Integrales elípticas

Periodo de un péndulo

El periodo P de un péndulo de amplitud θ0 es

P= 2 P 0 π 0 π/2 dφ 1 k 2 sin 2 φ k=sin θ 0 2

donde P0 es el periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud.

La integral elíptica completa de primera especie es

K(k)= 0 π/2 dφ 1 k 2 sin 2 φ

Una generalización de esta integral

K(k,θ)= 0 θ dφ 1 k 2 sin 2 φ 0θ π 2

se denomina integral elíptica incompleta de primera especie.

En la página titulada 'Caída del extremo libre de una cadena doblada' se utilizan las integrales elípticas imcompletas

Representemos el periodo P/P0 de un péndulo en función de la amplitud θ0 expresada en grados.

>> fi=(1:179)*pi/180;
>> P=ellipke(sin(fi/2).^2)*2/pi;
>> plot(fi*180/pi,P,'r')
>> xlabel('amplitud')
>> ylabel('P/P_0')
>> title('Periodo de un péndulo')
>> grid on

Longitud de una elipse

La ecuación de una elipse de semiejes a y b es

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1

o en forma paramétrica
x=a·cosφ
y=b·sinφ

Como podemos ver a la derecha de la figura, la longitud de un elemento diferencial ds del arco de la elipse es

ds= d x 2 +d y 2 = a 2 sin 2 φ+ b 2 cos 2 φ ·dφ=b 1 b 2 a 2 b 2 sin 2 φ ·dφ =b 1 k 2 sin 2 φ ·dφ(b>a)

La longitud de la elipse es

L=b 0 2π 1 k 2 sin 2 φ ·dφ=4 b 0 π/2 1 k 2 sin 2 φ ·dφ

La integral elíptica completa de segunda especie es

E(k)= 0 π/2 1 k 2 sin 2 φ ·dφ

Una generalización de esta integral es

E(k,θ)= 0 θ 1 k 2 sin 2 φ ·dφ

se denomina integral elíptica incompleta de segunda especie.

En la página titulada 'Caída del extremo libre de una cadena doblada' se utilizan las integrales elípticas imcompletas

Calculamos la longitud del arco de una elipse de semiejes a=1 y b=2.

>> b=2;a=1;
>> k2=(b^2-a^2)/b^2;
>> [K,E]=ellipke(k2);
>> 4*b*E
ans =    9.6884

Funciones elípticas de Jacobi

Las funciones elípticas de Jacobi sn u, cn u, dn u se definen del siguiente modo:

u= 0 θ dφ 1 k 2 sin 2 φ 0θ π 2 snu=sinθ cnu=cosθ dnu= 1 k 2 sin 2 θ

Representamos la función elíptica de Jacobi sn(x) para dos valores de k2: 0.1 y 0.9

x=linspace(0,10,200);
[sn,cn,dn]=ellipj(x,0.1);
hold on
plot(x,sn,'b')
[sn,cn,dn]=ellipj(x,0.9);
plot(x,sn,'r')
hold off
ylim([-1.05,1.05])
xlabel('x')
ylabel('sn(x)')
legend ('0.1','0.9')
title('Funciones elípticas de Jacobi')
grid on

Cuando u=K(k), integral elíptica completa de primera especie, sn(u) vale 1, cuando u=2K(k), sn(u)=0. Por lo que 2K(k) es medio periodo, tal como podemos comprobar en las gráficas de dicha función

>> K=ellipke(0.1);
>> ellipj(K,0.1)
ans =     1
>> ellipj(2*K,0.1)
ans =   1.2246e-16    
>> 2*K
ans =    3.2249
>> K=ellipke(0.9);
>> 2*K
ans =    5.1562
>> ellipj(2*K,0.9)
ans =   1.2246e-16

Ejemplos en el curso de Física

Funciones elípticas: ellipke, ellipticF, ellipj

Movimiento sobre una superficie semicircular cóncava

Caída de una varilla inclinada

Flexión de una viga en voladizo (II)

Pandeo de una barra delgada empotrada en un extremo

El péndulo simple (II)

Oscilador no lineal

Oscilaciones de una esfera que flota en el agua

Campo y potencial eléctrico de una distribución continua de carga

Campo magnético producido por una corriente circular en un punto fuera de su eje

Circuitos acoplados. Coeficiente de inducción mutua