Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.

Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie.

Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje.

De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto, se cumple

Empuje=peso=ρ_f·gV

El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido ρ_f  por la aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.

Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es la misma y actúa en el mismo punto, denominado centro de empuje.

Lo que cambia es el peso del cuerpo sólido y su punto de aplicación que es el centro de masa, que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto.

En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto, coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

Ejemplo 1

Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρ_f. El área de la base del cuerpo es A y su altura h.

La presión debida al fluido sobre la base superior es p₁=ρ_fgx, y la presión debida al fluido en la base inferior es p₂=ρ_fg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está comprendida entre p₁ y p₂.

Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:

• Peso del cuerpo, mg

• Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p₁·A

• Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p₂·A

En el equilibrio tendremos que

mg+p₁·A= p₂·A
mg+ρ_fgx·A= ρ_fg(x+h)·A

o bien,

mg=ρ_fh·Ag

Como la presión en la cara inferior del cuerpo p₂ es mayor que la presión en la cara superior p₁, la diferencia es ρ_fgh. El resultado es una fuerza hacia arriba ρ_fgh·A sobre el cuerpo debida al fluido que le rodea.

Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido.

Excepciones

Con esta explicación surge un problema interesante y debatido. Supongamos que un cuerpo de base plana (cilíndrico o en forma de paralepípedo) cuya densidad es mayor que la del fluido, descansa en el fondo del recipiente.

Si no hay fluido entre el cuerpo y el fondo del recipiente ¿desaparece la fuerza de empuje?

En la figura, se representa la resultante F_p de las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre el cuerpo sumergido. En la figura de la izquierda

F_p=(p₀+ρg(H-h))A

Siendo A el área de la base del cuerpo de altura h, H es la altura del líquido en el recipiente, y p₀ la presión atmosférica

F_p=p_bA-ρVg

Siendo p_b=p₀+ρgH, la presión en el fondo del recipiente y V el volumen del cuerpo

Si se llena un recipiente con agua y se coloca un cuerpo en el fondo, el cuerpo quedaría en reposo sujeto por su propio peso mg y la fuerza F_p que ejercería la columna de fluido situada por encima del cuerpo, incluso si la densidad del cuerpo fuese menor que la del fluido. La experiencia demuestra que el cuerpo flota y llega a la superficie. Es difícil eliminar la capa de agua entre las dos superficies del cuerpo y del recipiente en contacto

Ejemplo 2

Consideremos una cuerpo de forma esférica de radio R, completamente sumergido en un líquido de densidad ρ_f. El centro de la esfera está a una profundidad h>R.

• La presión que ejerce el líquido a una profundidad h-Rcosθ es p=ρ_f·g(h-Rcosθ), la fuerza que ejerce esta presión sobre el área dA señalada en color rojo es dF=p(2πRsinθ·R·dθ) y su dirección es radial y hacia el centro de la esfera

Su componente a lo largo del eje vertical Z es dF·cosθ

${\displaystyle d{F}_{\downarrow }={\rho }_{f}g\left(h-R\cos \theta \right)\left(2\pi R\sin \theta ·Rd\theta \right)\cos \theta }$

• La presión que ejerce el líquido a una profundidad h+Rcosθ es p=ρ_f·g(h+Rcosθ), la fuerza que ejerce esta presión sobre el área dA es dF=p(2πRsinθ·R·dθ) y su dirección es radial y hacia el centro de la esfera

Su componente a lo largo del eje vertical Z es dF·cosθ

${\displaystyle d{F}_{\uparrow }={\rho }_{f}g\left(h+R\cos \theta \right)\left(2\pi R\sin \theta ·Rd\theta \right)\cos \theta }$

Por simetría las componentes horizontales se anulan

La fuerza total que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de la esfera es hacia arriba e igual a la diferencia

${\displaystyle \begin{array}{l}d{F}_z=d{F}_{\uparrow }-d{F}_{\downarrow }={\rho }_{f}g\left(2R\cos \theta \right)\left(2\pi R\sin \theta ·Rd\theta \right)\cos \theta ={\rho }_{f}g4\pi R^3{\cos }^2\theta ·\sin \theta ·d\theta \\ E={\rho }_{f}g4\pi R^3{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^2\theta ·\sin \theta ·d\theta =-{\rho }_{f}g4\pi R^3\frac{{\cos }^3\theta }{3}|}}_0^{\pi /2}={\rho }_{f}g\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)\end{array}}$

Verificamos de nuevo, el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido, la gravedad y el volumen del cuerpo sumergido

Flotación entre dos líquidos no miscibles

Un cuerpo sólido está sumergido en dos líquidos inmiscibles: agua y aceite. Determinaremos la densidad de dicho cuerpo por dos métodos distintos:

• El principio de Arquímedes
• La ecuación fundamental de la estática de fluidos

El aceite que tiene una densidad 0.8 g/cm³ se sitúa en la parte superior y el agua que es más densa 1.0 g/cm³ se sitúa en la parte inferior del recipiente.

La densidad del bloque es un número comprendido entre la densidad del aceite 0.8, y la del agua 1.0. Un cuerpo de esta densidad flota entre los dos líquidos.

Principio de Arquímedes

Conociendo que parte del sólido está sumergido en aceite (fluido 1) o en agua (fluido 2), se determinará la densidad de dicho cuerpo.

El principio de Arquímedes nos dice que si el bloque está en equilibrio, el peso del bloque debe ser igual al empuje proporcionado por ambos líquidos.

Peso del bloque =empuje del agua + empuje del aceite

ρShg=ρ₂Sxg+ρ₁S(h-x)g

${\displaystyle x=\frac{\rho -{\rho }_1}{{\rho }_2-{\rho }_1}h}$

S es el área de la base del bloque, h su altura, y x es la parte del bloque sumergida en agua.

En general, un cuerpo que flota en la superficie del agua, está sumergido en dos fluidos, uno es el agua ρ₂=1000 kg/m³ y el otro es el aire ρ₁=1.29 kg/m³. Habitualmente, se desprecia la densidad del aire frente a la del sólido ρ y la del fluido ρ₂, aplicándose la fórmula aproximada

${\displaystyle x\approx \frac{\rho }{{\rho }_2}h}$

Ejemplo

Supongamos un bloque de h=20 cm de altura, observamos que el bloque está sumergido 13 cm en aceite y 7 cm en agua.

ρ·20=0.8·13+1.0·7

Despejando en la fórmula la densidad del sólido, obtenemos el valor de 0.87 g/cm³.

Ecuación fundamental de la estática de fluidos

Sean p₁ y p₂ las presiones sobre la cara superior e inferior del bloque sumergido.

La cara superior está en el aceite a una profundidad y. La presión p₁ será igual a la atmosférica p₀ más la correspondiente a la altura y de aceite.

p₁=p₀+ρ₁gy

La cara inferior está en el agua. La presión p₂ será igual a la presión atmosférica p₀ más la correspondiente a la altura de aceite (y+h-x) más la correspondiente a la altura de la columna de agua (x)

p₂=p₀+ρ₁g(y+h-x)+ρ₂gx

La fuerza que ejerce el fluido sobre dichas caras será el producto de la presión por el área de su superficie S.

Como vemos en la figura, para que haya equilibrio se tiene que cumplir que

p₁S+mg=p₂S

Teniendo en cuenta que m=ρ·hS despejamos el valor de x.

${\displaystyle x=\frac{\rho -{\rho }_1}{{\rho }_2-{\rho }_1}h}$

Es el mismo resultado que hemos obtenido aplicando el principio de Arquímedes

Ejemplo:

Datos: densidad del agua 1000 kg/m³, densidad del aceite 800 kg/m³, densidad del mercurio 13550 kg/m³

La cara superior está a 22 cm de la superficie libre, la presión debida al aceite es

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_1=0.22\cdot 9.8\cdot 800=1724.8\text{Pa}\\ \frac{\text{1724}\text{.8}}{\text{13550}\cdot \text{9}\text{.8}}=0.013\text{m}=2\cdot 0.65\text{cm en el manómetro}\end{array}}$

La cara inferior está a 42 cm de la superficie libre (35 cm de aceite y 7 cm de agua), la presión debida a ambos líquidos es:

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_2=800\cdot 9.8\cdot 0.35+1000\cdot 9.8\cdot 0.07=3430\text{Pa}\\ \frac{\text{3430}}{\text{13550}\cdot \text{9}\text{.8}}=0.026\text{m}=2\cdot 1.3\text{cm en el manómetro}\end{array}}$

En el equilibrio se cumple

${\displaystyle 1724.8\cdot S+{\rho }_{s}S\cdot 0.2\cdot 9.8=3430\cdot S}$

Se obtiene ρ_s=870 kg/m³ ó 0.87 g/cm³

El principio de Arquímedes en un fluido en rotación

• En un fluido de densidad ρ_f en equilibrio, la presión crece linealmente con la profundidad h, p=p₀+ρ_fgh. p₀ es la presión en la superficie del fluido

• Un cuerpo sumergido experimenta una fuerza de empuje hacia arriba, E=ρ_fgV

• La fuerza total sobre el cuerpo sumergido es el empuje E menos el peso mg, $F=\left({\rho }_f-\rho \right)Vg$

Por otra parte,

• En un fluido en rotación con velocidad angular constante ω, la presión crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia al eje de rotación, $p(r)=\frac{1}{2}{\rho }_f{\omega }^2{r}^2$

• Un cuerpo sumergido experimenta una fuerza de empuje en la dirección radial, hacia el eje de rotación E=ρ_f(ω²r₀)V.

• La fuerza total sobre el cuerpo sumergido es la fuerza centrífuga menos el empuje en la dirección radial, $F=\left(\rho -{\rho }_f\right)V{\omega }^2{r}_0$

En este apartado, vamos a calcular la fuerza de empuje que experimenta una esfera de radio R sumergida en un fluido de densidad ρ_f en rotación con velocidad angular constante ω, el centro de la esfera está a una distancia r₀=h del eje de rotación paralelo al eje Y

Vamos a seguir los mismos pasos que en el ejemplo de una esfera sumergida en un fluido en equilibrio

Presión en un punto z>0

Sea un punto P sobre la superficie esférica de radio R, de coordenadas φ, θ

${\displaystyle P\{\begin{array}{l}x=R·\sin \theta ·\cos \phi \\ y=R·\sin \theta ·\sin \phi \\ z=R·\cos \theta \end{array}}$

La distancia del punto P al eje de rotación, la recta z=h, paralela al eje Y se calcula del siguiente modo

Tomamos un punto A de la recta y un vector unitario $\widehat{u}$ cuya dirección es la de la recta. El vector $\overrightarrow{v}$ tiene origen en el punto A de la recta y extremo en el punto P.

El módulo del producto vectorial de los dos vectores es la distancia d del punto P a la recta.

${\displaystyle \left|\widehat{u}\times \overrightarrow{v}\right|=1·v·\sin \theta =d}$

Tomamos como punto A (0,0,h), el vector unitario $\widehat{j}$ , tiene la dirección de la recta paralela al eje Y. El vector $\overrightarrow{v}$ va del punto A al punto P, es el vector

${\displaystyle \overrightarrow{v}=(R·\sin \theta ·\cos \phi )\widehat{i}+(R·\sin \theta ·\sin \phi )\widehat{j}+(R·\cos \theta -h)\widehat{k}}$

El producto vectorial

${\displaystyle \begin{array}{l}\widehat{u}\times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 0& 1& 0\\ R·\sin \theta ·\cos \phi & R·\sin \theta ·\sin \phi & R·\cos \theta -h\end{array}\right|\\ =\left(R·\cos \theta -h\right)\widehat{i}-\left(R·\sin \theta ·\cos \phi \right)\widehat{k}\end{array}}$

El módulo del producto vectorial es la distancia r=d del punto P al eje de rotación, la recta z=h, paralela al eje Y

${\displaystyle r^2=R^2{\cos }^2\theta +h^2-2Rh\cos \theta +R^2·{\sin }^2\theta ·{\cos }^2\phi }$

La fuerza que ejerce dicha presión sobre el elemento diferencial de área (Rsinθ·dθ)·(R·dφ), señalado de color rojo en la figura, es dF=p(r)·(R²sinθ· dθ·dφ), tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la esfera, tal como se indica en la figura.

