Viscosidad de un fluido.

Vamos a describir el movimiento vertical de una esfera de masa m y de radio R, en el seno de un fluido viscoso, en régimen laminar.

La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo está completamente sumergido en el seno de un fluido) y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene en régimen laminar).

El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el producto de la densidad del material ρe por el volumen de la esfera de radio R.

mg= ρ e 4 3 π R 3 g

De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido ρf, por el volumen del cuerpo sumergido y por la aceleración de la gravedad.

E= ρ f 4 3 π R 3 g

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad y su expresión se denomina ley de Stokes

Fr=6πRηv

donde η es la viscosidad del fluido.

La ecuación del movimiento será, por tanto,

ma=mg-E-Fr

La velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.

mg-E=Fr

Despejamos la velocidad límite vl

v l = 2g( ρ e ρ f ) R 2 9η

La ecuación del movimiento es

( ρ e 4 3 π R 3 ) dv dt = ρ e 4 3 π R 3 g ρ f 4 3 π R 3 g6πRηv dv dt =GαvG=( 1 ρ f ρ e )gα= 9η 2 ρ e R 2

Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en función del tiempo, sabiendo que en el instante t=0, la velocidad v=0

0 v dv Gαv = 0 t dt v= G α ( 1exp(αt) )

La velocidad límite se obtiene vl=G/α

Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad límite vl después de un tiempo teóricamente infinito. Si representamos v en función del tiempo t la gráfica tiene una asíntota horizontal en v=vl. Véase las dos figuras más abajo

Integramos la expresión de la velocidad en función del tiempo para obtener la posición x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen x=0, en el instante inicial t=0.

x= 0 t v·dt = G α ( t+ 1 α exp(αt) 1 α )

Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo, vemos que al cabo de un cierto tiempo, el desplazamiento x del móvil será proporcional al tiempo t.

>> v=dsolve('Dv=G-a*v', 'v(0)=0')
v =(G - G*exp(-a*t))/a
>> x=int(v,0,t)
x =(G*(exp(-a*t) + a*t - 1))/a^2

Representamos la posición x y velocidad v en función del tiempo

rho_f=1000; %densidad agua
visco=0.00105; %viscosidad
rho_e=2700; %densidad del aluminio
R=1.9e-3; %radio de la esfera 

G=(1-rho_f/rho_e)*9.8;
alfa=9*visco/(2*rho_e*R^2);

tf=-log(0.0001)/alfa; %tiempo hasta que v es casi constante
v=@(t) G*(1-exp(-alfa*t))/alfa;
x=@(t) G*(t+exp(-alfa*t)/alfa-1/alfa)/alfa;

subplot(2,1,1)
fplot(v,[0 tf]);
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')
title('Movimiento vertical en un fluido viscoso')

subplot(2,1,2)
fplot(x,[0 tf]);
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')

Midiendo la velocidad límite constante, despejamos la viscosidad del fluido, tal como se describe en la experiencia al final de esta página

Sin embargo, no siempre estamos seguros que ha transcurrido suficiente tiempo, para alcanzar la velocidad límite.

Alternativamente, medimos el desplazamiento x y el tiempo t que tarda en desplazarse una esfera en el fluido viscoso, resolvemos la ecuación trascendente para calcular α y obtener el valor de la viscosidad η

αx G + 1 α =t+ 1 α exp(αt) G=( 1 ρ f ρ e )gα= 9η 2 ρ e R 2

Ejemplo

El fluido es agua de densidad ρf=1000 kg/m3. La esfera de radio R=1.9·10-3 m es de aluminio ρe=2700 kg/m3. La esfera se desplaza x=88.7 m en t=9 s. Calcular la viscosidad

rho_f=1000; %densidad del agua
rho_e=2700; %densidad del aluminio
R=0.0019; %radio de la bola
x=88.7; %desplazamiento
t=9; %tiempo
G=(1-rho_f/rho_e)*9.8;

f=@(alfa) alfa*x/G+1/alfa-t-exp(-alfa*t)/alfa;
raiz=fzero(f,1);
visco=2*rho_e*R^2*raiz/9
visco =    0.0010

Actividades

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Material de la esfera Densidad (g/cm3)
Hierro 7.88
Aluminio 2.70
Cobre 8.93
Plomo 11.35
Volframio 19.34

 

Fluido Densidad (g/cm3) Viscosidad (kg/m·s)
Agua 1.0 0.00105
Glicerina 1.26 1.3923
Benceno 0.88 0.000673
Aceite 0.88 0.391

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975.

El círculo de color rojo representa la esfera que cae en el seno de un fluido viscoso. Al lado se representa las fuerzas sobre la esfera.

Cuando ambas flechas son aproximadamente iguales, la velocidad de la esfera es constante e igual a la velocidad límite.

Ejemplo:

En un tubo vertical lleno de aceite de automóvil dejamos caer perdigones de plomo. El diámetro del tubo es mucho mayor que el diámetro del perdigón. Los datos son

Se alcanza el 99.5% de la velocidad límite constante en el instante t tal que

v v l =0.995=1exp( kt m )

Donde k=6π=0.014 kg/s, y la masa de la esfera es m=ρe4/3πR3=3.58·10-4 kg

Despejamos el tiempo t=0.13 s

La esfera se habrá desplazado en este tiempo x=0.023 m

Si dejamos caer la bolita desde la superficie del aceite, podemos comenzar a tomar medidas con seguridad 3 centímetros por debajo de dicha superficie.

En este ejemplo, se ha supuesto que el fluido se mantiene en régimen laminar cuando se mueve la esfera en su seno. Veremos más adelante, que la fórmula de Stokes tiene un rango de validez que se expresa en términos del denominado número de Reynolds.


Práctica de laboratorio

En el laboratorio se realiza una experiencia de medida de la viscosidad de un fluido, que es muy ilustrativa para los estudiantes de un curso introductorio de Física.

Se deja caer una bolita en el interior de un tubo que contiene un fluido viscoso. Se mide el tiempo que tarda la bolita en recorrer la distancia entre dos marcas hechas en el tubo. Cuando pasa por la primera marca se pone en marcha el cronómetro y cuando pasa por la segunda se para

Supondremos que la bolita ha alcanzado la velocidad límite constante cuando pasa por la marca superior, momento en el que se empieza a contar el tiempo. El valor de dicha velocidad se obtiene dividiendo el desplazamiento x entre el tiempo en el que tarda el móvil en desplazarse t.

v l = x t

Como vamos a deducir más adelante, la expresión de la velocidad límite se obtiene cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.

v l = 2g( ρ e ρ f ) R 2 9η

Ejemplo:

Densidad del fluido 0.88 g/cm3 = 880 kg/m3
Densidad del plomo 11.35 g/cm3 = 11350 kg/m3

Empleamos una bolita de plomo de 3.7 mm de diámetro o R=1.85 mm y la dejamos caer en una columna de aceite. El tiempo que tarda la esfera en desplazarse x=50 cm es de t=4.57 s. Calculamos la viscosidad η.

v l = 2g( ρ e ρ f ) R 2 9η 0.5 4.57 = 2·9.8·(11350880)· 0.00185 2 9η η=0.71kg/(m·s)