Ibilbidearen ekuazioa

prev.gif (997 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Zeruko gorputzen dinamika

Kepler-en legeak
Grabitazioaren
legearen aurkikuntza 
Indar zentrala eta
kontserbakorra
marca.gif (847 bytes)Ibilbidearen ekuazioa
Ekuazioen soluzio
numerikoa
Ibilbide hiperbolikoak
Transferentziazko orbita
Martitzera joan eta etorri
Ibilbide espirala
Ontzi espazial bat
Jupiterrera bidaltzea
Energia bereko orbitak
Jaurtigai baten ibilbidea (I)
Jaurtigai baten ibilbidea (II)
Higidura erlatiboa
Orbitan dagoen satelitea
Lurrerantz erortzen
Planeten eraztunak
Indar zentral bat
eta perturbazio bat
Euler-en problema
Bidaia bat ilargira
Posizioa eta abiadura koordenatu polarretan

Energia eta momentu angeluarra koordenatu polarretan

Ibilbidearen ekuazioa

Kepler-en hirugarren legea

 

Orri honetan aztertuko dugu partikula batek duen ibilbidea, distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala den indar baten eraginpean, eta ibilbidearen ekuazioa deduzituko dugu.

Horrelako indarrak dira, alegia zentralak eta kontserbakorrak, erakarpen grabitatorioa eta indar elektrostatikoa, beraz, partikularen  energia eta momentu angeluarra kontserbatu egiten dira bere ibilbideko puntu guztietan.

 

Posizioa eta abiadura koordenatu polarretan

polar_1.gif (1689 bytes)

P puntu baten posizioa planoan adierazteko erabil daitezke: r distantzia eta q angelua.

Hona hemen koordenatu cartesiarrekin duten erlazioa:

x=r·cosq
y=r·
sinq

Partikularen abiadura ere koordenatu polarretan adieraz daiteke. Abiaduraren osagai erradiala eta berarekiko perpendikularra edo ortorradiala.

polar_2.gif (2122 bytes)

polar_3.gif (1745 bytes)  Koordenatu polarretako bektore unitarioak r eta q dira, irudiak erakusten dituenak. Kalkula ditzagun euren osagai cartesiarrak:

r denborarekiko deribatuz:

Beraz, abiadura-bektorearen osagaiak koordenatu polarretan:

 

Energia eta momentu angeluarra koordenatu polarretan

Partikularen energia koordenatu polarretan adieraz daiteke:

Izan ere, k/r da, indar kontserbakorrari dagokion energia potentziala: F=k/r2.

Eta  k= -GMm , interakzioa grabitatorioa bada.

baina interakzioa elektrostatikoa bada (Coulomb-arra).

  • k  negatiboa da, indarra erakarlea denean.
  • k positiboa da, indarra aldaratzailea denean.

Partikularen L momentu angeluarra ere koordenatu polarretan adieraz daiteke:

momentu angeluarraren adierazpenean dq /dt bakan daiteke eta energiaren adierazpenean ordezkatu, eta honako ekuazioa lortzen da:

 

Ibilbidearen ekuazioa

Ekuazio bi horietatik dt elimina daiteke eta horrek ibilbidearen ekuazioa ematen du:

Integratzeko, aldagaia aldatu behar da: u=1/r

Eta geratu den integrala mota honetakoa da:

non  a=L2/(2m), b=k, c=E

Aldaketa egiten da:

Eta orain, aldaketak desegin:

b-ren zeinuaren arabera (edo k-rena, zeren b=k) emaitza posible bi daude:

Positiboa bada: (b=k>0)

Eta negatiboa bada: (b=k<0)

  • Emaitza bietatik lehena, hiperbola baten ekuazioa da, koordenatu polarretan adierazita.
  • Eta bigarrena, orokorrean "konika" bat da (plano batekin kono bat moztean sortzen diren kurbak: elipsea, parabola edo hiperbola) e eszentrikotasunaren balioaren arabera.

 

Kepler-en hirugarren legea

kepler_a1.gif (2032 bytes) Irudiak erakusten du planeta bat orbita eliptikoa deskribatzen S erakarpen-zentroaren inguruan. Planetaren posizioa t aldiunean r bektoreak adierazten du.

Denbora-tarte txiki batean planeta desplazatu egiten da, v·dt distantzia. Posizio-bektoreak ekortzen duen azalera denbora-tarte horretan, hiruki gorriaren azalera da:

Planetaren momentu angeluarra hau da: L=r´mv. Baina erakarpen-indarra zentrala denez, L momentu angeluar hori konstantea da bai moduluan, zein norabidean:

Elipse baten azalera da, A=p ab, eta posizio bektoreak osorik ekortzeko (edo estaltzeko) tardatzen duen denbora P periodoa da. Hortaz:

P=2mp ab/L

Ekuazio horretatik abiatuta Kepler-en hirugarren legea lortzen da:

kepler_a2.gif (2136 bytes) Irudiak erakusten du, planeta erakarpen-zentrora gehien hurbiltzen den posizioan (r2) eta gehien urruntzen den posizioan (r1), planetaren momentu angeluarra honakoa dela: L=mr2·v2= mr1·v1.

Planetaren energia totala konstantea da bere orbitaren puntu guztietan:

Energiaren eta momentu angeluarraren ekuazioetatik v1 eta v2 elimina daitezke:

Eta elipsearen geometriaren arabera:

r1=a+c
r2=a-c

Eta c da, fokuen arteko distantziaren erdia. Elipse baten a ardatzerdi nagusiaren eta b ardatzerdi laburraren arteko erlazioa hau da: a2-b2=c2. Beraz, r1·r2=b2

Planetaren L momentu angeluarraren modulua elipsearen ardatzerdien menpe berridatz daiteke:

Eta L-ren balio hori P periodoaren adierazpenean ordezkatzen bada, hain zuzen Kepler-en hirugarren legea lortzen da: