La bomba de vacío

Para hacer ascender el líquido por la larga paja aspiramos, retirando cierta cantidad de aire hacia nuestros pulmones, disminuyendo la presión del aire contenido en la paja. Una máquina de hacer vacío realiza una función análoga de forma cíclica.

Se conecta una bomba de vacío a un depósito de volumen V que contiene aire a la presión atmosférica p₀.

En la parte superior de la figura, vemos que el émbolo de la bomba de vacío se mueve hacia la derecha, la válvula B que conecta con el recipiente se abre y la válvula A situada en el émbolo que conecta la bomba con la atmósfera se cierra. A medida que se mueve en el émbolo, el aire del recipiente se expansiona y entra en la bomba de volumen v.

Cuando el émbolo ha completado el recorrido, el aire contenido inicialmente en el recipiente ocupa ahora un volumen v+V. La presión p₁ del aire disminuye

${\displaystyle p_{0}V=p_1(v+V)p_1=p_0\frac{V}{v+V}}$

Supondremos que la expansión se realiza de forma isotérmica, sin que cambie la temperatura del aire.

El émbolo se mueve hacia la izquierda, (véase la parte inferior de la figura) se cierra la válvula B que conecta con el recipiente y se abre la válvula A en el émbolo, haciendo que el aire contenido en la bomba salga hacia la atmósfera.

Cuando comienza el nuevo ciclo, el aire que ocupa el recipiente está a la presión p₁. Se abre la válvula B y se cierra la válvula A, el émbolo se mueve hacia la derecha. El aire del recipiente se expansiona ocupando un volumen v+V. La presión p₂ del aire disminuye. El émbolo se mueve hacia la izquierda, se cierra la válvula B que conecta con el recipiente y se abre la válvula A en el émbolo, haciendo que el aire contenido en la bomba salga hacia la atmósfera. La presión del aire contenido en el recipiente al final del segundo ciclo es

${\displaystyle p_{1}V=p_2(v+V)p_2=p_0{\left(\frac{V}{v+V}\right)}^2}$

Al cabo de n ciclos la presión del aire en el recipiente es

${\displaystyle p_n=p_0{\left(\frac{V}{v+V}\right)}^n}$

v=0.3; %volumen de la bomba
n=0:20;
p=(1/(1+v)).^n;
plot(n,p, 'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlabel('n')
ylabel('p/p_0')
title('Bomba de vacío')

Actividades

Se introduce

• El volumen v de la bomba de vacío, en el control titulado Volumen bomba.

• El volumen V del recipiente se ha fijado en la unidad.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa cómo disminuye la presión en el recipiente, mediante el manómetro de mercurio conectado al mismo.

En la parte inferior, se representa:

• En el eje vertical la presión p_n en atmósferas del recipiente al final de cada ciclo

• En el eje horizontal, el número de ciclo n.

Aspirando líquido por una larga paja

Una vez que hemos comprendido el funcionamiento de una bomba de vacío, vamos a conectarla a una paja de longitud L y sección uniforme S. La bomba de vacío tiene un volumen d·S que equivale a una longitud d de la paja.

En la situación inicial, se pone la paja en el depósito que supondremos grande, de modo que no cambie apreciablemente de nivel cuando el líquido asciende por la paja y aspiramos por el otro extremo con una máquina de hacer vacío.

Primer ciclo

En la situación inicial, el aire contenido en la paja de longitud L está a la presión atmosférica p₀.

Cuando el émbolo se desplaza x, el gas se expansiona, la presión disminuye, el líquido asciende una altura h por encima del nivel de líquido en el depósito. Sea p la presión del aire. Suponiendo una transformación isotérmica.

p((L-h)·S+Sx)=p₀LS

La columna de líquido de altura h está en equilibrio, bajo la acción de

• La fuerza que ejerce la presión p del aire contenido en la paja

• El peso de la columna de fluido, ρgSh

• La fuerza que ejerce la presión atmosférica p₀ en la base

p₀·S= ρgSh +p·S

Despejamos la presión p y la altura h de la columna de fluido

(p₀-ρgh)(L-h+x)= p₀·L
ρgh²-(p₀+ρg(L+x))h+p₀x=0

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

${\displaystyle h=\frac{p_0+\rho g(L+x)-\sqrt{{\left(p_0-\rho g(L+x\right))}^2+4\rho g{p}_{0}L}}{2\rho g}}$

La presión vale

p=p₀-ρgh

Cuando el émbolo completa el recorrido x=d, la altura h₁ de la columna de fluido y la presión p₁ del aire contenido en la paja.

${\displaystyle h_1=\frac{p_0+\rho g(L+d)-\sqrt{{\left(p_0-\rho g(L+d\right))}^2+4\rho g{p}_{0}L}}{2\rho g}}$

La presión final vale  

p₁=p₀-ρgh₁

Se cierra la válvula que comunica el tubo con la máquina de vacío. El émbolo se mueve a la izquierda y salen a la atmósfera un número Δn₁ moles de aire que ocupan un volumen S·d a la presión p₁.

p₁·S·d=Δn₁RT

Segundo ciclo

El émbolo está situado en el origen x=0. La altura de la columna de fluido es h₁. El aire, contenido en una porción L-h₁ de la paja, está a la presión p₁.

