Elektromagnetismoa

Eremu elektrikoa

Coulomb-en legea

Franklin-en motorea

Karga puntual baten
eremu eta potentziala

Karga-bikote baten
eremu eta potentziala

Dipolo elektrikoa

Zuzenki kargatua.
Gauss-en legea.

Kelvin-Thomson-en
eredu atomikoa

Faraday-ren kubeta.
Eroaleak

Van de Graaff-en
generadorea

Eroaleak (II)

Eroale batean
induzitutako karga

Esfera eroalea
eremu uniforme batean

Pendulu batez
kondentsadore bat
deskargatzen

 Irudien metodoa

Esfera eroale bi elkarren ondoan, bietako batek potentzial nulua ezarrita duenean

Irudien metodoan eremu elektriko bat ordezkatzen da beste eremu baliokide eta errazago batez, bigarrena kalkulatzeko errazagoa delako. Kasu batzuetan posiblea izaten da eroale bat ordezkatzea karga puntual batez edo karga multzo batez, eta eroalearen gainazala gainazal ekipotentzialtzat har daiteke.

Kasurik errazena da, q karga puntual bat plano eroale batetik d distantziara eta planoa Lurrera konektatuta. Plano osoa ordezkatu daiteke -q irudi-karga batez, simetrikoki kokatuta, marrazki honek erakusten duen bezala:

Karga bien arteko lerroa perpendikularki eta erditik mozten duen planoa, karga bietatik distantzia berdinera dago eta potentzial nulua dauka. Marrazki horren eskumako aldea beste applet batean egin da, alegia, "Karga-bikote batek sortutako eremu elektrikoa"

Beste kasu ezberdin batean ere irudien metodoa erabili dugu eremu eta potentzial elektrikoak kalkulatzeko: Q karga puntual bat esfera baten ondoan, esferaren potentziala nulutzat ezarrita. Orri honetan, sistema zailagoak ere aztertuko ditugu.

Esfera kargatu bat plano eroale baten ondoan, planoak potentzial nulua ezarrita duenean

Sistema honek sortzen duen eremu elektrikoa lortuko dugu, irudien metodoa eta hurbilketa-segida bat erabiliz: esfera kargatu bat plano eroale baten ondoan eta planoak potentzial nulua ezarrita.

Esfera eta planoa ordezkatuko ditugu kontrako zeinuko karga puntualen segida batez. Segida horrek zerora jotzen du eta gainazal biak (bai esfera eta baita planoa ere) ekipotentzial bilakatzen ditu. Demagun esferak r erradioa duela, V potentziala eta bere zentroa planotik d>r distantziara dagoela. Planoan potentziala nulua da.

Irudien metodoa aplikatzeko eman beharreko urratsak honakoak dira:

1. Esferaren zentroa dagoen tokian karga puntual bat kokatzen dugu: q₀ . Honela, r erradiodun esferak V potentziala dauka.

2. Koka dezagun beste karga bat, –q₀, esferaren zentrotik 2d distantziara. Honela, planoa gainazal ekipotentziala da, baina jada esfera ez da ekipotentziala.

3. Beste karga bat kokatuko dugu esferaren barnean: q₁. Kalkula dezagun karga horren posizioa,  x₁, esfera berriro gainazal ekipotentziala bihur dadin. Horrela planoa berriro ez da izango ekipotentziala.

A puntuko potentzialari (-r, 0) posizioan,  –q₀ eta q₁ kargen eraginez, zero balioa ezarriko diogu:

Eta B puntuko potentzialari ere (r, 0) posizioan –q₀ eta q₁ kargen eraginez, zero balioa ezarriko diogu:

Bakandu ditzagun q₁ eta x₁ aldagai biak ekuazio biko sistema honetan:

4. Koka dezagun –q₁ karga bat q₁-en simetrikoki, planoa ekipotentzial bihur dadin. Baina berriro esfera ez da izango ekipotentziala.

5. Koka dezagun esferaren barnean q₂ karga bat, esfera berriro ekipotentziala izan dadin. Planoa jada ez da izango.

A puntuko potentzialari (-r, 0) posizioan,  –q₁ eta q₂ kargen eraginez, zero balioa ezarriko diogu:

Eta B puntuko potentzialari ere (r, 0) posizioan –q₁ eta q₂ kargen eraginez, zero balioa ezarriko diogu:

Bakandu ditzagun q₂ eta x₂ aldagai biak, ekuazio biko sistema honetan:

Prozesua segida batez, behin eta berriz jarrai daiteke guk nahi dugun prezisioa lortu arte:

Erlazio errekurtsiboak

Kargen (q_i) eta posizioen (x_i) segida kalkula daiteke ondoko erlazio errekurtsiboak erabiliz:

Adibidea:

Har dezagun d=3r, q₀=1, eta r=1

Kasu honetan beraz, alegia, esfera kargatu bat plano eroale baten ondoan baina planoan potentzial nulua ezarrita, esfera eta planoa, biak ordezka daitezke karga puntualen segida batez, karga positiboak esferan kokatuta eta dagozkien karga negatiboak simetrikoki planoarekiko. Segida honek zerora jotzen du laster.

