Elektromagnetismoa

Eremu elektrikoa

Coulomb-en legea

Franklin-en motorea

Karga puntual baten
eremu eta potentziala

Karga-bikote baten
eremu eta potentziala

Dipolo elektrikoa

Zuzenki kargatua.
Gauss-en legea.

Kelvin-Thomson-en
eredu atomikoa

Faraday-ren kubeta.
Eroaleak

Van de Graaff-en
generadorea

Eroaleak (II)

Eroale batean
induzitutako karga

Esfera eroalea
eremu uniforme batean

Pendulu batez
kondentsadore bat
deskargatzen

Irudien metodoa

Eroale esferikoa

Karga-geruzaren lodiera eroale baten gainazalean

Eroaleen propietate garrantzitsuenetako bat, ikusi dugunez, bere barneko eremu elektrikoa nulua dela: E=0, eta hortik ondorioztatzen diren ezaugarriak ere aipatu ditugu.

Orri honetan eroaleen ezaugarriak aztertzen jarraituko dugu, hain zuzen, bere gainazaleko eremu elektrikoaren modulua eta norabidea kalkulatuko ditugu.

Eremu elektrikoa eroale kargatu baten gainazaletik hurbil

Eremu elektrikoaren norabidea, eroale kargatu baten gainazaletik hurbil, gainazalaren perpendikularra da, laster frogatuko dugun bezala.

Eremu elektrikoa kontserbakorra denez, E-ren zirkulazioa bide itxi batean zehar nulua izan behar da:

Har dezagun bide itxitzat irudiko ABCD bidea, eta demagun A eta D puntuak elkarrengandik oso hurbil daudela, baina bata eroalearen barnean eta bestea kanpoan. Era berean, B eta C puntuak ere oso hurbil elkarrengandik. AB tartea gainazalaren paraleloa.

Demagun E eremu elektrikoaren norabideak, irudian erakusten den bezala, eroalearen gainazaletik hurbil θ angelua osatzen duela gainazalarekin, orduan:

Eremu elektrikoaren zirkulazioa lau kontribuzioen batura da: CD tartean nulua da eroalearen barruan eremua zero delako. AD eta BC tarteetan ere kontribuzioa nulutzat har daiteke oso luzera txikiak aukera ditzakegulako eta hortaz, |AD|=|BC|≈0. Azkenik, AB tartearen kontribuzioa nulua izan beharko da batura totala ere nulua izan behar delako. Baina azkeneko hau soilik da posible E eremua eroalearen gainazalaren perpendikularra bada, hau da, eremuak AB bidearekin osatutako angelua θ=90º izan behar da.

Horregatik, eremu elektrikoa kontserbakorra delako, eroale baten gainazaletik hurbil eremu elektrikoa gainazalaren perpendikularra da.

Gauss-en teoremaren laguntzaz eremu elektrikoaren modulua kalkulatu ahal izango dugu gainazaletik hurbil, baina karga-distribuzioa ezagutu ezkero, hain zuzen ere bere gainazaleko karga-dentsitatea: s  (C/m²)

Gauss-en teoremaren arabera, eremu elektrikoaren fluxua edozein gainazal itxitan zehar, eta gainazal itxiak inguratutako karga osoa zati  e₀  zatidura berdinak dira.

1.-Eremu elektrikoaren norabidea antzeman.

Aurreko atalean frogatu dugunez, eroale kargatu baten gainazaletik hurbil eremuaren norabidea gainazalaren perpendikularra da.

2.-Gainazal itxi egoki bat aukeratu fluxua kalkulatzeko

Har dezagun gainazal itxitzat zilindro bat: zilindroaren ardatza eroalearen gainazalaren perpendikularra da eta parte bat eroalearen barnean eta bestea kanpoan dauka. Eremu elektrikoaren fluxuak hiru atal izango ditu:

• Fluxua alboko gainazalean zehar: dS gainazal bektorea E eremuaren perpendikularra da, orduan:

• Fluxua beheko estalkian: Eroalearen barruan dagoenez,  E=0 , eta beraz fluxua ere nulua da.
• Fluxua kanpoko estalkian: Gainazal bektorea eta eremua elkarren paraleloak dira:

• Gainazal zilindriko osoan zeharreko fluxu totala:

Hemen S zilindroaren oinarriaren azalera da.

3. Gainazal itxiaren barruko karga kalkulatzea

Gainazal itxiak eroalea mozten du eta S gainazala mugatzen du bertan; gainazal horrek duen karga da: q=s S. 

4.-Gauss-en teorema aplikatzea eta eremu elektrikoaren modulua lortzea

Eroale esferikoa

Kalkuluetarako, eroale kargatu batek izan dezakeen formarik sinpleena esferikoa da.

Esfera eroale batek sortutako eremu elektrikoa (R erradioa eta Q karga).

Karga-distribuzio esferiko eta uniforme batean Gauss-en teorema aplikatzeko ondoko urratsak eman behar dira:

1.-Karga-distribuzioaren simetria ikusita eremu elektrikoaren norabidea antzeman.

Karga distribuzioak simetria esferikoa dauka, eta beraz eremuaren norabidea erradiala da.

2.-Gainazal itxi egokia aukeratu fluxua kalkulatzeko.

Har dezagun gainazal itxitzat esfera bat, r erradioduna.

