Dinamika

Talkak

Tanke higikor
batek tiro egiten du

Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak

Pendulu biren 
arteko talkak

Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)

Aurrez-aurreko
talka elastiko bi

Etengabeko talka
elastikoak
karril batean

Aurrez-aurreko
talka bertikalak

Iraupen luzeko 
talka inelastikoa

Pendulu balistikoa

Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa

Talka inelastikoa
malguki baten
gainean

Bala baten
abiadura neurtzea 

Bi dimentsiotako
talkak

Penduluen segida

n bola segidan talka egiten

Simulazioa

Perturbazioa nola propagatzen den

Saiakuntza

Erreferentziak

Bada tramankulu bat, "Newton-en sehaska" izenekoa, momentu lineala kontserbatzen dela erakusteko, baina bola bi baino gehiago hartzen badira, momentu linealaren kontserbazioa eta energiaren kontserbazioa ez dira nahikoak bola-katea osoaren portaera azaltzeko.

Demagun goiko irudiak erakusten bola-multzoa, denak ilaran daude eta hariekin eskegita; multzo hori aztertzeko kontsidera dezagun bolak partikulak direla eta malguki berezien bitartez ukitzen direla. Malguki bereziek egiten duten indarra desplazamendua ber 1.5 da, Hertz-en teoriak bezala.

Bola bi talka egiten

Har dezagun lehenik kasurik sinpleena: bola identiko bi, biak m masadunak. Batek v abiadura du eta bestea geldi dago talka elastikoa burutzen dutenean.

Momentu linealaren kontserbazioa:

mv=mv₁+mv₂

Eta energiaren kontserbazioa:

Ekuazio bi hauetan ezezagun bi daude, talkaren ondorengo bi abiadurak: v₂ eta v₁. Hona hemen soluzioa:

v₂=v, v₁=0 (irudiak erakusten duen bezala)

Bola biren arteko talkan bietako bat geldi badago, momentu lineala trukatzen dute, lehenak bigarrenari osorik ematen dio, eta bera geldi geratzen da.

Bola-segida batean lehenak bigarrenaren kontra talka egiten du, bigarrenak hirugarrenaren kontra eta abar. Lehen bolaren momentu lineala bigarrenera pasatzen da, eta gero hirugarrenera, eta ondorengoetara. Hori gertatzeko bolak ez dira ukitzen egon behar, bestela konplikatuagoa da.

Esfera biren arteko talkaren teoria H. Hertz-ek garatu zuen, eta Landau eta Lifshitz-en Fisika Teorikoko kurtsoaren 7 alean azaltzen da. Teoria horren ondorioa da, esferen arteko indarra ez dela lineala:

• Hemen k materialaren elastikotasuna adierazten du: izan ere, kontutan hartzen ditu materialaren Young-en modulua, Poisson-en koefizientea eta bolaren erradioa. Esaterako altzairuzko bola bat 5 cm-ko erradioduna: k=1.638·10¹⁰ N/m^3/2.

• x bolaren deformazioa da: x=2·R-d, eta hemen R bolen erradioa da eta d zentroen arteko distantzia.

n bola talka egiten

Har dezagun n boladun ilara bat eta azter dezagun bola bakoitzaren masa zentroaren (M.Z.) higidura-ekuazioa.

Har dezagun lehenik bi partikula malguki elastiko batez lotuta.

Goiko irudia bikoitza da: goiko aldean, bietan, malgukia erakusten da deformaziorik gabe. Azpiko aldean malgukia zapalduta ezkerrean eta luzatuta eskuman. Malgukiaren deformazioa da, Δx-Δy. Alde batetik Δx=x-x₀ : hemen x ezkerreko partikularen posizioa (urdina) eta x₀ bere posizioa deformaziorik gabe dagoenean. Bestetik Δy=y-y₀ : berdina baina eskumako partikularekin. Malgukiak egiten duen indarra da, k konstantea bider deformazioa, alegia malguki deformatuaren luzera ken malgukiaren luzera deformaziorik gabe dagoenean:  k(|Δx|+|Δy|) .

Har dezagun esaterako, bost partikulez osatutako multzoa, denak malgukien bitartez lotuta. Hasieran deformaziorik gabe daude (goiko irudia) eta ondorengo une batean (azpian) lehen partikula desplazatu da x₁, bigarrena x₂, hirugarrena x₃, laugarrena x₄ eta bosgarrena x₅. Partikula bakoitzak jasaten duen indarra irudian bertan erakusten da, eta bikoteka adierazten dira: lehenengoak bigarrenari egiten dion indarra bigarrenak ere lehenengoari eragiten dio, berdina eta aurkako noranzkoan.

Demagun malgukiak ez direla linealak, eta lehen aipatutako indarra egiten dutela: desplazamendua ber r=3/2. Orduan, partikula bakoitzaren higidura-ekuazioak honakoak dira:

Ekuazio guztiak gehituz, indarrak terminoz termino anulatzen dira, eta horrek frogatzen du multzoaren masa-zentroaren azelerazioa nulua dela, izan ere, multzo isolatu bati dagokion bezalaxe.

