Dinámica de fluidos

Ecuación de la continuidad

Consideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante tt.

En un intervalo de tiempo Δt la sección  S1 que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha Δx1=v1Δt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Δm1=ρ·S1Δx1=ρS1v1Δt.

Análogamente, la sección S2 que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha  Δx2=v2Δt. en el intervalo de tiempo Δt. La masa de fluido desplazada es Δm2=ρS2v2 Δt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S1 en el tiempo Δt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S2 en el mismo intervalo de tiempo. Luego

v1S1=v2S2

Esta relación se denomina ecuación de continuidad.

En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

Ejemplo:

Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.

La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura.

La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0 y la velocidad del agua es v0. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es

v 2 = v 0 2 +2gh

Aplicando la ecuación de continuidad

S 0 v 0 =Sv π r 0 2 v 0 =π r 2 v

Despejamos el radio r del hilo de agua en función de la distancia h al grifo.

r= r 0 v 0 2 v 0 2 +2gh 4

Ecuación de Bernoulli

Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Δt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S2 se ha desplazado v2 Δt y la cara anterior S1 del elemento de fluido se ha desplazado v1Δt hacia la derecha.

El elemento de masa Δm se puede expresar como Δm=ρS2v2Δt=ρ S1v1Δt=ρΔV

Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante tt. Observamos que el elemento Δm incrementa su altura, desde la altura y1 a la altura y2

El elemento Δm cambia su velocidad de v1 a v2,

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F1=p1S1 y F2=p2S2.

La fuerza F1 se desplaza Δx1=v1Δt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo

La fuerza F2 se desplaza Δx2=v2 Δt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios.

El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas

Wext=Ef-Ei=(Ek+Ep)f-(Ek+Ep)iEkEp

Simplificando el término ΔV y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli

p 1 +ρg y 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 +ρg y 2 + 1 2 ρ v 2 2

Efecto Venturi

Cuando el desnivel es cero, la tubería es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería.

La ecuación de continuidad se escribe

v1S1=v2S2

Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. Si S1>S2, se concluye que v1<v2.

La ecuación de Bernoulli con y1=y2

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Como la velocidad en el tramo de menor sección es mayor, la presión en dicho tramo es menor.

Si v1<v2 se concluye que p1>p2. El líquido manométrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el derecho

Obtenemos las velocidades v1 y v2 en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión p1-p2 en el manómetro.

v 2 = S 1 2( p 1 p 2 ) ρ( S 1 2 S 2 2 )

Ejemplo:

Determinar la velocidad del agua en ambos tramos de la tubería, sabiendo que:

Los datos son:

S1=π(0.2)2 m2, S2=π(0.05)2 m2, ρ=1000 kg/m3, y p1-p2=1275 Pa.

Empleando la expresión anterior, obtenemos el valor de v2=1.6 m/s. Calculamos v1 a partir de la ecuación de continuidad (v1S1=v2S2) obteniendo v1=0.1 m/s ó 10 cm/s.

Introducimos en el programa interactivo los siguientes datos y comprobamos el resultado:

Actividades

Se introduce

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El valor de la velocidad en el tramo derecho se obtiene aplicando la ecuación de continuidad. Si el radio del tramo izquierdo es el doble que el radio del tramo derecho, la velocidad en el tramo derecho es cuatro veces mayor que en el izquierdo. Es decir, mientras que la sección anterior S1 del elemento de fluido se desplaza 10 cm, la sección posterior S2 se desplaza 40.

A continuación, nos fijaremos en los cambios energéticos.

A medida que el elemento de fluido (coloreado de amarillo) se mueve hacia la derecha su energía cambia. En la parte inferior izquierda, se muestra la variación de energía cinética, de energía potencial y el trabajo de las fuerzas exteriores (que ejerce el resto del fluido sobre el elemento de fluido considerado). Las fuerzas exteriores se señalan mediante flechas. Comprobamos que la suma de las variaciones de energía cinética y potencial nos da el trabajo de las fuerzas exteriores.



Referencias

Grubelnik V., Marhl M., Drop formation in a falling stream of liquid. Am. J. Phys. 73 (5) May 2005, pp. 415-419