Horrela q_i karga x_i posizioan kokatu behar da eta bere simetrikoa, –q_i beste posizio honetan: 2d-x_i

Esferaren karga osoa:

Esferaren potentzialari q₁ kargak baino ez dio eragiten, gainerako karga bikoteek -q₁, q₂  eta abar, esferaren potentziala anulatzen dutelako. Beraz, esferaren potentziala hau da: V=q₁/(4πє₀)

Karga puntualen multzoak sortutako eremu eta potentziala

Kalkula dezagun P(x, y) puntu batean eremu eta potentzial elektrikoa karga-bikote bakar baten eraginez:  q_i karga x_i posizioan eta bere simetrikoa –q_i karga 2d-x_i  posizioan.

Karga-bikote honek P puntuan sortutako eremua eta potentziala kalkulatuko ditugu:

q_i kargak P puntuan sortzen duen eremua E₁ izendatuko dugu, eta bere modulua hau da:

Bere karga simetrikoak -q_i  puntu berean E₂ eremua sortzen du eta bere modulua hau da:

Karga-bikote horrek sortutako eremu totala E_i da eta bere osagaiak hauek dira:

E_ix=E₁·cosθ₁+E₂·cosθ₂
E_iy=E₁·sinθ₁-E₂·sinθ₂

Karga-bikote berak sortutako potentziala P puntuan, V_i  hau da:

Eta eremu totala (eta potentzial totala) simetrikoki kokatutako karga-bikote guztien eremuen (eta potentzialen) batura izango da,

Saiakuntza

Idatzi:

• Esfera kargatuaren zentrotik planoraino dagoen d distantzia, desplazamendu-barra mugituz eta esferaren erradioa erreferentziazko unitatetzat erabilita.

Berria botoia sakatu.

Programak marrazten ditu eremu-lerroak (zuriz) eta gainazal ekipotentzialak (urdinez).

Gainazal ekipotentzialak marrazteko, esferaren potentziala unitatetzat hartu da eta planoarena zero. Hogei lerro marrazten dira, beraz lerro kontsekutibo biren artean 0.05 unitateko tartea dago (1/20).

Erreferentziak

Lorrain P. Corson D. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), págs. 159-161

Esfera eroale kargatu bi elkarren ondoan, bietako batek potentzial nulua ezarrita duenean

Kontsidera ditzagun esfera bi, r eta R erradiodunak, eta euren zentroen arteko distantzia  d>r+R. Lehenengo esferak V potentziala dauka eta bigarrena Lurrera konektatuta dago, V=0.

Esfera bi horiek ordezkatzeko, karga puntualen segida bi kontsideratuko ditugu: segida horiek zerora jotzen dute laster eta gainazal esferiko biak ekipotentzialak izatea eragiten dute.

Irudien metodoa aplikatzeko ondoko urratsak beteko ditugu:

1. Lehengo esferaren zentroan, r erradiodunean, karga puntual bat kokatuko dugu: q₀ eta horrela, esfera horren potentziala V izango da.

2. Lehen urratsaren ondoren bigarren esfera ez da ekipotentziala (R erradioduna), baina bere barnean Q₁ karga kokatuko dugu, bere zentrotik  X₁ distantziara.

Kalkula dezagun Q₁-en balioa eta bere posizioa, X₁ , bigarren esfera (R erradioduna) ekipotentziala izan dadin, nahiz eta horrela lehenengoa (r erradioduna) ez den jada ekipotentziala izango:

C puntuko potentziala (d-R, 0) q₀ eta Q₁ kargen eraginez, nulua izan behar da:

Eta D puntuko potentziala ere (d+R, 0) q₀ eta Q₁ kargen eraginez, nulua izan behar da:

Ekuazio biko sistema honetatik Q₁ eta X₁ ezezagunak bakandu daitezke:

3. Lehenengo esfera (r erradioduna) jada ez da ekipotentziala, baina bere barnean q₁ karga kokatuko dugu, bere zentrotik x₁ distantziara:

