Dinamika

Talkak

Tanke higikor batek
tiro egiten du

Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak

Pendulu biren
arteko talkak

Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)

Aurrez-aurreko
talka elastiko bi

Etengabeko talka
elastikoak
karril batean

Aurrez-aurreko
talka bertikalak

Iraupen luzeko
talka inelastikoa

Pendulu balistikoa

Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa

Talka inelastikoa
malguki baten
gainean

Bala baten
abiadura neurtzea

Bi dimentsiotako
talkak

Penduluen segida

Talkaren ondoren multzoaren energia nolakoa den

Higiduraren ekuazioak

Saiakuntza

Bala baten abiadura neurtzeko ikusi dugu pendulu balistikoa erabil daitekeela. Orri honetan antzeko esperimentu bat planteatzen da. Bala batek bloke baten kontra talka egin eta itsatsita geratzen da. Blokeak malguki bat ukitzen du, baina ez dago lotuta, eta talkaren ondoren malgukiak jasaten duen deformazio maximoa neurtzen, balaren abiadura kalkula daiteke. Gainera, blokeak eta balak osatutako multzoaren higidura aztertuko dugu, talkaren ondoren malgukiak berriro ezkerrerantz jaurtitzen duenean.

Oszilazioen kapituluan aztertzen da, blokea malgukian lotuta dagoen kasua, eta oszilazio indargetuak deskribatzen ditu marruskadura-indar konstante batek eraginda.

Bala eta blokearen arteko talka

Talkaren unean, balak eta blokeak osatutako multzoa isolatua da, kanpo indarren erresultantea nulua delako. Hortaz, momentu linealaren kontserbazioa aplika daiteke multzoaren abiadura kalkulatzeko justu talkaren ondoren (v₀).

Balaren masa m bada, abiadura u eta blokearen masa M bada, momentu linealaren kontserbazioa honela idazten da:

mu=(m+M)v₀

Talkan galdutako energia hau da:

Talkaren ondoren, multzoaren energia nolakoa den

Blokearen eta azpiko gainazalaren artean marruskadura dagoela kontutan hartuko dugu. Marruskadura koefiziente estatikoa μ_s eta zinetikoa μ_k.

Balak eta blokeak osatutako multzoak justu talkaren ondoren energia zinetikoa dute soilik, eta ondoren bilakatu egiten da, malgukiaren energia potentziala eta marruskadura indarrak egindako lana.

Multzo horrek jasaten dituen indarrak lau dira:

• Pisua, (m+M)g

• Planoaren erreakzioa, N=(m+M)g

• Malguki deformatuak egiten duen indarra, k·x

• Gainazalak egiten duen marruskadura-indarra, blokearen abiaduraren noranzkoaren kontra:  f_r=μ_k·N= μ_k·(m+M)g

Multzoa eskuinerantz mugitzen

Multzoak hasieran energia gehiago du eta amaieran gutxiago; energia bi horien arteko diferentzia, marruskadurak egindako lana da.

Malgukiaren deformazioa maximoa denean (x_m) multzoa gelditzen da, v=0.

Esperimentalki neurtzen bada x_m balaren abiadura kalkula daiteke (u) talka baino lehen.

Aldiz, balaren abiadura talka baino lehen ezagutzen bada, bigarren graduko ekuazioa geratzen da x_m-ren menpe eta soluzio positiboa aukeratzen da.

Defini dezagun parametro bat: ω²=k/(m+M). Orduan x_m kalkulatzeko bigarren graduko ekuazio hau ebatzi behar da:

Malgukiak deformazio maximoa atzeman ondoren, x_m posizioan, abiadura nuluaz geratzen da, eta berriro mugitzen hasiko da soilik malgukiak marruskadura-indarra gainditzen badu: kx_m≥ μ_s(m+M)g, bestela x_m posizio horretan geldi geratuko da. Demagun mugitzen hasten dela:

Gorputza ezkerrerantz mugitzen

Bigarren atal honetan ere, multzoak hasieran energia gehiago du eta amaieran gutxiago; energia bi horien arteko diferentzia, marruskadurak egindako lana da:

Kasu ezberdin bi gerta daitezke:

1. Gorputza gelditzea jatorriraino iritsi aurretik: (x=0).

Orduan amaierako posizioa kalkulatzen da (x_f) baldintza hau inposatuz: v=0.

2. Gorputza jatorrira iristea gelditu baino lehen:

Jatorrian duen v_f  abiadura kalkula daiteke, baldintza hau inposatuz: x=0

Multzoa malgukitik askatzen da

Multzoa eta malgukia ez daude lotuta, ukitzen soilik, beraz, askatu ondoren ezkerrerantz mugitzen jarraituko du harik eta marruskadura indarrak energia zinetiko osoa barreiatzen duen arte:

1 adibidea:

• Marruskadura koefizientea, μ_s=μ_k=0.3

• Blokearen masa, M=1 kg

• Balaren masa, m=0.2 kg

• Balaren abiadura, u= 10 m/s

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=20 N/m

Balaren eta blokearen arteko talka

Bala eta blokea itsatsita geratzen dira talkaren ondoren, honako abiaduraz:

0.2·10=(0.2+1)·v₀,  v₀=5/3 m/s

Multzoa eskumarantz mugitzen da

Multzoak hasieran energia zinetikoa du, eta ondoren malgukiak energia potentziala du eta marruskadurak lana egin du:

Bigarren graduko ekuazio horretatik x_m ateratzen da: x_m=0.268 m=26.8 cm

Malgukiaren zapaldura maximoko x_m posizio horretan, multzoa ezkerrerantz mugitzen segituko duen jakiteko, ala geldi geratuko den:

• Malgukia egiten ari den indarra, k·x_m=5.37 N

• Marruskadura indarra: μ_s·(M+m)g=0.3·1.2·9.8=3.53 N

Multzoa ezkerrerantz mugitzen

Lehenik, egiazta dezagun multzoaren energia potentzial elastikoa, ea jatorriraino iritsi ahal izateko nahikoa den:

Jatorriraino iristeko, marruskaduraren lana handiagoa da malgukiaren energia potentzial elastikoa baino, beraz iritsi baino lehenago geldituko da. Bigarren graduko ekuaziotik x_f  posizioa kalkula daiteke:

x_f=0.084=8.4 cm

2 adibidea:

• Marruskadura koefizientea, μ_s=μ_k=0.1

• Blokearen masa, M=1 kg

• Balaren masa, m=0.2 kg

• Balaren abiadura, u= 10 m/s

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=20 N/m

Balaren eta blokearen arteko talka

Bala eta blokea itsatsita geratzen dira talkaren ondoren, honako abiaduraz:

0.2·10=(0.2+1)·v₀,  v₀=5/3 m/s

Multzoa eskumarantz mugitzen da

Multzoak hasieran energia zinetikoa du, eta ondoren malgukiak energia potentziala du eta marruskadurak lana egin du:

Bigarren graduko ekuazio horretatik x_m ateratzen da: x_m=0.354 m=34.5 cm

Malgukiaren zapaldura maximoko x_m posizio horretan, multzoa ezkerrerantz mugitzen segituko duen jakiteko, ala geldi geratuko den:

• Malgukia egiten ari den indarra, k·x_m==7.07 N

• Marruskadura indarra: μ_s·(M+m)g=0.1·1.2·9.8=1.18 N

Multzoa ezkerrerantz mugitzen

Lehenik, egiazta dezagun multzoaren energia potentzial elastikoa, ea jatorriraino iritsi ahal izateko nahikoa den:

Honako bigarren adibide honetan, jatorriraino iristeko, marruskaduraren lana txikiagoa da malgukiaren energia potentzial elastikoa baino, beraz multzoa jatorriraino iritsiko da eta oraindik energia zinetikoa izango du:

Hortik v_f =1.18 m/s (ezkerrerantz)

Multzoa malgukitik askatzen da

Multzoa malgukitik askatzen denean oraindik abiadura dauka, eta ezkerrerantz mugitzen segituko du guztiz gelditzen den arte. Une horretan bere energia zinetiko osoa marruskaduraren lanak agortu du:

|x|=0.710 m, x= -7.10 cm

Higiduraren ekuazioak

Talkaren ondoren, bala eta blokea itsatsita geratzen dira, eta multzoa eskuinerantz mugitzen da v₀ abiaduraz. Multzo horrek lau indar jasaten ditu:

• Pisua, (m+M)g

• Planoaren erreakzioa, N=(m+M)g

• Malguki deformatuak egiten duen indarra, k·x

• Gainazalak egiten duen marruskadura-indarra, blokearen abiaduraren noranzkoaren kontra:  f_r=μ_k·N= μ_k·(m+M)g

	Multzoa eskumarantz mugitzen ari denean (v>0), marruskadura-indarra ezkerrerantz doa, eta higiduraren ekuazioa honela idazten da: (m+M)a= -kx - μk(m+M)g,
	Aldiz, multzoa ezkerrerantz mugitzen ari denean (v<0), marruskadura indarra eskumarantz aldatzen da eta higiduraren ekuazioa honela idazten da: (m+M)a= -kx +μk(m+M)g

Idatz ditzagun higiduraren ekuazioak ekuazio diferentzial gisara:

hemen ω²=k/(m+M)

Higiduraren ekuazioek higidura harmoniko sinplearen itxura dute, baina termino gehigarri bat dute:  ±μ_kg

Ekuazio diferentzial horren soluzioa, bi soluzioen batura da, ekuazio homogeneoaren soluzioa (Higidura harmoniko Sinplea) eta konstante bat: C. Konstante hori ekuazio diferentzialean ordezkatuz:

ω²C=±μ_kg,     C=±μ_kg/ω²

Orduan ekuazio diferentzialaren soluzio osoa hau da:

Bai eskumarantz mugitzen denean (v>0) zein ezkerrerantz (v<0) multzoaren abiadurak adierazpen bera dauka:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira.

• Multzoa eskumarantz mugitzen, v>0.

Justu talkaren ondoren (t=0) bala-bloke multzoak v₀ abiadura du eta jatorrian dago: x=0.

0=B-μ_kg/ω²
v₀=Aω

Orduan multzoaren x posizioa eta v abiadura eskumarantz mugitzen ari denean honela adierazten dira:

Desplazamendu maximoa (x_m) gertatzen da abiadura nulua denean (v=0), alegia ondoko baldintza betetzen denean:

Eta trigonometriako erlazio hauek kontutan izanda:

Zenbait buruketa eta sinplifikazio eginda adierazpen hau lortzen da, x_m desplazamendu maximorako:

Malgukiaren zapaldura maximoko x_m posizio horretan, multzoa geldi dago baina ezkerrerantz mugitzen segituko duen jakiteko, ala geldi geratuko den, malgukiaren indarra eta marruskadura konparatu behar dira. Mugitzen segitzeko: kx_m≥ μ_s(m+M)g, bestela guztiz geldi geratuko da.

• Multzoa ezkerrerantz mugitzen, v<0

Multzoa pausagunetik abiatzen da, x_m posiziotik. Jar dezagun denboraren jatorria berriro une horretan, t=0. Higiduraren ekuazioko A eta B konstanteak, ezkerrerantz mugitzen denean:

x_m=B+μ_kg/ω²
0=Aω

Hortaz, multzoaren x posizioa eta v abiadura honela adierazten dira denboraren menpe ezkerrerantz mugitzen ari denean:

Multzoak jatorriraino iristea lor dezan (x=0), honako baldintza bete behar da:

Baina |cos(ωt)|<1 beti da, eta beraz bete behar den baldintza hau da: ω²x_m>2μ_kg. Baldintza horrek adierazten du multzoa jatorriraino iristea lortzeko, malgukiaren energia potentziala x_m posizioan handiagoa izan behar dela marruskaduraren lana baino.

Orduan multzoa jatorritik pasatzen da (x=0) honako aldiunean:

Eta jatorritik pasatzean v_f abiadura du:

Errokizuna ez dadin negatiboa izan honako baldintza bete behar da: ω²x_m≥2μ_kg

• Errokizuna negatiboa balitz, ω²x_m<2μ_kg , horrek esan nahiko luke multzoa jatorrira iritsi aurretik gelditu egiten dela, honako aldiunean: v=0 edo sin(ωt)=0, ωt=π. Gelditzen da  honako posizioan:

Ikusten denez ω²x_m<2μ_kg baldin bada, x_f>0.

• Multzoa malgukitik askatzen da

Multzoa malgukitik askatzen denean, jasaten duen indar bakarra marruskadura da. Higidura zuzen eta uniformeki dezeleratua da. Har dezagun berriro denboraren jatorria (t=0).

v=vf+μkgt x=vf·t+μkgt2/2

Eta multzoa gelditu egiten da v=0 denean,

1 adibidea:

• Marruskadura koefizientea, μ_s=μ_k=0.3

• Blokearen masa, M=1 kg

• Balaren masa, m=0.2 kg

• Balaren abiadura, u= 10 m/s

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=20 N/m

Balaren eta blokearen arteko talka

Bala eta blokea itsatsita geratzen dira talkaren ondoren, honako abiaduraz:

