El tubo-capilar

Partimos de la ley de Poiseuille

G= π 8 ( p 1 p 2 ) R 4 ηL

la diferencia de presión p1-p2 entre los extremos del capilar es igual a la presión que ejerce la altura h de la columna de fluido de densidad ρ. Luego, p1-p2=ρgh

Si G es el volumen de fluido que sale del capilar en la unidad de tiempo, la altura h de la columna de fluido disminuye, de modo que

S dh dt = π 8 ρgh R 4 ηL

Siendo S la sección del tubo. Escribimos la ecuación anterior

dh dt =λhλ= π 8 R 4 ρg ηLS

donde λ se denomina constante del tubo-capilar.

Integrado la ecuación diferencial, con la condición inicial de que en el instante t=0, la altura inicial sea h=h0.

h 0 h dh h =λ 0 t dt h= h 0 exp(λt)

La altura de la columna de fluido h decrece exponencialmente con el tiempo t.

Tomando logaritmos neperianos

lnh=lnh0-λt

Si realizamos la representación gráfica de lnh frente a t obtenemos una línea recta de pendiente –λ.

En el laboratorio de la Escuela de Ingeniería de Eibar (véase el primer artículo citado en las referencias) se ha realizado las siguientes medidas de la altura h de fluido en función del tiempo t con un tubo-capilar usando aceite de automóvil.

h (cm) t1 (s) t2 (s)
47.5 0 0
45 14 7
42.5 29 14
40 45 22
37.5 62 30
35 81 39
32.5 101 48
30 122 58
27.5 145 69
25 170 81
22.5 197 94
20 232 109
17.5 265 126
15 307 146
12.5 355 169
10 417 197
7.5 500 237
5 610 288
t1=[0,14,29,45,62,81,101,122,145,170,197,232,265,307,355,417,500,610];
t2=[0,7,14,22,30,39,48,58,69,81,94,109,126,146,169,197,237,288];
h=47.5:-2.5:5;
hold on
plot(t1,h,'-ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(t2,h,'-bo','markersize',3,'markerfacecolor','b')
hold off
ylim([0,48])
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('h (cm')
title('Tubo-capilar')

Calculamos la constante de uno de los dos tubos-capilares

t1=[0,14,29,45,62,81,101,122,145,170,197,232,265,307,355,417,500,610];
h=47.5:-2.5:5;
plot(t1,log(h),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('log(h)')
title('Tubo-capilar')

Aparece la ventana gráfica. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.

Si introducimos los datos t, y ln(h) obtenemos una línea recta de pendiente -0.0037, de modo que la constante λ=0.0037 s-1.

Si disponemos de los datos relativos a

Despejamos la viscosidad η del fluido de la fórmula que nos relaciona valor de la constante λ del tubo-capilar, con dichos parámetros, deducida al principio de este apartado.

Vida media

La vida media de unas sustancia radioactiva se define como el tiempo τ necesario para que el número de núcleos activos se reduzca a la mitad.

Relacionamos la vida media τ del tubo-capilar y su constante λ , poniendo h=h0/2.

h 0 2 = h 0 exp(-λτ)             τ= ln2 λ

Fenómenos físicos análogos

La ecuación que describe la descarga de un tubo-capilar es similar a la descarga de un condensador a través de una resistencia y a la desintegración radioactiva.

Las variables físicas análogas se recogen en el siguiente cuadro

Fluidos Electricidad Radioactividad
h, altura de la columna de fluido q, carga del condensador N, número de núcleos sin desintegrar
dh/dt, velocidad de decrecimiento i=dq/dt, intensidad de la corriente eléctrica dN/dt, actividad radioactiva en valor absoluto
λ , constante del tubo-capilar 1/RC, constante del circuito λ , constante de desintegración

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Comienza a salir el fluido por el capilar. Simultáneamente, se traza la curva que nos describe la altura de fluido en función del tiempo. Observamos que es una función exponencial decreciente. Se marca el tiempo que tarda en alcanzarse la mitad de la altura inicial, lo que se conoce como vida media.

Otros tubos capilares

El aceite de automóvil tiene alta viscosidad, por lo que la longitud del capilar puede ser reducida (menor que 15 cm). Sin embargo, la utilización de aceite en un laboratorio escolar puede ser un inconveniente cuando las medidas las realizan los estudiantes.

Depósito de agua de sección constante

El agua tiene una baja viscosidad, por lo que el capilar tiene que tener bastante longitud, para asegurarse que el agua fluye en régimen laminar. En el segundo artículo citado en las referencias, se proporcionan los datos de un tubo-capilar que utiliza agua como fluido.

Depósito de agua de sección variable

Se puede evitar el largo capilar, construyendo un depósito de sección variable, una de cuyas paredes no es vertical, sino de forma que su sección disminuye con la altura, tal como se muestra en la figura.

Vamos a mostrar que cuando la forma de la parte curva del depósito es y=c/x2

donde c es constante, la variación de la altura h del agua del depósito disminuye exponencialmente con el tiempo t.

Elegimos dos puntos del fluido, el 1 en la superficie libre, la sección del depósito es S1 y la velocidad del fluido en dicha sección es v1. El punto 2 está en el extremo del capilar de pequeña sección S2, la velocidad del fluido a la salida del depósito es v2.

La ecuación de continuidad se escribe

v1S1=v2S2

y la ecuación de Bernoulli

p 1 +ρg y 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 +ρg y 2 + 1 2 ρ v 2 2

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p1=p2=p0.

La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido

De estas dos ecuaciones obtenemos v1 y v2

v 2 = S 1 2gh S 1 2 S 2 2

Si S1>>S2 obtenemos

v 2 = 2gh

El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S2v2, y en el tiempo dt será S2v2dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito

-S1dh= S2v2dt

La sección rectangular variable S1 es el producto del lado a de longitud constante y del lado de longitud variable.

S 1 =a c h

donde c es una constante. La variación de la altura h del fluido en el depósito con el tiempo t se escribe

a c h dh= S 2 2gh ·dt dh h =λ·dt

donde λ se denomina constante del tubo-capilar.

Integrado la ecuación diferencial, con la condición inicial de que en el instante t=0, la altura inicial sea h=h0.

h=h0·exp(-λt)

En el tercer artículo citado en las referencias se dan detalles del depósito empleando. Las dimensiones de las partes rectas es de 25.4 cm (10 in)

La parte curva tiene la forma y=819.1/x2  cm, de modo que cuando x=25.4 cm (10 in) y=1.27 cm (0.5 in). El depósito no se extiende obviamente, hasta el infinito sino que se corta a esta distancia 25.4 cm. Por tanto, la altura del fluido en función del tiempo, no proporciona buenos resultados cuando h es inferior a 1.27 cm.

Referencias

Franco A. Analogías Físicas (Mecánica, Electricidad, Fluidos) . Documentación E.I. (Enseñanzas Integradas). Vol 6 (3), 1982, págs. 63-69

I A Sianoudis, E Drakaki An approach to Poiseuille's law in an undergraduate laboratory experiment. Eur. J. Phys. 29 (2008) pp. 489-495

Bohn J. L., Nadig F. H., Hydrodynamic model for demostrations in radioactivity. Am. J. Phys. 22 (1954), pp. 320-323

Smithson J. R., Pinkston E. R., Half-life of a water column as a laboratory exercise in exponential decay.  Am. J. Phys. 28 (1960) pp. 740-742.