Kalkula dezagun q₁ kargaren balioa eta bere posizioa, x₁, lehenengo esfera (r erradioduna) ekipotentziala izan dadin,  nahiz eta horrela bigarrena (R erradioduna) ez den jada ekipotentziala izango:

A puntuko potentziala (-r, 0) q₁ eta Q₁ kargen eraginez nulua izan behar da:

Eta B puntuan ere (r, 0) q₁ eta Q₁ kargen eraginez nulua izan behar da:

Ekuazio biko sistema honetatik q₁ eta x₁ ezezagunak bakandu daitezke:

4. Orain jada bigarren esfera (R erradioduna) ez da ekipotentziala, baina bere barnean Q₂  karga kokatuko dugu bere zentrotik X₂ distantziara:

Kalkula ditzagun Q₂ eta X₂ aldagaiak bigarren esfera (R erradioduna) gainazal ekipotentziala izan dadin, nahiz eta horrela lehenengoa (r erradioduna) ez den jada ekipotentziala izango:

C puntuan (d-R, 0) potentziala nulua izan behar da Q₂ eta q₁ kargen eraginez ,

Eta D puntuan ere (d+R, 0) potentziala nulua izan behar da Q₂ eta q₁ kargen eraginez

Ekuazio biko sistema honetatik Q₂ eta X₂ ezezagunak bakandu daitezke:

5. Azken urratsaren ondoren lehenengo esfera (r erradioduna) ez da ekipotentziala, eta horretarako bere barruan q₂ karga kokatuko dugu bere zentrotik x₂ distantziara.

Kalkula ditzagun q₂ eta x₂ aldagaiak lehenengo esfera (r erradioduna) gainazal ekipotentziala izan dadin, nahiz eta horrela bigarrena (R erradioduna) ez den jada ekipotentziala izango:

A puntuan (-r, 0) potentziala nulua izan behar da q₂ eta Q₂ kargen eraginez

Eta B puntuan ere (r, 0) potentziala nulua izan behar da q₂ eta Q₂ kargen eraginez

Ekuazio biko sistema honetatik q₂ eta x₂ ezezagunak bakandu daitezke:

eta horrela behin eta berriz etengabe

Erlazio errekurtsiboak

q_i eta Q_i karga-segida hauen balioak eta beraien posizioak, x_i eta X_i kalkula daitezke ondoko erlazio errekurtsiboen bitartez:

Adibidea:

Demagun d=5, r=1, R=0.5, V₁=1, V₂=0.

Ipin dezagun karga bat lehenengo esferaren zentroan: q₀

V₁=q₀/r, q₀=1

Karga-segidak sortutako eremua eta potentziala

Kalkula dezagun P(x, y) puntu batean eremu eta potentzial elektrikoa karga-bikote bakar baten eraginez: q_i karga x_i posizioan, eta Q_i karga d-X_i  posizioan.

q_i kargak sortutako eremua E₁ izendatuko dugu, eta bere modulua hau da:

Q_i kargak sortutako eremua ordea, E₂ izendatuko dugu, eta bere modulua hau da:

Karga-bikote horrek sortutako eremu totala E_i da eta bere osagaiak hauek dira:

E_ix=E₁·cosθ₁-E₂·cosθ₂
E_iy=E₁·sinθ₁+E₂·sinθ₂

P puntuan bertan karga-bikoteak eragindako potentziala, V_i , hau da:

Eremu totala (eta potentzial totala) bikote guztiek sortutako eremuen (eta potentzial) guztien batura baino ez da.

Saiakuntza

Ezkerreko esferaren erradioa, r=1 hartu da, erreferentziazko unitatetzat.

Eskumako esferaren potentziala V₂=0 hartu da, Lurrera konektatua.

Idatzi beharrekoa:

• Esfera bien zentroen arteko d  Distantzia, desplazamendu-barra mugituz eta r erreferentziatzat hartuta.

• Bigarren esferaren erradioa, R, Erradioa 2 laukitxoan, hau ere, r erreferentziazko unitatetzat erabilita.

• Lehenengo esferaren potentziala, V₁, Potentziala 1 laukitxoan.

Berria botoia sakatu.

Esferen zentroen arteko d distantzia, posiblea dena baino txikiagoa bada, alegia, r+R+0.5 baino txikiagoa, programak ez du kalkulurik egiten, distantzia handiago bat idatzi arte.

Programak marrazten ditu eremu-lerroak (zuriz) eta gainazal ekipotentzialak (urdinez).