0.2·10=(0.2+1)·v₀,  v₀=5/3 m/s

Multzoa eskumarantz mugitzen

Maiztasun angeluarra:

Multzoaren posizioa eta abiadura t denboraren menpe adierazita:

Desplazamendu maximoa, x_m, gertatzen da abiadura nulua denean: v=0, eta une horretan:

Malgukiaren zapaldura maximoko x_m posizio horretan, multzoa geldi dago baina ezkerrerantz mugitzen segituko duen jakiteko, ala geldi geratuko den, malgukiaren indarra eta marruskadura konparatu behar dira:

• Malgukia egiten ari den indarra, k·x_m=5.37 N

• Marruskadura indarra: μ_s·(M+m)g=0.3·1.2·9.8=3.53 N

Multzoa ezkerrerantz mugitzen

Ezkerrerantz mugitzen, jatorriraino iritsiko den jakiteko malgukiaren energia potentziala eta marruskaduraren lana konparatzen dira. Kasu honetan, ω²x_m<2μ_kg  (zenbakiak ordezkatuz, 4.08²·0.268<2·0.3·9.8) beraz, multzoa jatorrira iritsi aurretik geldituko da. Aldiune honetan: ωt=π, t_f=0.77 s, eta posizio honetan (x_f):

2 adibidea:

• Marruskadura koefizientea, μ_s=μ_k=0.1

• Blokearen masa, M=1 kg

• Balaren masa, m=0.2 kg

• Balaren abiadura, u= 10 m/s

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=20 N/m

Balaren eta blokearen arteko talka

Bala eta blokea itsatsita geratzen dira talkaren ondoren, honako abiaduraz:

0.2·10=(0.2+1)·v₀,  v₀=5/3 m/s

Multzoa eskumarantz mugitzen

Maiztasun angeluarra:

Multzoaren posizioa eta abiadura t denboraren menpe adierazita:

Desplazamendu maximoa, x_m , gertatzen da abiadura nulua denean: v=0, eta une horretan:

Malgukiaren zapaldura maximoko x_m posizio horretan, multzoa geldi dago baina ezkerrerantz mugitzen segituko duen jakiteko, ala geldi geratuko den, malgukiaren indarra eta marruskadura konparatu behar dira:

• Malgukia egiten ari den indarra, k·x_m==7.07 N

• Marruskadura indarra: μ_s·(M+m)g=0.1·1.2·9.8=1.18 N

Multzoa ezkerrerantz mugitzen

Ezkerrerantz mugitzen, jatorriraino iritsiko den jakiteko malgukiaren energia potentziala eta marruskaduraren lana konparatzen dira; oraingoan ω²x_m>2μ_kg (zenbakiak ordezkatuz,  4.08²·0.354 >2·0.1·9.8) beraz, multzoa jatorrira iritsiko da eta oraindik abiadura izango du. Jatorrira iritsiko da une honetan:

Eta jatorritik pasatzen da honako abiaduraz:

Multzoa malgukitik askatzen da

Multzoa malgukitik askatzen denean oraindik abiadura dauka, eta ezkerrerantz mugitzen segituko du guztiz gelditzen den arte. Higidura uniformeki dezeleratua duenez:

v=v_f+μ_kgt=-1.18+0.1·9.8·t
x=v_f·t+μ_kgt²/2==-1.18·t+0.1·9.8·t²/2

Eta t=1.20 s aldiunean multzoa guztiz gelditzen da: x= -0.710 m= -7.10 cm

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Blokearen eta bere azpiko gainazalaren arteko Marruskadura koefizientea, μ_s=μ_k, saguaz desplazamendu-barrari eragiten.

• Balaren masa, m , kg-tan, dagokion laukian idatziz.

• Balaren abiadura, u , m/s-tan, justu blokea jo baino lehen.

• Blokearen masa finkotzat hartu da, M=1 kg.

• Malgukiaren konstantea, k, N/m-tan, dagokion laukian idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Bala jaurtitzen ikusten da, ondoren balak blokea jotzen du eta itsatsita geratzen da.

Leihatilaren goiko aldean idatziz erakusten dira, denbora partziala, t, denbora totala, tt, (talkaren aldiunean zenbatzen hasita) eta multzoaren x posizioa, v abiadura eta aldiuneko energia totala (bala, blokea eta malgukia kontuan hartuta).

Multzoak jasaten dituen indarrak bektoreez erakusten dira: malgukiak egindakoa gorriz eta marruskadura urdinez.