Dinamika

Talkak

Tanke higikor batek
tiro egiten du

Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak

Pendulu biren
arteko talkak

Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)

Aurrez-aurreko
talka elastiko bi

Etengabeko talka
elastikoak
karril batean

Aurrez-aurreko
talka bertikalak

Iraupen luzeko
talka inelastikoa

Pendulu balistikoa

Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa

Talka inelastikoa
malguki baten gainean

Bala baten
abiadura neurtzea 

Bi dimentsiotako
talkak

Penduluen segida

Iraupen luzeko talka inelastikoa

Konklusioak

Saiakuntza

Erreferentzia

Lehenagoko orri batean, (Iraupen luzeko talka inelastikoa) eredu sinple batez aztertu da talka inelastiko batek irauten duen bitartean bala baten eta bloke baten artean gertatzen den interakzioa. Hasieran balak abiadura du eta blokea ordea, geldi dago. Talkak irauten duen bitartean balaren abiadura gutxitu egiten da eta blokearena handitu, harik eta biek abiadura bera atzematen duten arte. Une horretan talka bukatu egiten da.

Bi gorputz horiek osatzen duten multzoa isolatua da (bala eta blokea) eta euren arteko barne-indar bakarra konstantetzat hartu da. Barne indar bakar horrek bala geldiarazten du eta blokea azeleratu.

Beste orri batean ere (Pendulu balistikoa) bala baten eta bloke baten arteko talka aztertzen da, eta momentu linealaren kontserbazioa aplikatzen da justu talkaren ondorengo abiadura kalkulatzeko.

Orri honetan berriz ere bala eta blokea aztertuko dira, pendulu balistikoa osatzen, baina oraingoan bien arteko talka ez da instantaneotzat joko, eta ondorio gisa ikusiko da, talkak irauten duen bitartean kanpo indarra ez bada nulua momentu lineala ez dela kontserbatzen.

Iraupenik gabeko talka inelastikoa

Talkak iraupenik ez badu blokea ez da ezertxo ere desplazatu bere hasierako posiziotik, alegia talka bukatu, eta oraindik dago posizio bertikalean. Posizio horretan pisua, (m+M)g, eta sokaren T  tentsioa elkarren aurkakoak dira eta berdinak, beraz, kanpo indar erresultantea nulua da. Hortaz multzoa isolatua da eta momentu linealaren kontserbazioa aplika daiteke.

Talkaren aldiunea

Demagun blokearen masa M dela eta geldi dagoela. Bestalde balaren masa m da eta bere abiadura justu talkaren aurretik v₀. Multzoaren abiadura justu talkaren ondoren: (v_f)

mv₀=(m+M)v_f

Kalkula dezagun energia zinetikoaren aldaketa:

Talkaren ondoren

Bala-bloke multzoa soka batean eskegita dago, oraindik bertikalean, eta v_f  abiadura du. Ondoren gorantz igotzen da, sokan lotuta, eta altuera hartzen duen heinean abiadura gutxitzen zaio. t aldiunean θ angelua osatzen du bertikalarekiko:

Partikulak jasaten dituen indarrak deskonposa daitezke norabide erradial eta tangentzialean.

• Norabide erradialeko higidura-ekuazioa:

(m+M) a_n=T -(M+m)g·cosθ

hemen a_n azelerazioaren osagai normala da, a_n =v²/R, eta R sokaren luzera.

Talkaren ondorengo igoeran energiaren kontserbazioa aplikatuz, kalkula daiteke penduluaren v abiadura θ  angeluaren menpe:

Eta v lortu ondoren sokaren T tentsioa kalkula daiteke:

Penduluaren desbiazio maximoko angelua kalkulatzeko (θ_m<90º) energiaren kontserbazioaren ekuazioan v=0 ordezkatu behar da, eta honako emaitza lortzen da:

• Norabide tangentzialeko higidura-ekuazioa

(m+M) a_t= -(M+m)g·sinθ

hemen a_t azelerazioaren osagai tangentziala da, izan ere, a_t=αR.

Orduan penduluaren higiduraren ekuazio diferentziala

Eta hasierako baldintzak: t=0, θ=0, dθ/dt=v_f /R

Ekuazio diferentzial hori prozedura numerikoez ebatz daiteke eta soluzioa da  posizio angeluarra (θ) eta abiadura (R·dθ/dt) denboraren menpe.