Cuando el émbolo se desplaza x el gas se expansiona, la presión disminuye, el líquido asciende una altura h por encima del nivel de líquido en el depósito. Sea p la presión del aire. Suponiendo una transformación isotérmica.

p((L-h)·S+Sx)=p₁(L-h₁)S

La columna de líquido de altura h está en equilibrio, bajo la acción de

• La fuerza que ejerce la presión p del aire contenido en la paja

• El peso de la columna de fluido, ρgSh

• La fuerza que ejerce la presión atmosférica p₀ en la base

p₀·S= ρgSh +p·S

Despejamos la presión p y la altura h de la columna de fluido

(p₀-ρgh)(L-h+x)=p₁(L-h₁)S
ρgh²-(p₀+ρg(L+x))h+p₀(L+x)- p₁(L-h₁)=0

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

${\displaystyle h=\frac{p_0+\rho g(L+x)-\sqrt{{\left(p_0-\rho g(L+x\right))}^2+4\rho g{p}_1(L-h_1)}}{2\rho g}}$

La presión vale

p=p₀-ρgh

Cuando el émbolo completa el recorrido x=d, la altura h₂ de la columna de fluido y la presión p₂ del aire contenido en la paja es.

${\displaystyle h_2=\frac{p_0+\rho g(L+d)-\sqrt{{\left(p_0-\rho g(L+d\right))}^2+4\rho g{p}_1(L-h_1)}}{2\rho g}}$

La presión final vale

p₂=p₀-ρgh₂

Ciclo n

Cuando el émbolo completa el recorrido x=d, la altura h_n de la columna de fluido y la presión p_n del aire contenido en la paja se calcula mediante el sistema de dos ecuaciones que describen:

Una transformación isotérmica: p_n((L-h_n)·S+Sd)=p_n-1(L-h_n-1)S
Una situación de equilibrio: p₀S=p_nS+ρgSh_n

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

${\displaystyle h_n=\frac{p_0+\rho g(L+d)-\sqrt{{\left(p_0-\rho g(L+d\right))}^2+4\rho g{p}_{n-1}(L-h_{n-1})}}{2\rho g}}$

p_n=p₀-ρgh_n 

Esta es una relación de recurrencia cuyos valores iniciales son:  p₀ que es la presión atmosférica y h₀=0 es la altura inicial de la columna de fluido.

La figura muestra la altura h_n de la columna fluido (agua) en función del número de ciclo n. Más abajo, se representa el cociente p_n/p₀ en función de n.

rho=1000; %densidad líquido
p0=101300; %presión atmosférica
L=13; %longitud de la paja
d=1; %bomba de vacío
h=0; %condiciones iniciales
p=p0;
n=0;
hold on
plot(n,h, 'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
for n=1:40
    h=(p0+rho*9.8*(L+d)-sqrt((p0-rho*9.8*(L+d))^2+4*rho*9.8*p*(L-h)))
/(2*rho*9.8);
    p=p0-rho*9.8*h;
    plot(n,h, 'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
end
hold off
xlabel('n')
ylabel('h')
title('Aspirando líquido por una paja')

Cuando el número de ciclos tiende a infinito, la presión p→0, la altura del fluido tiende a

${\displaystyle h_{máx}=\frac{p_0}{\rho g}=\frac{101300.0}{1000·9.8}=10.34\text{m}}$

rho=1000; %densidad
p0=101300; %presión atmosférica
L=13; %longitud de la paja
d=1; %bomba de vacío
h=0; %condiciones iniciales
p=p0;
n=0;
hold on
plot(n,p/p0, 'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
for n=1:40
    h=(p0+rho*9.8*(L+d)-sqrt((p0-rho*9.8*(L+d))^2+4*rho*9.8*p*(L-h)))
/(2*rho*9.8);
    p=p0-rho*9.8*h;
    plot(n,p/p0, 'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
end
hold off
xlabel('n')
ylabel('p/p_0')
title('Aspirando líquido por una paja')

Actividades

Se introduce

• La densidad del líquido ρ, en g/cm³ en el control titulado Densidad.

• La longitud de la paja, L=13 m

• El volumen de la bomba de vacío equivale al de una paja de longitud d=1.0 m

• La presión atmosférica, p₀=101300.0 Pa

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

La bomba de vacío comienza a extraer aire de la paja, observamos que el líquido asciende hasta que alcanza una altura límite, dada por la fórmula

${\displaystyle h_{máx}=\frac{p_0}{\rho g}}$

En la parte derecha, se representa

• En el eje vertical, la presión del aire en la paja p_n/p₀ después de cada ciclo del émbolo.

• En el eje horizontal, el número n de ciclo.

Conclusiones

Si el recipiente con refresco está situado al nivel del suelo y el muchacho vive en un piso a una altura superior a h_máx=p₀/(ρg), será incapaz de tomar el refresco si mantiene el extremo inferior de la paja sumergido en el líquido.

Si aspira por la paja, haciendo ascender el líquido una altura h y a continuación, eleva la paja, permitiendo que el aire entre por su extremo inferior, conseguirá que esa porción de líquido llegue a su boca. Puede repetir la operación tantas veces como lo desee hasta agotar el líquido contenido en el recipiente.

Referencias

Partenskii M. B. Two boys and a can of Coca-Cola. The Physics Teacher , Vol 40, February 2002, pp. 29

La primera figura de esta página ha sido dibujada por Vitaly Krichevsky y enviada al autor por Michael Partenskii