Eremu elektrikoa, E, eta gainazal-bektorea, dS, elkarren paraleloak dira, eta gainera eremua konstantea da gainazal itxiaren puntu guztietan, irudian erakusten den bezala. Hortaz:

Fluxu totala hau da: E·4p r²

3. Gainazal itxiaren barneko karga kalkulatzea

	r<R  eskualdea  Karga guztia eroalearen gainazalean dagoenez  r<R esfera itxiak ez du batere kargarik inguratzen, beraz, fluxua nulua da eta eremua ere bai: E=0.
	r>R eskualdea   r>R esfera itxiak inguratzen duen karga hain zuzen eroalearen Q karga osoa da.

Esfera eroalearen potentziala.

Irudian eremu elektrikoa adierazten da r distantziaren menpe.

Potentziala eremuaren integrala denez, irudiko azalera ilundua kalkulatu behar da:

Karga-distribuzioaren energia

Eroalearen karga osoa, Q, bere gainazalean dagoenez eta bertan potentzialaren balioa V denez, karga-distribuzioaren energia osoa:

Karga-geruzaren lodiera eroale baten gainazalean

Aurrerago frogatu dugunez, eroale batek karga-soberakin bat jasotzen badu karga-soberakina gainazalean kokatuko da, karga indibidualen arteko aldarapenak direla medio. Karga osoa gainazalean kokatuko da oso geruza fin batean. Orain aztertuko dugun arazoa da ea karga-geruza horren lodiera finitua izango ote den ala bestela infinitesimala.

Geruza esferiko eta uniformeki kargatu batek sortutako eremu elektrikoa 

Demagun eroalea esferikoa dela, b erradioduna, eta karga-soberakinak geruza bat osatzen duela, a eta b erradioen bitartean hain zuzen, bolumen osoa uniformeki betetzen. Irudian karga-soberakina gorriz margotuta erakusten da.

Gauss-en teoremaren arabera, eremu elektrikoaren fluxua edozein gainazal itxitan zehar: gainazal itxiaren barneko karga zati e₀ .

Gauss-en teorema aplikatzeko karga-distribuzio esferiko eta uniforme batean ondorengo urratsak bete behar dira:

1.- Karga-distribuzioaren simetria ikusita eremu elektrikoaren norabidea antzeman.

Karga distribuzioak simetria esferikoa dauka, eta beraz eremuaren norabidea erradiala da.

2.-Gainazal itxi egokia aukeratu fluxua kalkulatzeko.

Har dezagun gainazal itxitzat esfera bat, r erradioduna.

Eremu elektrikoa, E, eta gainazal-bektorea, dS, elkarren paraleloak dira, eta gainera eremua konstantea da gainazal itxiaren puntu guztietan, irudian erakusten den bezala. Hortaz:

Fluxu totala: E·4p r²

3. Gainazal itxiaren barneko karga kalkulatzea

• a<r<b eskualdea

Q karga osoa a eta b bitarteko geruza esferikoan dago (gorriz margotuta) eta geruza horren bolumena hau da: Beraz a eta r -ren arteko geruzan dagoen karga (arrosa kolorekoa):

4.-Gauss-en teorema aplikatzea eta eremu elektrikoaren modulua lortzea.

Beste eskualdeetan, r<a eta r>b, Gauss-en teorema aplikatzea sinpleagoa da:

	r<a eskualdea Gainazal itxiak inguratzen duen karga nulua da, baldin  r<a , eta beraz fluxua zero da eta eremua ere bai: E=0.
	r>b eskualdea Gainazal itxiak inguratzen duen karga Q da, baldin  r>b, eta beraz eremuaren balioa:

Potentziala r distantziaren menpe (a<r<b)

Ondoko irudian erakusten da E eremuaren moduluaren adierazpena r distantziaren menpe:

Potentzialaren balioa r distantziara dauden puntuetan, irudian ilundutako azalera da, baina E eremuaren adierazpena aldatzen denez integrala bi zatitan banandu behar da:

Karga-distribuzioaren energia

Hona hemen karga-distribuzio baten energia:

Hemen dq karga-elementuaren karga da, kasu honetan, r eta r+dr, erradioen artean mugatutakoa, eta V(r) karga horren posizioan dagoen potentziala. Karga-elementuaren bolumena 4πr²·dr da eta dentsitatea bider bolumena karga da:

Energia osoa kalkulatzeko integrala ebatzi ondoren eta sinplifikazioak eginda, honako emaitza lortzen da:

a eta b ia berdinak badira, karga-distribuzio uniformea oso estua geratzen da, lodiera infinitesimala, eta bere karga-dentsitatea oso handia, baina energiaren balioa, U, honakoa da:

Eta hauxe da hain zuzen ere eroale esferiko baten energia bere erradioa b bada eta karga Q.

Honekin frogatzen da eroale esferiko baten gainazalean, karga-geruzaren lodiera nulua dela. Karga-dentsitatea ezin denez infinitua izan metalaren egitura atomikoa kontutan eduki beharko da.

Eroale baten gainazalean lor daitekeen eremu elektriko indartsuena 10⁹ V/m ordenakoa da. Kalkula dezagun honelako eremu elektriko bat sortzeko behar den gainazaleko karga-dentsitatea. Demagun gainazaleko n atomoetatik bat bakarra dagoela ionizatuta (irudian kolore gorriaz). Atomo bakoitzaren erradioa R≈10^-10 m ordenakoa dela suposatuz, n-ren balioa kalkula dezakegu.

Eremu elektrikoa eroale baten gainazaletik hurbil honako hau da: E=σ/ε₀. Eta baldin E=10⁹ V/m bada, orduan:

Baldin R=10^-10 m bada, orduan n=576. Gainazaleko 576 atomotatik bat ionizatuta dago.