La función gamma

Factorial de un número

Recordaremos en primer lugar, el concepto de factorial de un número entero positivo n.

n!=n·(n-1)·(n-2)...3·2·1

MATLAB dispone de una función denominada factorial, lo calculamos también con la función prod.

>> 1*2*3*4*5
ans =   120
>> factorial(5)
ans =   120
>> prod(1:5)
ans =   120

La función gamma

Se define del siguiente modo

Γ(z)= 0 e t t z1 dt

Donde z puede ser un número real o complejo. En esta página solamente estudiaremos el caso en el que z sea real y positivo

Esta función es más complicada en la parte negativa de z, tiene asíntotas verticales para z=0, -1, -2, -3...

Representamos gráficamente la función gamma para z>0, llamando a la función del mismo nombre disponible en MATLAB.

>> fplot(@gamma,[0.1,4])
>> grid on
>> xlabel('x')
>> ylabel('\gamma(x)')
>> title('Función gamma')

Calculamos el mínimo de la función aproximadamente.

>> x=1:0.01:2;
>> y=gamma(x);
>> yp=diff(y);
>> idx=find(abs(yp)<0.0001);
>> x(idx)
ans =    1.4500    1.4600
>> y(idx)
ans =    0.8857    0.8856

El mínimo se encuentra entre 1 y 2 en la posición x=1.46 y vale 0.8856.

Relaciones

Relacionamos Γ(z+1) con Γ(z)

Γ(z+1)= 0 e t t z dt

Integrando por partes

u·dv =uv v·du u= t z du=z t z1 dt dv= e t dtv= e t Γ(z+1)= 0 e t t z dt = [ e t t z ] 0 +z 0 e t t z1 dt =z 0 e t t z1 dt Γ(z+1)=zΓ(z)z>0

Mediante esta relación calculamos el valor de la función gamma, para z=1,2,3,4,...

Γ(1)= 0 e t dt =1 Γ(2)=1·Γ(1)=1 Γ(3)=2·Γ(2)=2 Γ(4)=3·Γ(2)=6 ..... Γ(n+1)=n·Γ(n)=n!

>> z=1:6;
>> gamma(z)
ans =     1     1     2     6    24   120

Calculamos la función Γ(z) para valores fraccionarios de z. Por ejemplo, para z=1/2

Γ(1/2 )= 0 e t t 1/2 dt

>> syms t;
>> y=exp(-t)/sqrt(t);
>> int(y,0,inf)
ans =pi^(1/2)

Para calcular el valor de la integral hacemos el cambio t=y2.

Γ(1/2 )=2 0 exp( y 2 )dy

Se puede consultar en la tablas el valor de esta integral, o resolverla del siguiente modo

I 2 =( 0 exp ( α x 2 )dx )( 0 exp ( α y 2 )dy )= 0 0 exp( α( x 2 + y 2 ) ) dx·dy

Cambiamos de coordenadas rectangulares a polares. En coordendas polares el elemento diferencial de área dx·dy=(r·dθ)dr

x 2 + y 2 = r 2 dx·dy=(r·dθ)dr 0 π/2 0 exp( α r 2 ) r·dr·dθ= π 2 0 exp( α r 2 )·r·dr= π 4α I= 0 exp ( α x 2 )dx= 1 2 π α

Finalmente, utilizando la relación anterior Γ(z+1)=z·Γ(z)

Γ(1/2 )= π Γ(3/2 )= 1 2 Γ(1/2 )= 1 2 π .... Γ( n+ 1 2 )= 1·3·5···(2n1) 2 n π

>> n=6;
>> num=2*(1:n)-1;
>> prod(num)*sqrt(pi)/2^n
ans =  287.8853
>> gamma(n+1/2)
ans =  287.8853

Referencias

Special functions and their applications. N.N. Lebedev. Prentice Hall Inc. 1965