4 3 πG c 2 { 0 r r e 2 r 2 R 2 dr 2 3 R 2 0 r r 3 e 2 r 2 R 2 dr }

Tenemos una integral inmediata y otra por partes

r e 2 r 2 R 2 ·dr = R 2 4 e 2 r 2 R 2 r 3 e 2 r 2 R 2 ·dr = R 2 4 r 2 e 2 r 2 R 2 R 4 8 e 2 r 2 R 2

El resultado es

p p 0 = 4 3 πG c 2 1 6 ( R 2 + r 2 ) e 2 r 2 R 2 | 0 r = 2 9 πG c 2 { ( R 2 + r 2 ) e 2 r 2 R 2 + R 2 }

Donde p0 es la presión en el centro de la esfera que determinamos sabiendo que p(R)=0

p(R) p 0 = 2 9 πG c 2 R 2 p 0 = 2 9 πG c 2 R 2

La presión p en función de la distancia radial r es

p= 2 9 πG c 2 R 2 ( 1 r 2 R 2 ) e 2 r 2 R 2

Representamos p(r)/p0 en función de r/R

p p 0 =( 1 r 2 R 2 ) e 2 r 2 R 2

f=@(x) (1-x.^2).*exp(-2*x.^2); 
fplot(f,[0,1])
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('r/R')
ylabel('p(r)/p_0')
title('Presión')

Otra condición de contorno sería que la presión en el infinito fuese nula p(∞)=0

p() p 0 = 2 9 πG c 2 R 2 p 0 = 2 9 πG c 2 R 2

La presión p en función de la distancia radial r es

p= 2 9 πG c 2 R 2 ( 1 r 2 R 2 ) e 2 r 2 R 2

Se obtiene el mismo resultado

Referencias

Andrei Smirnov, Ricardo Max Menezes Oliveira. Esferas de gás em estado de equilíbrio sob ação da gravitação própria. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 37, n. 1, 1308 (2015) https://www.scielo.br/j/rbef/i/2015.v37n1/