Dinamika

Talkak

Tanke higikor batek
tiro egiten du

Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak

Pendulu biren
arteko talkak

Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)

Aurrez-aurreko
talka elastiko bi

Etengabeko talka
elastikoak
karril batean

Aurrez-aurreko
talka bertikalak

Iraupen luzeko
talka inelastikoa

Pendulu balistikoa

Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa

Talka inelastikoa
malguki baten
gainean

Bala baten
abiadura neurtzea 

Bi dimentsiotako
talkak

Penduluen segida

Saiakuntza

Ibilbide zirkular eta parabolikoa

Bala bat horizontalki jaurtitzen da bloke baten kontra, baina blokea soka batez eskegita dago. Dispositibo horri pendulu balistiko deritzo, eta neurtzen bada pendulua zein angeluraino igotzen den, orduan balaren abiadura kalkula daiteke. Blokea masa puntualtzat hartuko dugu eta soka, zurrun eta masa gabekotzat.

Solido zurrunaren ikasgaian pendulu balistikoaren bigarren bertsio bat aztertuko dugu, eta bertan soka ordezkatzen da hagatxo zurrun batez eta blokea zilindro batez .

Oinarri fisikoak

Justu talkaren ondoren bala eta blokea itsatsita geratzen dira eta euren abiadura kalkula daiteke (v_B), momentu linealaren kontserbazioa aplikatzen:

Blokearen eta balaren masak M eta m dira hurrenez hurren eta balaren abiadura talkaren aurretik u. Orduan momentu linealaren kontserbazioaren arabera:

mu=(m+M)v_B

Talkaren ondoren, multzoa soka batetik eskegita dagoenez, multzoaren energia zinetikoaren arabera hiru kasu ezberdin gerta daitezke: (ikus bedi pista kiribila):

1. Pendulua 90º-ko desbiazioraino iritsi aurretik gelditzen bada.

Orduan energiaren kontserbazioa honela idazten da:

Neurtzen bada desbiazio maximoko q  angelua, energiaren kontserbaziotik v_B kalkula daiteke, eta ondoren momentu linealaren  kontserbaziotik kalkula daiteke balaren u abiadura talkaren aurretik:

2. Pendulua puntu altueneraino soberan iristen bada:

Horretarako, goreneko posizioan dagoenean, abiadurak balio minimo bat gainditu behar du. Eta higidura zirkularraren dinamikaren ekuazioetatik:

Ekuazio horretan T  sokaren tentsioa da, eta gainditu beharreko baldintza minimoa: T=0. Hortik lortzen da C puntuko abiadura minimoa:

   eta orduan B puntuan

3. Pendulua 90º eta 180º arteko angeluraino iristen bada.

Higidura zirkularraren dinamika eta energiaren kontserbazioa aplikatuz:

Hona hemen ibilbide parabolikoaren hasierako abiaduraren osagaiak eta hasierako posizioa: v0x=v·cos(180-θ) v0y=v·sin(180-θ) Ibilbide zirkularraren zentroa hartu da ardatz koordenatuen jatorritzat. Penduluaren soka berriro teinkatuko da (tentsioa hartuko du) honako baldintza betetzen denean: x2+y2=R2

Kasu honetako konbinazioa oso interesgarria da zinematikaren ikuspegitik, alegia ibilbide zirkularra eta parabolikoa nola lotzen diren, eta zehatzago aztertzen da aurreragoko atal batean: Ibilbide zirkular eta parabolikoa. Ikus bedi ere oso antzeko kasu bat, partikula nola mugitzen den pista kiribilean, baina gatozen berriro pendulu balistikora.

1 adibidea

• Balaren abiadura, u=10 m/s

• Balaren masa, m=0.2 kg

• Blokearen masa, M=1.5 kg

• Penduluaren luzera R=0.5 m

Bala eta blokea itsatsita geratzen dira eta justu talkaren ondoren v_B abiadura dute:

m·u=(m+M)v_B,   v_B=1.18 m/s

Ondoren, energiaren kontserbazioa aplikatuz, kalkulatzen da pendulua zein angeluraino iristen den:

Eta v_B ezaguna denez, h=0.07 m ematen du eta angelua kalkulatzen da: θ=30.8º

2 adibidea

Zein izan behar da balaren abiadura minimoa (u) penduluak zirkunferentziaren goreneko punturaino iritsi eta zirkulua osorik burutu dezan?

• Balaren masa, m=0.2 kg

• Blokearen masa, M=1.5 kg

• Penduluaren luzera, R=0.5 m

Lehenik, kalkula dezagun zein abiadura minimo behar duen goreneko puntuan (v_C)  sokak tentsiorik izan dezan. Tentsio minimoa zero da eta higidura zirkularraren ekuazioa honela idatz daiteke:

Ondoren, energiaren kontserbazioa aplikatuz, partikularen abiadura kalkulatzen da bere punturik baxuenean, alegia B.

Eta azkenik, momentu linealaren kontserbazioa aplikatuz, balaren u abiadura kalkula daiteke talkaren aurretik.

m·u=(M+m)v_B,   u=42.07 m/s

3 adibidea

• Balaren abiadura, u=35 m/s

• Balaren masa, m=0.2 kg

• Blokearen masa, M=1.5 kg

• Penduluaren luzera R=0.5 m

Momentu linealaren kontserbazioarekin kalkulatzen da balak eta blokeak duten v_B abiadura justu talkaren ondoren:

m·u=(m+M)v_B,   v_B=4.12 m/s

Energiaren kontserbazioarekin  penduluaren desbiazio maximoa:

Eta v_B ezaguna denez, h altuera kalkula daiteke: h=0.87 m. Baina, emaitza hori penduluaren luzera baino handiagoa da (R=0.5m), beraz 90º baino gehiago igotzen da.

Sokak tentsioa galtzen duen unean, T=0. Honakoa idatz daiteke:

Ekuazio-sistema horretan kalkula daiteke higidura zirkularra zein angelutan bukatzen den: θ=119.1º eta partikularen abiadura une horretan: v=1.54 m/s

Ondoren, partikulak ibilbide parabolikoa jarraituko du:

v_0x=v·cos(180-θ)=0.75 m/s
v_0y=v·sin(180-θ)=1.35 m/s

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Balaren masa (kg-tan) dagokion laukian idatziz.
• Balaren abiadura (m/s-tan), dagokion laukian idatziz.
• Blokearen masa (kg-tan), dagokion laukian idatziz.
• Penduluaren sokaren luzera finkotzat hartu da: 0.5 m

Hasi botoia sakatu.

Ezkerretik bala abiatzen da eta blokearen kontra talka egiten du. Ondoren, penduluak, sokatik lotuta, bere higidura jarraitzen du. Talkaren ondoren, leihatilaren ezkerraldean, zirkulu batek multzoaren energia adierazten du.

Blokearen masa aldatzen joan, harik eta penduluaren lehen kasua gertatu arte (pendulua ez dela 90º-ko desbiazio maximora iristen), eta baldintza horietan neur bedi penduluaren desbiazio maximoa.

Egin bedi paperean kalkulua, datu guztiak finkatu ondoren (balaren masa, blokearen masa eta balaren abiadura) eta egiazta bedi lortutako emaitza programak ematen duenarekin.

Ibilbide zirkular eta parabolikoa

1. Partikulak zirkulu osoa jarraitzea lortzen du, bere abiadurak punturik baxuenean minimo bat gainditzen badu:

2. Partikula atzeraka bueltatzen da beste minimo hau gainditzen ez badu:

3. Orduan, partikularen v₀ abiadura aurreko bi muga horien tartekoa bada, 90º gaindituko ditu baina ez da goreneko punturaino iritsiko. Beraz, lehenik partikulak ibilbide zirkularra jarraituko du sokaz mugatuta, eta ondoren ibilbide parabolikoa sokaren eraginik gabe. Lehen zatian partikulak R distantzia konstantea du zirkuluaren zentroraino eta ondoren, ibilbide parabolikoan, R baino txikiagoa.

Ibilbide konplexu hori aztertzeko ardatz koordenatuak pista zirkularraren zentroan kokatuko ditugu. Posizio-angeluak X ardatzarekiko neurtuko ditugu eta energia potentzialaren jatorria ere X ardatzean bertan kokatuko dugu.

Sokaren T  tentsioa bukatzen denean partikulak ibilbide zirkularra utzi eta parabolikoan hasten da: hori gertatzen den posizio angeluarra θ₁. Une horretan higidura zirkularraren dinamika eta energiaren kontserbazioa honela idatz daitezke:

Ekuazio bi horiek konbinatuz θ₁ angelua kalkula daiteke:

Eta soka nasaitzen den unetik aurrera (dei diezaiogun P₁ posizioa) partikulak higidura parabolikoa jarraitzen du. Hona hemen bere abiadura eta posizioa:

Airean egindako ibilbidearen ondoren, berriz ere sokak tentsioa berreskuratuko du, izan ere, parabolak R erradiodun ibilbide zirkularra ebakitzen duen P₂ puntuan. Ebakidura-puntua kalkulatzeko zirkuluaren ekuazioa idatzi behar da (pistak R erradioa du eta zentroa koordenatuen jatorrian):

x²+y²=R²

Higidura zirkularraren dinamika kontutan hartuz:

eta sinplifikazioak eginez, ondoko adierazpenera iristen gara:

Hona hemen partikulak hegan ematen duen denbora soka berriro teinkatzen den arte:

Eta hona hemen teinkadaren posizioa (P₂) eta partikularen abiadura:

Teinkadaren eraginez, suposatuko dugu partikularen abiaduraren osagai normala ezabatu egiten dela eta partikulari osagai tangentziala baino ez zaiola geratzen. Ondoren osagai tangentzial horrekin abiatzen da berriro ibilbide zirkularrean.

Abiaduraren osagai normala kalkulatzeko biderketa eskalar hau egin daiteke: r₂·v₂

P₂ posizio bektorearen modulua, r₂-rena alegia, izan ere, zirkunferentziaren R erradioa da:

Eta beraz, partikularen energia teinkadaren ondoren eta P₂ posizioan:

Teinkadaren ondoren, partikularen energia txikiagoa da, parabola hasi den tokiko energia baino.

Ondorengo irudiak zenbait ibilbide paraboliko posible erakusten ditu. Ezkerraldeko irudian parabolak ezkerraldean edo eskumaldean geratzen dira osorik.

Partikulak energia galtzen du soka teinkatzen den bakoitzean (abiaduraren osagai erradiala zurgatzen diolako), eta energia galtzen doan heinean parabolak txikiagoak dira. Eskumako irudian bost parabola kontsekutibo erakusten dira: partikulak parabola horiek bata bestearen ondoren jarraitzen ditu eta bosgarrenean jadanik ez zaio energia nahikorik geratzen berriro 90°-raino igotzeko. Azkenean oszilazio sinpleak jarraituko ditu sokatik eskegita.