Adibidea:

Aurreko orriko programa interaktiboan, alegia pendulu balistikoan, sar bitez honako datuak:

• Balaren abiadura, v₀=10 m/s

• Balaren masa, m=0.2 kg

• Blokearen masa, M=1.5 kg

• Penduluaren luzera R=0.5 m

Multzoaren abiadura justu talkaren ondoren:

0.2·10=(1.5+0.2)·v_f          v_f=1.18 m/s

Talkaren ondorengo igoeran penduluak atzematen duen desbiazio maximoa:

Iraupen luzeko talka inelastikoa

Berriro kontutan hartuko dugu sistema bera, alegia m masadun balak M masadun blokea jotzen duela, eta sokekin eskegita dagoela, baina blokeak L luzera du eta talkaren iraupena ez da nulua.

Bala horizontalki jaurtitzen da, v₀ abiaduraz, blokearen kontra, justu bere masa zentroaren altueran. Blokea jo eta bere barrura sartzen doa harik eta biek abiadura bera atzematen duten arte. Bala blokearen barrura sartzen doan heinean (denbora ez da nulua) blokearen masa-zentroak ibilbide zirkularra deskribatzen du R erradioaz.

Azter ditzagun multzoak jasaten dituen indar guztiak: balak eta blokeak elkarri egiten dizkiotenak barne-indarrak dira (urdinez) eta gainontzeko guztiak kanpo-indarrak (gorriz).

1. Balak  hiru indar jasaten ditu (ezkerreko irudia)

• Pisua, mg, planetak eragiten dion kanpo-indarra.

• Blokeak egiten dion marruskadura indarra (F) bere abiaduraren aurkako noranzkoan.

• Blokeak balari gorantz egiten dion indar normala (N), berarekin batera igotzea eragiten dio. Alegia blokearen erreferentzia sistematik bala horizontalki mugitzen da.

2. Blokeak bost indar jasaten ditu: (erdiko eta eskumako irudiak):

• Pisua, Mg, planetak eragiten dion kanpo-indarra, masa zentroan aplikatuta.

• Sokek eragiten dizkioten tentsioak (T₁ eta T₂) biak paraleloak dira eta noranzko berean, hortaz bere erresultanteaz ordezka daitezke: T=T₁+T₂  indar hori ere norabide eta noranzko berean, eta masa zentroan aplikatuta.

• Balak blokeari egiten dizkion indar biak: F eta N. Newton-en hirugarren legearen arabera blokeak balari egiten dizkion indarren berdinak dira eta justu aurkako noranzkoan.

Indar guztiak ezagutu ondoren, higiduraren ekuazioak idatz daitezke, balarentzat eta blokearentzat. Horretarako hartuko ditugun ardatzak eskumako irudian adierazten dira.

Balaren higidura

Bala eskumarantz mugitzen ari da X ardatzaren norabidean, baina F indarrak ezkerrerantz bultzatzen dio (F konstantetzat hartuko dugu).

v_x=v₀ -F·t/m
x= v₀t -½F·t²/m

Balaren abiaduraren Y osagaia blokearen abiaduraren Y osagaiaren berbera da, alegia v_y=V_y.

Blokearen higidura

Blokearen masa-zentroaren higiduraren ekuazioak X ardatzean eta Y ardatzean honelakoak dira:

T eta N indar ezezagunak eliminatzeko hiru ekuazio dauzkagu (azkeneko hirurak). Lehena eta hirugarrena batuz N eliminatzen da:

Eta beste bi horien artean T eliminatzen da:

Horixe da blokearen higidura-ekuazioa.

Baina guk lortu nahi duguna da, blokearen masa zentroaren θ desplazamendu angeluarra t denboraren menpe.

Irudiak erakusten duen bezala, blokearen masa zentroaren abiadura (V) ibilbide zirkularraren tangentea da, eta R erradioa du. Hona hemen abiaduraren osagai horizontal eta bertikalak, Vx eta Vy: Vx=V·cos θ Vy=V·sin θ

eta abiaduraren osagaien deribatuak denborarekiko:

Magnitude linealak eta angeluarrak erlazionatuta daude eta gainera V=R·dθ/dt

Berriro higiduraren ekuaziora bueltatzen bagara, masa zentroaren abiaduraren osagaien (V_x eta V_y) deribatuak ordezka daitezke θ-ren menpe eta  θ-ren denborarekiko deribatuen menpe. Zenbait eragiketa eta sinplifikazio egiten bigarren ordenako ekuazio diferentziala lortzen da:

Ekuazio hori numerikoki ebatz daiteke, F barne-indarra ezaguna bada, eta hona hasierako baldintzak: t=0, θ=0, dθ/dt=0.

Talkaren amaiera

Talka amaitzen da, blokearen masa zentroaren abiadura horizontala (V_x) eta balaren abiadura horizontala (v_x) berdinak direnean (osagai bertikalak beti berdintzat hartu ditugu, V_y=v_y). Aldiune horri t_c deitzen badiogu: V_x=V_c·cosθ_c  eta  v_x=v₀ -F·t_c/m , beraz:

V_c·cosθ_c=v₀ -F·t_c/m

Hemen, θ_c blokearen masa zentroaren posizio angeluarra da t_c aldiune horretan eta V_c blokearen masa-zentroaren abiadura aldiune horretan bertan.

Talkaren ondorengo higidura

Talka amaitzen denean, blokea eta bala itsatsita mugitzen dira, gorputz bakar bat bezala, (m+M) masarekin eta kanpo indarren eraginpean: alegia soken tentsioak eta pisuak. Masa zentroaren higidura ekuazioa lehen ataleko ekuazio bera da.

Eta hasierako baldintza hauekin (t=0, θ= θ_c, dθ/dt=V_c/R) numerikoki ebazten da.

Talka amaitzen denean, ezagutzen baditugu multzoaren Vc abiadura eta posizio angeluarra, θc, ez da beharrezkoa ekuazio diferentzial osoa numerikoki ebaztea penduluaren θm desplazamendu maximoa kalkulatzeko. Energiaren kontserbazioa erabiliz θm posizio hori kalkula daiteke, alegia pendulua noraino iristen den, bertan abiadura nulua duela jakinda.

Konklusioak

Bala eta blokearen arteko talka zehatz-mehatz aztertu da. Talkaren iraupena arbuiagarria bada, orduan momentu linealaren kontserbazio printzipioa aplika daiteke, kanpo indarrek egiten duten efektua ia nulua delako. Aldiz, talkaren iraupena ez bada arbuiagarria kanpo-indarrek denbora-tarte horretan momentu lineal totala zertxobait aldatzen dute. Horregatik ezin da momentu linealaren kontserbazio printzipioa aplikatu.

Suposatzeko modukoa da, zenbat eta laburragoa izan talkaren iraupena, hau da, zenbat eta handiagoa izan F barne-indarra, aipatutako deskripzio biak gero eta antzekoagoak izango direla. Limitean, F infiniturantz doanean, talka instantaneoa izango da, alegia, iraupenik gabekoa, eta orduan momentu linealaren kontserbazio-printzipioa betetzen da.

Orri honetako programa interaktiboak, balaren eta blokearen higidura-ekuazioak prozedura numerikoez ebazten ditu. Holako prozedurek, berez, ezaugarri bat dute: integrazio-urratsa zenbat eta luzeagoa hartu, orduan eta bizkorrago kalkulatzen da baina zehaztasunaren kaltetan. Are gehiago, F indarra zenbat eta handiagoa izan, orduan eta laburragoa izango da talkaren iraupena, eta beraz oso garrantzitsua da integrazio-urratsa laburra izatea emaitza fidagarriak izan daitezen.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Balaren masa, m , kg-tan dagokion laukian idatziz.

• Balaren abiadura, v₀ , m/s-tan, dagokion laukian idatziz.

• Balak eta blokeak elkarri egiten dioten F indarra, newton-etan, desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Blokearen masa finkotzat hartu da: M=1kg

• Blokearen luzera ere finkotzat hartu da: L=1 m.

• Blokea eskegitzen duten soken luzera ere finkotzat hartu da: R=1 m.

Hasi botoia sakatu.

Bala ezkerretik jaurtitzen da eta blokea geldi dago soketatik eskegita. Higidura behatzen da:

• Bala blokearen barruan sartzen doa.

• Blokeak balari egiten dion F barne-indarra eta balak blokeari, bere masa-zentroan aplikatuta.

Leihatilaren eskumako aldean honako datuak idatzita erakusten dira:

• Denbora, balak blokea jotzen duen aldiunetik hasita.

Azpian eta beltzez:

• Blokearen desplazamendu angeluarra, θ , alegia sokek bertikalarekin osatzen dutena.

• Blokearen masa-zentroaren abiadura: V

Azpirago eta gorriz:

• Balaren abiaduraren X osagaia: v_x= v₀ -F·t/m

• Blokearen abiaduraren X osagaia: V_x=V·cos θ

Behatzen denez, balaren abiaduraren X osagaia gutxituz doa, eta aldiz, blokearen abiaduraren X osagaia handituz. Gelditu/Jarraitu eta Pausoka botoiak erabiliz  talkak irauten duen tarte osoa azter daiteke, besteak beste talkaren amaiera atzemateko, balaren eta blokearen abiadura horizontalak (gorriz idatzitako biak) berdinak egiten diren aldiunea. Honako datuak apuntatzea komeni da:

• Iraupena: t_c

• Blokearen desbiazio angeluarra, θ_c (urdinez idatzita).

• Blokearen abiadura, V_c (urdinez idatzita).

Konpara daiteke lortutako V_c hori eta momentu linealaren kontserbazioa aplikatzen lortzen den v_f  abiadura (iraupenik gabeko talka)

Jarraitu botoia sakatuz, blokeak mugitzen segitzen du harik eta goreneko puntuan gelditzen den arte.

Tarte horretan bala eta blokea jadanik abiadura berberaz mugitzen dira (gorriz idatzitako abiadura biak).

Blokea eta bala punturik gorenera iristen direnean programa amaitu egiten da, V abiadura zero egiten da (urdinez idatzitakoa). Konpara bitez lortutako desplazamendu maximoak, iraupenik gabeko talkan eta iraupen luzeko talkan.

Adibidea:

Esate baterako:

• Balaren masa, m=0.4 kg

• Balaren abiadura, v₀=10 m/s

• Elkarren arteko barne-indarra, F=20 N

Hasi botoia sakatu.

Iraupen nuluko talka

Momentu linealaren kontserbazio printzipioa aplikatuz, kalkula daiteke bloke-bala multzoaren abiadura justu talkaren ondoren:

0.4·10=(1+0.4)·v_f       v_f=2.86 m/s

Ondoren, igoeran, energiaren kontserbazioa aplikatuz penduluaren desplazamendu angeluar maximoa kalkula daiteke:

Iraupen luzeko talka

Bala jaurtitzen da, blokea jotzen du eta ondoren beha bitez arretaz balaren eta blokearen abiaduren osagai horizontalak: v_x eta V_x (gorriz idatzitakoak). Bi abiadura horiek berdinak direnean talka amaitu da. Une horretan desagertzen dira F barne-indarra adierazten duten bektoreak.

• Talkaren iraupena:  t_c=0.147 s.

• Blokearen abiadura aldiune horretan: V_c=2.75 m/s,

• Sokek osatzen duten angelua: θ_c=11.92º.

Talka bukatzen den unetik  aurrera, t>t_c , bala eta blokea abiadura berdinarekin mugitzen dira.

Talkaren ondoren, energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, multzoaren θ_m desbiazio angeluar maximoa kalkula daiteke:

2 adibidea

• Balaren masa, m=0.4 kg

• Balaren abiadura, v₀=10 m/s

• Elkarren arteko barne-indarra, F=90 N

Hona hemen lortzen diren emaitzak:

• Talkaren iraupena laburragoa da: t_c=0.032 s.

• Blokearen desplazamendua tarte horretan txikiagoa da: θ_c=2.6º,

• Bala-bloke multzoaren abiadura, une horretan. V_c=2.85 m/s. Izan ere, emaitza hori eta momentu linealaren kontserbazioarekin lortzen dena oso antzekoak dira (2.86m/s).

• Talkaren ondoren, penduluak atzematen duen desplazamendu angeluar maximoa, θ_m=54.3º. Emaitza hau ere eta iraupen nuluko talkan lortutako desplazamendu maximoa oso antzekoak dira.