El oscilador forzado

El estado estacionario

Expresamos la solución particular de la ecuación diferencial que describe el oscilador forzado, de la forma

x2=Acos(ωf t)+Bsinf t)

o de la forma equivalente

x= A 0 sin( ω f tδ ) x= A 0 cosδsin( ω f t ) A 0 sinδcos( ω f t )

Obtendremos los valores de A0 y δ a través de los parámetros A y B de la solución particular de la ecuación diferencial que ya hemos calculado.

A 0 sinδ= F 0 ( ω 0 2 ω f 2 ) m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 ) A 0 cosδ= 2γ ω f F 0 m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 ) A 0 = F 0 /m ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 tanδ= ω f 2 ω 0 2 2γ ω f

El cosδ es siempre positivo y el sinδ es positivo cuando ωf>ω0 y negativo cuando ωf<ω0. Es decir, el desfase δ varía entre -π/2 y +π/2.

En la figura (más abajo), se muestra la respuesta en amplitud de la oscilación forzada, en el estado estacionario.

Derivando la expresión de la amplitud A0 en función de la frecuencia de la fuerza oscilante, respecto de ωf, e igualando a cero, obtenemos la frecuencia ωf para la cual la amplitud en el estado estacionario presenta un máximo

d A 0 d ω f = F 0 m 2( ω f 2 ω 0 2 )(2 ω f )+8 γ 2 ω f 2 ( ( ω f 2 ω 0 2 ) 2 +4 ω f 2 γ 2 ) 3/2 =0 ω f = ω 0 2 2 γ 2

La característica esencial del estado estacionario, es que la velocidad de la partícula

v= dx dt = A 0 ω f cos( ω f tδ)

está en fase δ=0 con la fuerza oscilante cuando la frecuencia de la fuerza oscilante ωf es igual a la frecuencia propia del oscilador ω0.

Expresamos la amplitud A0 y la fase δ en términos de los cocientes r=ωf/ω0 y ξ=γ/ω0.

A 0 = F 0 /m ω 0 2 1 ( r 2 1 ) 2 +4 r 2 ξ 2 tanδ= r 2 1 2rξ

Representamos la amplitud en función de r=ω/ω0 para varios valores de la constante de amortiguamiento ξ

hold on
for x=[0.1 0.3 0.4 0.5 1 1.5 2]
    f=@(r) 1./sqrt((r.^2-1).^2+4*r.^2*x^2);
    fplot(f,[0,3],'displayName',num2str(x))
end
hold off
ylim([0 3])
grid on
title('Amplitud en función de la frecuencia')
xlabel('\omega_f/\omega_0')
ylabel('A_0')
legend('-DynamicLegend','location','Northeast')

Representamos la fase δ en función de r=ω/ω0 para varios valores de la constante de amortiguamiento ξ

hold on
for x=[0.1 0.3 0.4 0.5 1 1.5 2] %amortiguamiento
    f=@(r) atan((r.^2-1)./(2*r*x));
    fplot(f,[0,3],'displayName',num2str(x))
end
hold off
set(gca,'YTick',-pi/2:pi/4:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi/2','-\pi/4','0','\pi/4','\pi/2'})
grid on
ylim([-pi/2,pi/2])
title('Desfase en función de la frecuencia')
xlabel('\omega_f/\omega_0')
ylabel('\delta')
legend('-DynamicLegend','location','Southeast')

Práctica de laboratorio

Con el dispositivo de PASCO, medimos el periodo P0=1.45 s y frecuencia f0=1/1.45 Hz, de las oscilaciones libres

Conectamos la fuerza oscilante, un motor de velocidad angular variable a un generador de corriente contínua, esperamos un tiempo hasta que decaiga el estado transitorio. Las medidas de la amplitud A y del periodo Pf de las oscilaciones en el estado estacionario, tomadas por una estudiante de primer curso del Grado en Ingeniería de Energías Renovables han sido las siguientes:

Pf (s) f/f0 A
4.2 0.34 0.60
2.7 0.54 0.67
2.5 0.58 0.78
1.8 0.81 1.42
1.5 0.97 4.38
1.4 1.03 3.87
1.3 1.12 1.53
1.2 1.21 1.17
1.1 1.32 0.77
0.9 1.61 0.37
0.8 1.81 0.23
x=[0.34,0.54,0.58,0.81,0.97,1.03,1.12,1.21,1.32,1.61,1.81];
y=[0.60,0.67,0.78,1.42,4.38,3.87,1.53,1.17,0.77,0.376,0.23];
plot(x,y,'-ro','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('f/f_0')
ylabel('A')
title('Oscilaciones forzadas')

Energía del oscilador forzado. Resonancia

Denotemos por valor medio de una función periódica f(t) de periodo P a

f(t) = 1 P 0 P f(t)dt

Calculemos el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante

P 1 = F 0 cos( ω f t)v

El valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Dicha interacción se describe en términos de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad λv.

P 2 = λvv

En el estado estacionario

x=A0·sin(ωf·t-δ)
v=ωf·A0·cos(ωf·t-δ)

Haciendo algunas operaciones, se obtiene la misma expresión para P1 y para P2.

P 1 = P 2 = F 0 2 γ ω f 2 /m ( ω f 2 ω 0 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2

Nota: para el cálculo con MATLAB utilizamos la expresión de x=A·cos(ωf·t)+B·sin(ωf·t) de la solución de la ecuación diferencial en vez de x=A0·sin(ωf·t-δ) del párrafo anterior.

>> syms F wf w0 g t;
>> A=F*(w0^2-wf^2)/((w0^2-wf^2)^2+4*wf^2*g^2);
>> B=2*g*wf*F/((w0^2-wf^2)^2+4*wf^2*g^2);
>> x=A*cos(wf*t)+B*sin(wf*t);
>> v=diff(x,t);
>> p=F*cos(wf*t)*v;
>> pot_1=int(p,t,0,P)/P %integramos respecto de t entre los límites 0 y P
pot_1 =(F^2*g*wf^2)/((w0^2 - wf^2)^2 + 4*g^2*wf^2)
>> f=2*g*v^2;
>> P=2*pi/wf; %periodo
>> pot_2=int(f,t,0,P)/P
pot_2 =(F^2*g*wf^2)/(w0^4 + wf^4 + wf^2*(4*g^2 - 2*w0^2))

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Manteniéndose la energía del oscilador forzado constante en valor medio.

Escribimos la expresión anterior de una forma más simple

P= F 0 2 4m γ 2 ( 1 1+ X 2 )X=tanδ= ω f 2 ω 0 2 2γ ω f

Cuando la frecuencia ωf de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia ω0 natural del oscilador la fuerza oscilante F0·cosf t) y la velocidad v del oscilador están en fase δ=0, el valor medio de la energía por unidad de tiempo P suministrada por la fuerza oscilante es máxima. Esta situación recibe el nombre de resonancia.

La representación de la potencia P en función de X tiene la forma de la curva acampanada de la figura. El máximo de la potencia P se obtiene para X=0, o bien, cuando la frecuencia ωf de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia ω0 natural del oscilador.

Vemos también que la función es simétrica, tiene el mismo valor para X positivos y X negativos, y que P tiende rápidamente a cero a medida que X se hace mayor o menor que cero, es decir, a medida que la frecuencia ωf de la fuerza oscilante se hace mayor o menor que la frecuencia ω0 propia del oscilador.

La anchura es otra característica importante de la curva. Se define como el intervalo de frecuencias de la fuerza oscilante para los cuales la potencia P es mayor que la mitad de la máxima. El intervalo de frecuencias ωf alrededor de la frecuencia ω0 propia del oscilador está comprendido entre X=-1 a X=+1, y vale aproximadamente 2γ.

En la figura, se representan dos curvas con la misma frecuencia de resonancia pero con disinta anchura.

El acelerómetro

Un acelerómetro consta de un sistema masa-muelle elástico con rozamiento proporcional a la velocidad, situado sobre un soporte que vibra con frecuencia angular ω, de la forma y(t)=y0sin(ωt) y por tanto, con aceleración

d 2 y d t 2 = ω 2 y 0 sin( ωt )

La aguja indicadora unida a la masa m, señala en la escala el desplazamiento relativo z(t)=x(t)-y(t).

d 2 x d t 2 = d 2 z d t 2 ω 2 y 0 sin( ωt )

En la parte derecha de la figura, hemos dibujado las fuerzas sobre la partícula de masa m. La ecuación del movimiento es

m d 2 x d t 2 =k(xy)λ( dx dt dy dt )

El muelle de constante k se deforma x-y. La velocidad relativa de la partícula es dx/dt-dy/dt por tanto, la fuerza de rozamiento es proporcional a esta velocidad

d 2 z d t 2 +2γ dz dt + ω 0 2 z= ω 2 y 0 sin( ωt )

que es similar a la ecuación diferencial de las oscilaciones forzadas. La solución particular es z=Asin(ωt)+Bcos(ωt), que es la que corresponde al estado estacionario.

Introducimos z e la ecuación diferencial y obtenemos el sistema de dos ecuaciones

{ ( ω 0 2 ω 2 )A2γωB= ω 2 y 0 ( ω 0 2 ω 2 )B+2γωA=0 A= ( ω 0 2 ω 2 )( ω 2 y 0 ) ( ω 0 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 ω 2 B= 2γω( ω 0 2 ω 2 ) ( ω 0 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 ω 2

Calculamos la amplitud z0 y la fase δ de la expresión equivalente, z=z0sin(ωt-δ)

z 0 cosδ=A z 0 sinδ=B } z 0 = ω 2 y 0 ( ω 0 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 ω 2 tanδ= 2γω ω 0 2 ω 2

Llamando r=ω/ω0 y ξ=γ/ω0

z 0 = r 2 y 0 ( 1 r 2 ) 2 +4 ξ 2 r 2 tanδ= 2ξr 1 r 2

Representamos la amplitud z0/y0 en función de r para varios valores de la constante de amortiguamiento ξ

hold on
for x=[0,0.3,0.5,0.7,1]
    z=@(r) (r.^2)./sqrt((1-r.^2).^2+4*x^2*r.^2);
    fplot(z,[0,5],'displayName',num2str(x))
end
hold off
grid on
ylim([0,3])
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
xlabel('r')
ylabel('z_0/y_0')
title('Amplitud')

Como podemos apreciar, la amplitud z0/y0≈1 para r grande. Midiendo z0 sabemos y0 con un cierto margen de error

Representamos la fase δ para varios valores de la constante de amortiguamiento ξ

hold on
r=linspace(0,5,100);
for x=[0.3,0.5,0.7,1]
    phi=atan(2*x*r./(1-r.^2));
    phi=(phi<0)*pi+phi;
    plot(r,phi,'displayName',num2str(x))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','southeast')
set(gca,'YTick',0:pi/4:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/4','\pi/2','3\pi/4','\pi'})
xlabel('r')
ylabel('\delta')
title('Fase')