Zeruko gorputzen dinamika

Energia eta momentu angeluarra koordenatu polarretan

Ibilbidearen ekuazioa

Kepler-en hirugarren legea

Orri honetan aztertuko dugu partikula batek duen ibilbidea, distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala den indar baten eraginpean, eta ibilbidearen ekuazioa deduzituko dugu.

Horrelako indarrak dira, alegia zentralak eta kontserbakorrak, erakarpen grabitatorioa eta indar elektrostatikoa, beraz, partikularen  energia eta momentu angeluarra kontserbatu egiten dira bere ibilbideko puntu guztietan.

Posizioa eta abiadura koordenatu polarretan

P puntu baten posizioa planoan adierazteko erabil daitezke: r distantzia eta q angelua.

Hona hemen koordenatu cartesiarrekin duten erlazioa:

x=r·cosq
y=r·sinq

Partikularen abiadura ere koordenatu polarretan adieraz daiteke. Abiaduraren osagai erradiala eta berarekiko perpendikularra edo ortorradiala.

Koordenatu polarretako bektore unitarioak r eta q dira, irudiak erakusten dituenak. Kalkula ditzagun euren osagai cartesiarrak:

r denborarekiko deribatuz:

Beraz, abiadura-bektorearen osagaiak koordenatu polarretan:

Energia eta momentu angeluarra koordenatu polarretan

Partikularen energia koordenatu polarretan adieraz daiteke:

Izan ere, k/r da, indar kontserbakorrari dagokion energia potentziala: F=k/r².

Eta  k= -GMm , interakzioa grabitatorioa bada.

baina interakzioa elektrostatikoa bada (Coulomb-arra).

• k  negatiboa da, indarra erakarlea denean.
• k positiboa da, indarra aldaratzailea denean.

Partikularen L momentu angeluarra ere koordenatu polarretan adieraz daiteke:

momentu angeluarraren adierazpenean dq /dt bakan daiteke eta energiaren adierazpenean ordezkatu, eta honako ekuazioa lortzen da:

Ibilbidearen ekuazioa

Ekuazio bi horietatik dt elimina daiteke eta horrek ibilbidearen ekuazioa ematen du:

Integratzeko, aldagaia aldatu behar da: u=1/r

Eta geratu den integrala mota honetakoa da:

non  a=L²/(2m), b=k, c=E

Aldaketa egiten da:

Eta orain, aldaketak desegin:

b-ren zeinuaren arabera (edo k-rena, zeren b=k) emaitza posible bi daude:

Positiboa bada: (b=k>0)

Eta negatiboa bada: (b=k<0)

• Emaitza bietatik lehena, hiperbola baten ekuazioa da, koordenatu polarretan adierazita.
• Eta bigarrena, orokorrean "konika" bat da (plano batekin kono bat moztean sortzen diren kurbak: elipsea, parabola edo hiperbola) e eszentrikotasunaren balioaren arabera.

Kepler-en hirugarren legea

Irudiak erakusten du planeta bat orbita eliptikoa deskribatzen S erakarpen-zentroaren inguruan. Planetaren posizioa t aldiunean r bektoreak adierazten du.

Denbora-tarte txiki batean planeta desplazatu egiten da, v·dt distantzia. Posizio-bektoreak ekortzen duen azalera denbora-tarte horretan, hiruki gorriaren azalera da:

Planetaren momentu angeluarra hau da: L=r´mv. Baina erakarpen-indarra zentrala denez, L momentu angeluar hori konstantea da bai moduluan, zein norabidean:

Elipse baten azalera da, A=p ab, eta posizio bektoreak osorik ekortzeko (edo estaltzeko) tardatzen duen denbora P periodoa da. Hortaz:

P=2mp ab/L

Ekuazio horretatik abiatuta Kepler-en hirugarren legea lortzen da:

• Erakarpen-indarra zentrala da

Irudiak erakusten du, planeta erakarpen-zentrora gehien hurbiltzen den posizioan (r2) eta gehien urruntzen den posizioan (r1), planetaren momentu angeluarra honakoa dela: L=mr2·v2= mr1·v1.

• Erakarpen-indarra kontserbakorra da

Planetaren energia totala konstantea da bere orbitaren puntu guztietan:

Energiaren eta momentu angeluarraren ekuazioetatik v₁ eta v₂ elimina daitezke:

Eta elipsearen geometriaren arabera:

Eta c da, fokuen arteko distantziaren erdia. Elipse baten a ardatzerdi nagusiaren eta b ardatzerdi laburraren arteko erlazioa hau da: a²-b²=c². Beraz, r₁·r₂=b²

Planetaren L momentu angeluarraren modulua elipsearen ardatzerdien menpe berridatz daiteke:

Eta L-ren balio hori P periodoaren adierazpenean ordezkatzen bada, hain zuzen Kepler-en hirugarren legea lortzen da: