Dinamika

Talkak

Tanke higikor batek
tiro egiten du

Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak

Pendulu biren
arteko talkak

Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)

Aurrez aurreko
  talka elastiko bi

Etengabeko talka
elastikoak 
karril batean

Aurrez-aurreko
talka bertikalak

Iraupen luzeko 
talka inelastikoa

Pendulu balistikoa

Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa

Talka inelastikoa
malguki baten
gainean

Bala baten
abiadura neurtzea 

Bi dimentsiotako
talkak

Penduluen segida

Talka elastikoa hirugarren partikularekin

Abiadura-transferentzia maximoa

Energiaren balantzea

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun irudiak erakusten duen partikula-multzoa. Lehen partikula batek m₁ masa du eta u₁ abiadura. Bigarrenak m₂ masa du eta hasieran geldi dago. Ondoren, bigarren partikula horrek hirugarren baten kontra talka egin dezake. Hirugarrena ere (m₃) hasieran geldi dago.

Har ditzagun finkotzat lehen eta hirugarren partikulen masak, alegia, m₁ eta m₃. Kalkula dezagun zein izan behar den bigarren partikularen masa (m₂), hirugarren partikularen abiadura (v₃) maximoa izan dadin. Bigarren partikulak bitartekari lana egiten du, energia transferitzeko, lehenengo partikularen eta hirugarrenaren artean. Transferentzia hori maximoa izatea lortzeko m₂-ren masa aztertuko dugu.

Talka elastikoa lehen bi partikulen artean

Aurreko orri batean "aurrez-aurreko talkak" aztertzen dira partikula biren artean, eta kasu berezi gisa talka elastikoak aipatzen dira. Honako kasu honetan, lehen partikulak daraman abiadura u₁ da eta bigarrena hasieran geldi dago: u₂=0.

1        Momentu linealaren kontserbazio printzipioa:

m₁u₁ =m₁v₁+m₂v₂

2        Talka elastikoa bada, energia zinetikoa kontserbatzen da:

Bi ekuazioko sistema hori ebatz daiteke ezezagun bi baino ez dituelako, izan ere, talkaren ondorengo bi abiadurak: v₁ eta v₂

Bigarren partikulak atzeman dezakeen abiadura maximoa 2u₁ da, eta hori lortzen da, bigarren partikularen masa oso txikia bada lehenengoarekin konparatuta (m₂« m₁). Emaitza hori hobeto ikusten da v₂ berridazten bada masen erlazioaren menpe, alegia, x=m₂/m₁-ren menpe:

Bestalde, m₁=m₂ bada, lehen partikularen abiadura talkaren ondoren nulua da, v₁=0. Kasu horretan, lehen partikula gelditu eta bigarrenak hartzen du bere abiadura osorik (eta energia) v₂=u₁. Baina hori ez da bigarren partikulak atzeman dezaken abiadura maximoa talkaren eraginez.

Talka elastikoa hirugarren partikularekin

Azter dezagun orain bigarren eta hirugarren partikulen arteko talka. Talkaren aurretik, bigarrenak m₂ masa du eta u₂ abiadura eta hirugarrenak m₃ masa eta geldi dago:

Izan ere, bigarren partikulak duen hasierako abiadura (u₂), lehen talkaren ondorioz atzemandako abiadura bera da (v₂):

1        Momentu linealaren kontserbazioa:

m₂u₂ =m₂v₂+m₃v₃

2        Talka elastikoa denez, energia zinetikoa ere kontserbatzen da:

Bi ekuaziodun sistema hori ebatz daiteke ezezagun bi baino ez dituelako, hain zuzen talkaren ondorengo bi abiadurak: v₂ eta v₃.

Abiadura-transferentzia maximoa

Finkatzen baditugu m₁ eta m₃, kalkula dezagun zein izan behar den bigarren partikularen masa (m₂), hirugarren partikularen abiadura (v₃) maximoa izan dadin. Kalkula dezagun v₃-ren deribatua m₂-rekiko eta deribatua nulua izan behar dela inposa dezagun. Zenbait kalkulu burutu ondoren, hona hemen emaitza:

Orain egiaztatu behar da maximoa dela eta ez minimoa. Kalkulatzen da v₃-ren bigarren deribatua m₂-rekiko eta egiaztatzen da bigarren deribatua negatiboa dela:

Beraz, hirugarren partikularen abiaduraren adierazpenean (v₃) ordezka daiteke maximoaren baldintzak emandako m₂ masa m₁ eta m₃-ren menpe:

Emaitza hori hobeto ikusteko, berridatz dezagun masen erlazioaren menpe, alegia, x=m₃/m₁-ren menpe:

Hortaz, x-k zerora jotzen duenean, alegia m₃ masa oso txikia denean m₁ masarekin konparatuta (m₃« m₁), orduan hirugarren partikularen abiadura (v₃) lehen partikularen hasierako abiadura (u₁) baino lau bider handiagoa izan daiteke, bigarren partikularen masak balio konkretu bat badu.

Beraz, ikertu dugu zein izan behar den bigarren partikularen masa (m₂) hirugarren partikularen abiadura (v₃) maximoa izan dadin, eta gainera abiadura hori ere kalkulatu egin dugu lehen eta hirugarren partikulen masen menpe. Horretarako talka elastiko bi planteatu ditugu elkarren segidan, alegia, momentu lineala eta energia zinetikoa kontserbatzen direla.

Energiaren balantzea

Hona hemen lehen partikularen hasierako energia:

Lehen talkaren ondoren, energia zinetikoa bananduta geratzen da: lehen partikulak F₁ eta bigarrenak E₂; Orduan: E₁=F₁+E₂

Era berean, bigarren talkaren ondoren, bigarren partikularen energia zinetikoa bananduta gelditzen da bigarren eta hirugarren partikulen artean: E₂=F₂+E₃

Bigarren talkaren ondoren, energia zinetikoak hiru partikulen artean bananduta geratzen dira:  E₁=F₁+ F₂+ E₃,

Saiakuntza

• Hirugarren partikularen masa finkotzat hartzen da: m₃=1 kg.
• Lehen partikularen hasierako abiadura ere finkotzat hartu da: u₁=1 m/s

Aukeran idatz daitezke:

• Lehen partikularen masa, m₁, lehenengo masa laukian idatziz.
• Bitarteko masa, m₂, desplazamendu barrari saguaz eragiten edo laukian idazten.

Hasi botoia sakatu.

Lehen partikula mugitzen ikusten da, bigarrenarekin talka egiten du eta ondoren bigarrenak eta hirugarrenak talka egiten dute.

Leihatilaren goiko aldean idatziz erakusten dira hiru partikulen masak eta abiadurak, talkaren aurretik eta ondoren. Paper batean idatz daitezke, lehen eta bitarteko partikulen masak (m₁ eta m₂) eta hirugarren partikularen abiadura (v₃). Egiazta daiteke, hirugarren partikularen abiadura honakoa dela:

Zenbait aldiz esperimentua errepikatu lehen partikularen masa finko mantenduz (m₁) eta bitarteko masa soilik aldatuz (m₂). Paperean idatz daiteke hirugarren partikularen abiadura (v₃). Egiazta daiteke hirugarren partikularen abiadura maximoa dela, bigarren partikularen masak honako baldintza betetzen duenean:

1 adibidea

Demagun esaterako:

m₁=25 kg
m₃=1 kg

Honako hiru esperimentuak burutu eta paperean bete daitezke:

Hirugarren partikulak abiadura maximoa du, v₃ , bigarrenak honako masa duenean: m₂=5. Halaxe esaten du maximoaren baldintzak:

2 adibidea:

Demagun esaterako:

m₁=10000 kg
m₂=100 kg
m₃=1 kg

Bitarteko partikularen masak (m₂) maximoaren baldintza betetzen du, eta gainera lehen partikularen masa hirugarrenarena baino askoz handiagoa da (m₃« m₁). Hortaz, baldintza horietan, hirugarren partikularen amaierako abiadura (v₃) ia 4 da, atzeman dezakeen handiena.

3 adibidea:

Leihatilaren goiko aldean barra horizontal batek energia zinetikoa erakusten du; lehen talkaren aurretik osorik urdina da, izan ere, lehen partikularen kolorekoa. Lehen talkaren ondoren bi koloretakoa da: zati urdina lehen partikulari dagokion energia zinetikoa eta gorria bigarrenari dagokiona. Azkenean, bigarren talkaren ondoren, hiru zati ditu: urdina, gorria, eta grisa hiru partikulen energia zinetikoak adierazteko, hurrenez hurren.

Demagun esaterako:

m₁=25 kg
m₂=5 kg
m₃=1 kg

Lehen partikularen hasierako abiadura finkoa da: u₁=1.0, beraz, energia zinetikoa hasieran E₁=12.5 J

• Lehen talkaren ondoren:

Lehen partikularen abiadura: v₁=0.667 m/s, eta energia zinetikoa F₁=5.556 J

Bigarren partikulak honako abiadura: v₂=1.667 m/s, eta energia zinetikoa E₂=6.944 J

Energia zinetiko bien batura, hain zuzen, hasierako energia zinetikoa da: E₁=F₁+E₂

Bigarren talkaren aurretik, bitarteko partikulak honako abiadura du: u₂=1.667 m/s, eta energia zinetikoa E₂=6.944 J

• Bigarren talkaren ondoren:

Bigarren partikularen abiadura: v₂=1.111 m/s, eta energia zinetikoa F₂=3.086 J

Hirugarren partikularen abiadura: v₃=2.778 m/s, eta energia zinetikoa E₃=3.858 J

Egiaztatzen da, E₂=F₂+E₃, eta E₁=F₁+ F₂+E₃