Bost boladun multzoaren emaitza, n boladun multzora ere orokortu daiteke:

Ekuazio-multzo hori akoplatuta dago, hortaz, ez du soluzio analitikorik eta prozedura numerikoez ebatzi behar da. Hona hemen hasierako baldintzak:

Hasierako aldiunean, t=0

• Partikula guztiak oreka posizioan daude: x_i=0, i=1...n

• Partikula guztiak geldi daude, lehenengoa izan ezik, eta horrek v abiadura darama bigarrenarekin talka egiten duenean: v₁=v, v_i=0,  i=2…n

Simulazioa

Talka simulatuko dugu, n partikula identikoren artean. Horretarako hiru atal bereizi dira:

1. Lehen bola oreka-posiziotik desplazatu eta askatu egiten da. Bola horren masa zentroak h altuera atzeman badu, orduan bigarren bolaren kontra talka egitean duen abiadura kalkula daiteke energiaren kontserbazioa aplikatuz:

Lehen bola erortzen ari denean, l luzeradun hari batean eskegita dagoenez, pendulu baten portaera bera du, alegia Higidura Harmoniko Sinpleaz mugitzen da, θ0 anplitudeaz eta h=l-l·cosθ0 Orduan, HHS-aren ekuazioa honakoa izango da: θ= -θ0cos(ωt), eta

Lehenengo bolak bigarrena jotzen duenean: ωt=π/2.

2. Lehenak bigarrena jotzen duenetik aurrera, bola guztien posizioak eta abiadurak ezagutzeko, ekuazio diferentzial akoplatuen multzoa ebatzi behar da.

Ardatz horizontalean denbora adierazten da, 10^-4 s-ko eskalan, eta ardatz bertikalean hiru aukera adieraz daitezke:

• Bola bakoitzaren zentroaren desplazamendua, x_i, 10^-5 m-ko eskalan, denboraren menpe.

• Bola bakoitzaren zentroaren abiadura, m/s-tan, eta denboraren menpe. Lehen bolaren abiadura gutxitzen doa, ia nulua egiten den arte. Bigarren bolaren abiadura ordea handitzen doa eta geroago gutxitu. Azken bolaren abiadura handituz doa ia lehenengoaren abiadura atzematen duen arte.

• Bola bakoitzak jasaten duen indar erresultantea, 10³ N-eko eskalan.

3. Azken bolak, azken-aurrekoa ukitzeari uzten dionean, v_n abiadura du eta penduluaren portaera jarraituko du, lehenengoak bezala, hortaz bere energia zinetikoa osorik bilakatuko da potentzial, guztiz gelditzen denean:

Azken bola igotzen ari denean, lehenengoaren antzera, l luzeradun hari batean eskegita dagoenez, pendulu baten portaera du, alegia Higidura Harmoniko Sinpleaz mugitzen da, θ0 anplitudeaz eta h’=l-l·cosθ0 Orduan, HHS-aren ekuazioa honakoa izango da: θ=θ0sin(ωt)

Perturbazioa nola propagatzen den

Perturbazioa bola-segida osoan zehar propagatzen da eta tardatzen duen denbora honela definituko dugu: lehen eta bigarren bola ukitzen diren uneari (t=0), eta azkeneko bien arteko ukitzea bukatzen denean t_p , alegia azken-aurreko bolaren desplazamendua (x_n-1) eta azken bolaren desplazamendua (x_n) gurutzatzen direnean, ondorengo irudiak erakusten duen bezala.

Laborategian propagazio-denbora hori prozedura honekin neur daiteke: kronometro elektroniko bat abiatu egiten da lehen eta bigarren bola ukitzen direnean, (etengailu batek bezala korronte elektrikoa abiatzen dute) eta azken bi bolek kontaktua galtzen dutenean erlojua gelditu egiten da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Bola-kopurua, bitik hamarrera aukeratuz.

Hasi botoia sakatu.

Simulazioan hiru atalak behatzen dira:

1. Lehen bola ezkerrera desplazatu da eta bere zentroak 1 cm-ko altuera du askatu denean. Abiatzean bigarren bolarekin talka egiten du eta hau da bere abiadura talka egiteko unean:

2. Programak bola bakoitzaren posizioa eta abiadura kalkulatzen ditu ekuazio diferentzial akoplatuak ebatziz eta grafikoki erakusten ditu hiru emaitza aukeran:

• Desplazamendua botoia aktibatuta badago, bola bakoitzaren zentroaren desplazamendua, bolaren kolore berdinaz.

• Abiadura botoia aktibatuta badago, bola bakoitzaren zentroaren abiadura, bolaren kolore berdinaz.

• Indarra botoia aktibatuta badago, bola bakoitzak jasaten duen indar erresultantea bolaren kolore berdinaz.

Leihatilaren eskumako aldean, barra-diagrama batez erakusten dira: bolen masa zentroaren energia zinetikoa, eta konparatzeko, lehen bolaren hasierako energia zinetikoa laukizuzen beltz batez. Ikusten denez, energia zinetikoa gutxituz doa, bolak deformatzeko energia potentzial bilakatzen delako, eta gero berriz ere handitzen da hasierako energia zinetikoaren balio berdineraino. Energiaren balioak ez dira erabat zehatzak, ekuazio diferentzial akoplatuak ebazteko prozedura numerikoek zehaztasun mugatua dutelako.

Energia-barra kolorez aldatzen doa, perturbazioa bola batetik bestera pasatzen denean, eta horrek ere propagazioa ikusteko laguntzen du.

Bigarren barrak, momentu lineala erakusten du (p). Hasierako balioa ere laukizuzen beltz batez adierazten da. Momentu lineala segida osoan zehar propagatzen da eta azkenean hasierako balio bera atzematen du (gutxi gora behera).

3. Azkeneko bola eskumarantz desplazatzen da, bere zentroak h' altuera atzematen duen arte.

Oharra: higiduraren hiru atalak deskribatzeko bi denbora-eskala ezberdin hartu dira: lehen eta azken bolen mugimendurako 10^-3 s-ko denbora-tarteko urratsak, eta kontaktuan dauden n bolen mugimendurako 10^-6 s denbora-tarteko urratsak.