El principio de Arquímedes

Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.

Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie.

Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje.

De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto, se cumple

Empuje=pesof·gV

El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido ρf  por la aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.

Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es la misma y actúa en el mismo punto, denominado centro de empuje.

Lo que cambia es el peso del cuerpo sólido y su punto de aplicación que es el centro de masa, que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto.

En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto, coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

Ejemplo

Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área de la base del cuerpo es A y su altura h.

La presión debida al fluido sobre la base superior es p1=ρfgx, y la presión debida al fluido en la base inferior es p2=ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2.

Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:

En el equilibrio tendremos que

mg+p1·A= p2·A
mg
+ρfgx·A= ρfg(x+hA

o bien,

mg=ρfh·Ag

Como la presión en la cara inferior del cuerpo p2 es mayor que la presión en la cara superior p1, la diferencia es ρfgh. El resultado es una fuerza hacia arriba ρfgh·A sobre el cuerpo debida al fluido que le rodea.

Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido.

Con esta explicación surge un problema interesante y debatido. Supongamos que un cuerpo de base plana (cilíndrico o en forma de paralepípedo) cuya densidad es mayor que la del fluido, descansa en el fondo del recipiente.

Si no hay fluido entre el cuerpo y el fondo del recipiente ¿desaparece la fuerza de empuje?, tal como se muestra en la figura

Si se llena un recipiente con agua y se coloca un cuerpo en el fondo, el cuerpo quedaría en reposo sujeto por su propio peso mg y la fuerza p1A que ejerce la columna de fluido situada por encima del cuerpo, incluso si la densidad del cuerpo fuese menor que la del fluido. La experiencia demuestra que el cuerpo flota y llega a la superficie.

El principio de Arquímedes sigue siendo aplicable en todos los casos y se enuncia en muchos textos de Física del siguiente modo:

Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo.

Flotación entre dos líquidos no miscibles

Un cuerpo sólido está sumergido en dos líquidos inmiscibles: agua y aceite. Determinaremos la densidad de dicho cuerpo por dos métodos distintos:

El aceite que tiene una densidad 0.8 g/cm3 se sitúa en la parte superior y el agua que es más densa 1.0 g/cm3 se sitúa en la parte inferior del recipiente.

La densidad del bloque es un número comprendido entre la densidad del aceite 0.8, y la del agua 1.0. Un cuerpo de esta densidad flota entre los dos líquidos.

Principio de Arquímedes

Conociendo que parte del sólido está sumergido en aceite (fluido 1) o en agua (fluido 2), se determinará la densidad de dicho cuerpo.

El principio de Arquímedes nos dice que si el bloque está en equilibrio, el peso del bloque debe ser igual al empuje proporcionado por ambos líquidos.

Peso del bloque =empuje del agua + empuje del aceite

ρShg=ρ2Sxg+ρ1S(h-x)g

x= ρ ρ 1 ρ 2 ρ 1 h

S es el área de la base del bloque, h su altura, y x es la parte del bloque sumergida en agua.

En general, un cuerpo que flota en la superficie del agua, está sumergido en dos fluidos, uno es el agua ρ2=1000 kg/m3 y el otro es el aire ρ1=1.29 kg/m3. Habitualmente, se desprecia la densidad del aire frente a la del sólido ρ y la del fluido ρ2, aplicándose la fórmula aproximada

x ρ ρ 2 h

Ejemplo

Supongamos un bloque de h=20 cm de altura, observamos que el bloque está sumergido 13 cm en aceite y 7 cm en agua.

ρ·20=0.8·13+1.0·7

Despejando en la fórmula la densidad del sólido, obtenemos el valor de 0.87 g/cm3.

Ecuación fundamental de la estática de fluidos

Sean p1 y p2 las presiones sobre la cara superior e inferior del bloque sumergido.

La cara superior está en el aceite a una profundidad y. La presión p1 será igual a la atmosférica p0 más la correspondiente a la altura y de aceite.

p1=p01gy

La cara inferior está en el agua. La presión p2 será igual a la presión atmosférica p0 más la correspondiente a la altura de aceite (y+h-x) más la correspondiente a la altura de la columna de agua (x)

p2=p0+ρ1g(y+h-x)2gx

La fuerza que ejerce el fluido sobre dichas caras será el producto de la presión por el área de su superficie S.

Como vemos en la figura, para que haya equilibrio se tiene que cumplir que

p1S+mg=p2S

Teniendo en cuenta que m=ρ·hS despejamos el valor de x.

x= ρ ρ 1 ρ 2 ρ 1 h

Es el mismo resultado que hemos obtenido aplicando el principio de Arquímedes

Ejemplo:

Datos: densidad del agua 1000 kg/m3, densidad del aceite 800 kg/m3, densidad del mercurio 13550 kg/m3

La cara superior está a 22 cm de la superficie libre, la presión debida al aceite es

p 1 =0.229.8800=1724.8Pa 1724.8 135509.8 =0.013m=20.65cm en el manómetro

La cara inferior está a 42 cm de la superficie libre (35 cm de aceite y 7 cm de agua), la presión debida a ambos líquidos es:

p 2 =8009.80.35+10009.80.07=3430Pa 3430 135509.8 =0.026m=21.3cm en el manómetro

En el equilibrio se cumple

1724.8S+ ρ s S0.29.8=3430S

Se obtiene ρs=870 kg/m3 ó 0.87 g/cm3

Referencias

Bierman J, Kincanon E. Reconsidering Archimedes’ principle. The Physics Teacher, Vol 41, Setember 2003, pp. 340-344.