La componente a lo largo del eje Z de dicha fuerza es dF·cosθ

${\displaystyle \begin{array}{l}d{F}_{\downarrow }=\left(\frac{1}{2}{\rho }_f{\omega }^2{r}^2\right)\left(R^2\sin \theta ·d\theta ·d\phi \right)\cos \theta =\\ \frac{1}{2}{\rho }_f{\omega }^2{R}^2\left(R^2{\cos }^2\theta +h^2-2Rh\cos \theta +R^2·{\sin }^2\theta ·{\cos }^2\phi \right)\cos \theta ·\sin \theta ·d\phi ·d\theta \end{array}}$

Presión en otro punto z<0

Cuando el punto P, está por debajo del origen O, el vector $\overrightarrow{v}$ es

${\displaystyle \overrightarrow{v}=(R·\sin \theta ·\cos \phi )\widehat{i}+(R·\sin \theta ·\sin \phi )\widehat{j}-(R·\cos \theta +h)\widehat{k}}$

La distancia r entre el eje de rotación y el punto P es

${\displaystyle r^2=R^2{\cos }^2\theta +h^2+2Rh\cos \theta +R^2·{\sin }^2\theta ·{\cos }^2\phi }$

La fuerza que ejerce dicha presión sobre el elemento diferencial de área es dF=p(r)·(R²sinθ· dθ·dφ), tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la esfera, (véase la figura de la derecha)

La componente a lo largo del eje Z de dicha fuerza es dF·cosθ

${\displaystyle \begin{array}{l}d{F}_{\uparrow }=\left(\frac{1}{2}{\rho }_f{\omega }^2{r}^2\right)\left(R^2\sin \theta ·d\theta ·d\phi \right)\cos \theta =\\ \frac{1}{2}{\rho }_f{\omega }^2{R}^2\left(R^2{\cos }^2\theta +h^2+2Rh\cos \theta +R^2·{\sin }^2\theta ·{\cos }^2\phi \right)\cos \theta ·\sin \theta ·d\phi ·d\theta \end{array}}$

Empuje

La diferencia entre las dos fuerzas

${\displaystyle d{F}_{\uparrow }-d{F}_{\downarrow }=\frac{1}{2}{\rho }_f{\omega }^2{R}^2\left(4Rh\cos \theta \right)\cos \theta ·\sin \theta ·d\phi ·d\theta =2{\rho }_f{\omega }^2{R}^{3}h{\cos }^2\theta ·\sin \theta ·d\phi ·d\theta }$

Integramos el ángulo φ entre 0 y 2π y el ángulo θ entre 0 y π/2

${\displaystyle \begin{array}{l}E=2{\rho }_f{\omega }^2{R}^{3}h{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi }\right)}{\cos }^2\theta ·\sin \theta ·d\theta =4\pi {\rho }_f{\omega }^2{R}^{3}h{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^2\theta ·\sin \theta ·d\theta =}\\ 4\pi {\rho }_f{\omega }^2{R}^{3}h{\left(-\frac{{\cos }^3\theta }{3}\right)|}_0^{\pi /2}={\rho }_f{\omega }^2\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)h\end{array}}$

Por simetría, las componentes de las fuerzas que ejerce la presión a lo largo del eje X e Y se anulan de dos en dos. La fuerza neta que ejerce la presión, debida a la rotación del fluido, sobre una esfera de radio R, sumergida en dicho fluido cuyo centro está a una distancia h del eje de rotación, tiene dirección radial sentido hacia el eje y vale ρ_f(ω²h)V. La aceleración de la gravedad g ha sido substituida por la aceleración centrífuga, ω²h.

Referencias

Bierman J, Kincanon E. Reconsidering Archimedes’ principle. The Physics Teacher, Vol 41, Setember 2003, pp. 340-344.

Para el último apartado

Gerald L. Wick, Paul F. Tooby. Centrifugal buoyancy forces Am. J. Phys. 45 (11), November 1977, pp. 1074-1076