Dinamika

Talkak

Tanke higikor batek
tiro egiten du

Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak

Pendulu biren
arteko talkak

Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)

Aurrez-aurreko
talka elastiko bi

Etengabeko talka
elastikoak
karril batean

Aurrez-aurreko
talka bertikalak

Iraupen luzeko
talka inelastikoa

Pendulu balistikoa

Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa

Talka inelastikoa
malguki baten
gainean

Bala baten
abiadura neurtzea 

Bi dimentsiotako
  talkak

Penduluen segida

Talka, Masa-Zentroaren erreferentzia-sistemaren ikuspegitik

Adibideak

Saiakuntza

Karanbola

Orri honetako programa interaktiboan talkak aztertzen dira, bi dimentsiotan eta bi ikuspegi ezberdinetatik: laborategiko erreferentzia-sistemaren ikuspegia (L sistema) eta Masa zentroaren erreferentzia sistemarena (C-sistema).

Solido zurrunaren ikasgaian sakonago aztertzen da talka konplikatuago bat: disko biren arteko talka. Kasu horretan diskoen masak eta erradioak kontutan hartzen dira eta, talkaren ondorioz, diskoek elkarri translazioko abiadura era errotaziozkoa komunikatzen diote.

Talka, laborategiko erreferentzia-sistemaren ikuspegitik

Demagun talka egiten duten partikula biak diskoak edo esferak direla: masak m₁ eta m₂ eta erradioak r₁ eta r₂.

Lehen partikulak u₁ abiadura du eta bigarrena geldi dago. Lehen partikularen abiaduraren norabidetik bigarren partikularen zentrora dagoen distantziari inpaktu-parametroa deritzo: b.

b=(r₁+r₂)·sinθ

Adieraz ditzagun bi diskoen abiadurak, talka baino lehen, irudiko X eta Y ardatzekiko:

u₁=u₁·cosθ·i+u₁·sinθ·j
u₂=0

Eta bi diskoen abiadurak, talkaren ondoren, irudiko X eta Y ardatzekiko:

v₁=v₁·cos(θ+f)·i+v₁·sin(θ+f)·j
v₂=v₂i

Momentu linealaren kontserbazio-printzipioa honela idatz daiteke:

m₁·u₁+m₂·u₂=m₁·v₁+m₂·v₂

edota osagaiak,

Itzultze-koefizientea definizioz, abiadura erlatiboen zatidura da (urruntzekoa/ hurbiltzekoa) eta X ardatzaren norabidean adierazten badugu:

Inpaktu-parametroa ezagutuz (b) q angelua ezaguna da. Idatzi ditugun bigarren eta hirugarren ekuazioekin, kalkula daiteke, talkaren ondoren bi abiadurek elkarrekiko osatzen duten angelua:

Talka elastikoa

Esaterako, bi diskoek masa bera badute, m₁=m₂, eta gainera talka elastikoa bada, e=1, orduan talkaren ondoren bi abiadurek elkarrekiko osatzen duten angelua: θ+f=90º, eta bi abiaduren moduluak:

v₁=u₁·sinθ
v₂=u₁·cosθ

b=(r₁+r₂)·sinθ
f=90º-θ

Talka, Masa-Zentroaren erreferentzia-sistemaren ikuspegitik

Masa-zentroaren abiadura kalkula daiteke, momentu lineal totala (P) zati multzoaren masa osoa:

Orduan partikulek dituzten abiadurak talka baino lehen eta C sistemaren ikuspegitik:

Partikulen abiadurak talkaren ondoren eta L sistemaren ikuspegitik honela idatz daitezke:

Eta partikulen abiadurak talkaren ondoren eta C sistemaren ikuspegitik:

C sisteman ere, momentu linealaren kontserbazioa betetzen da:

Talkan galdutako energia da (Q), energia zinetikoen kenketa, alegia talkaren ondorengoa ken talkaren aurrekoa, bai L sisteman zein C sisteman, baina asko errazagoa da C sistemakoa kalkulatzea:

Adibideak

1.- Demagun partikula bat, 0.2 kg-koa, mugitzen ari dela 0.4 m/s-ko abiaduraz, eta beste bat, 0.3 kg-ko masa duena eta geldi dagoena. Lehenak bigarrena jotzen du, eta talkaren ondoren partikula horren abiadurak 40º angelua osatzen du hasierako norabidearekiko, irudiak erakusten duen bezala:

Hona datuok: u1=0.4·i u2=0 v1=0.2cos40·i+0.2·sin40·j

Momentu linealaren kontserbazio printzipioa:

0.2·u₁=0.2·v₁+0.3·v₂

Eta hortik bakan daiteke bigarren partikularen abiadura talkaren ondoren: v₂ 

v₂=0.034·i-0.039·j

Abiadura horren modulua v₂=0.05 m/s, eta X ardatzarekin osatzen duen angelua: θ= -48.6º

Talka horretan galdutako energia:

2.-Demagun partikula bat, 5 kg-koa, mugitzen ari dela 2 m/s-ko abiaduraz, eta beste bat, 8 kg-koa eta geldi dagoena. Lehenak bigarrena jotzen du, elastikoki, eta talkaren ondoren lehen partikula horren abiadurak 50º angelua osatzen du hasierako norabidearekiko. Kalkula bitez partikula bien abiadurak talkaren ondoren:

Hona datuok:

u₁=2·i
u₂=0
v₁=v₁cos50·i+v₁·sin50·j

Momentu linealaren kontserbazio printzipioa aplika daiteke:

eta gero hortik bakandu bigarren partikularen abiadura talkaren ondoren:

5·u₁=5·v₁+8·v₂

Talka elastikoa bada, partikulen energia zinetiko totala ez da aldatzen:

Momentu linealaren ekuazioan, v₂ bakandu eta bere moduluaren karratua kalkulatuz:

Bigarren graduko ekuazioa geratzen da, beraz bi soluzio posible ditu:

• Bigarren graduko ekuazioaren lehen soluzioa hau da:

v₁=1.57 m/s

Eta hortaz, bigarren partikularen abiadura:

v₂=0.62·i-0.75·j

Bigarren partikularen abiadura, v₂=0.97 m/s eta X ardatzarekin osatzen duen angelua: -50.7º ondorengo irudiaren ezkerraldean erakusten den bezala.

• Bigarren graduko ekuazioaren bigarren soluzioa:

v₁=-0.59 m/s

Lehen partikularen abiadura talkaren ondoren, v₁=0.59 m/s eta X ardatzarekin osatzen duen angelua: 180+50=230º.

Eta bigarren partikularen abiadura:

v₂=1.49·i-0.28·j

Bere modulua, v₂=1.51 m/s eta X ardatzarekin osatzen duen angelua 10.7º, irudiko eskumako aldeak erakusten duen bezala:

3.- Adibidea: talkaren datuak

• u₁=3.5 m/s

• u₂=0

• Partikulek masa bera dute, m₁=m₂=1

• Talka-parametroa: b=0.8

• Talka elastikoa da: e=1

Talkaren ondoren bigarren partikularen abiadurak osatzen duen θ angelua kalkulatzeko:

b=(r₁+r₂)·sinθ,

0.8=2· sinθ, θ=23.6º

Eta talkaren ondoren lehen partikularen abiadurak osatzen duen f angelua kalkulatzeko:

Lehen partikularen abiadura kalkula daiteke:

Eta bigarren partikularen abiadura:

4.- Adibidea: Talkaren datuak.

• u₁=3.5 m/s

• u₂=0

• m₁=1

• m₂=2

• Talka parametroa, b=0.8

• Itzultze koefizientea, e=0.9

Emaitzak:

0.8=2· sinθ, θ=23.6º

 θ+f =121.4º, f=97.8º

v₁=1.64 m/s, v₂=2.03 m/s

Talkan galdutako energia:

Edota beste formularekin:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Itzultze-koefizientea, e, dagokion laukian 0 eta 1 bitarteko zenbaki bat idatziz (e=1 talka elastikoa da).
• Talka-parametroa, b, dagokion laukian 0 eta 2 bitarteko zenbaki bat idatziz. Partikulak diskoak dira, eta euren erradioak r₁= r₂=1 (b=0 balioa aurrez-aurreko talka da).
• Masen erlazioa (M2/M1). Geldi dagoen partikula m₂ da, eta hasieran mugitzen den bakarra m₁.

• 1 partikularen abiadura, u₁, m/s-tan dagokion laukian idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Talka ikusten da laborategiko L sisteman. Partikula bien artean gurutze batek bikotearen masa-zentroa adierazten du. Leihatilaren ezkerraldean tarta itxurako diagrama batek partikulen energiak erakusten ditu: urdinez 1 partikularena eta gorriz 2 partikularena. Talka elastikoa denean amaierako energia eta hasierakoa berdinak dira, aldiz talka inelastikoa denean (itzultze koefizientea unitatea baino txikiagoa), hasierako energia handiagoa da amaierakoa baino.

Talka bera MZ-ren erreferentzia-sistemaren ikuspegitik azter daiteke, M.Z.E.S. botoia aktibatuz. Eta berriz ere laborategiko sistematik behatzeko Lab E.S. botoia aktibatu.

Programak idatziz erakusten ditu partikulen abiadurak talka baino lehen, eta talkaren ondoren abiadurak eta angeluak. Talka amaitzean (partikulak leihatilatik irteten direnean) bi partikulen momentu linealak bektoreez adierazten dira: hasierako momentu lineala, 1 partikulari dagokio eta bi ondorengoak bi partikulei, horrela bistaz ikusten da hasierakoa eta bi ondorengoen batura berdinak direla.

Informazio guzti hori ematen da, bai L erreferentzia-sistemaren ikuspegitik zein MZ-ren erreferentzia-sistemaren ikuspegitik ere.

Zenbait froga egin daitezke, lehenik paperean talkaren emaitza guztiak kalkulatu, eta gero programa interaktiboak ematen dituenarekin konparatu. Esaterako, masa biak berdinak direnean masen erlazioa m₂/m₁ = 1 da, eta froga bedi ere talka elastikoa denean (e=1).

Karanbola

Hurrengo programa jolasa da. Karanbolak egitea du helburu: Lehenik bola gorri batek bola urdinarekin talka egiten du eta ondoren bola grisarekin egin behar du.

Berria botoia sakatzean hiru bola agertzen dira leihatila batean.

Saguarekin bola gorria ukitu eta ezkerreko botoia sakatu. Ondoren, ezkerreko botoia sakatuta mantenduz, sagua mugitu eta gezi bat agertuko da: gezi horrek adierazten du bola gorria zein abiaduraz jaurtiko den, bai norabidean eta baita moduluan ere.

Saguaren ezkerreko botoia askatzen denean, bola gorria jaurtitzen da, geziak seinalatzen duen norabidean eta geziaren luzeraren proportzionala den abiaduraz.

Berriz botoia sakatuz, bolak berriro kokatzen dira aurreko toki berean. Bola gorriak lehenengo bola urdina jo behar du eta ondoren grisa, bestela ez da ontzat ematen.

Berria botoiaz bolak kokapen berri batean kokatzen dira, baina bolen posizioak aleatorioak direnez, posiblea da karanbola ezinezkoa izatea.