Supongamos la superficie

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}}$

La longitud de la línea que une dos puntos A y B y que está contenida en dicha superficie es

${\displaystyle \begin{array}{l}L={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}ds}={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}}\\ dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv,dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv,dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv\\ d{x}^2={\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)}^{2}d{u}^2+{\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)}^{2}d{v}^2+2\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}dudv\\ d{y}^2={\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)}^{2}d{u}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)}^{2}d{v}^2+2\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}dudv\\ d{z}^2={\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)}^{2}d{u}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)}^{2}d{v}^2+2\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}dudv\\ L={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\sqrt{\left[{\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)}^2\right]d{u}^2+\left[{\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)}^2\right]d{v}^2+2\left[\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}\right]dudv}}\\ L={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\sqrt{P+R{\left(\frac{dv}{du}\right)}^2+2Q\frac{dv}{du}}}·du={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\sqrt{P+R{\dot{v}}^2+2Q\dot{v}}}·du\end{array}}$

Emplemos el cálculo de variaciones para determinar la curva que pasa por los puntos A y B contenida en dicha superficie y cuya longitud L sea mínima. Vamos a considerar dos casos particulares:

1. P y R son funciones de u y Q=0

La función integrando, $f(u,\dot{v})$, no depende de v. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial \dot{v}}=c_1\\ \frac{R\dot{v}}{\sqrt{P+R{\dot{v}}^2}}=c_1\\ R^2{\left(\frac{dv}{du}\right)}^2=c_1^2\left(P+R{\left(\frac{dv}{du}\right)}^2\right)\\ v=c_1{\displaystyle \int \frac{\sqrt{P}}{\sqrt{R^2-c_1^{2}R}}du}+c_2\end{array}}$

2. P y R son funciones de v y Q=0

La función integrando, $f(v,\dot{v})$, no depende de u. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}f-\frac{\partial f}{\partial \dot{v}}\dot{v}=c_1\\ \sqrt{P+R{\dot{v}}^2}-\frac{R{\dot{v}}^2}{\sqrt{P+R{\dot{v}}^2}}=c_1\\ P^2-P{c}_1^2=R{\left(\frac{dv}{du}\right)}^2\\ u=c_1{\displaystyle \int \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{P^2-c_1^{2}P}}dv}+c_2\end{array}}$

Superficie esférica

La ecuación de una superficie esférica de radio r es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\cos \phi \sin \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \theta \end{array}}$

Para esta superficie, u es φ y v es θ

${\displaystyle \begin{array}{l}P={\left(\frac{\partial x}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \phi }\right)}^2=r^2{\sin }^2\phi {\sin }^2\theta +r^2{\cos }^2\phi {\sin }^2\theta =r^2{\sin }^2\theta \\ R={\left(\frac{\partial x}{\partial \theta }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \theta }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \theta }\right)}^2=r^2{\cos }^2\phi {\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\phi {\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta =r^2\\ Q=\frac{\partial x}{\partial \phi }\frac{\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial y}{\partial \phi }\frac{\partial y}{\partial \theta }+\frac{\partial z}{\partial \phi }\frac{\partial z}{\partial \theta }=-r^2\sin \phi \sin \theta ·\cos \phi \cos \theta +r^2\cos \phi \sin \theta ·\sin \phi \cos \theta =0\end{array}}$

La longitud de la línea que une dos puntos A y B de la superficie esférica y que está contenida en dicha superficie es

${\displaystyle L=r{\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\sqrt{{\sin }^2\theta +{\left(\frac{d\theta }{d\phi }\right)}^2}}·d\phi }$

Q=0, P y R son funciones de v=θ. Estamos en el segundo caso con u=φ

${\displaystyle \phi =c_1{\displaystyle \int \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{P^2-c_1^{2}P}}d\theta }+c_2}$

Resolvemos la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}{c}_1{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{r^2{\sin }^4\theta -c_1^2{\sin }^2\theta }}d\theta }={\displaystyle \int \frac{\frac{1}{{\sin }^2\theta }}{\sqrt{{\left(\frac{r}{c_1}\right)}^2-\frac{1}{{\sin }^2\theta }}}d\theta }={\displaystyle \int \frac{\frac{1}{{\sin }^2\theta }}{\sqrt{{\left(\frac{r}{c_1}\right)}^2-\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }}}d\theta }=\\ {\displaystyle \int \frac{\frac{1}{{\sin }^2\theta }}{\sqrt{\left({\left(\frac{r}{c_1}\right)}^2-1\right)-\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }}}d\theta }={\displaystyle \int \frac{-dw}{\sqrt{\left({\left(\frac{r}{c_1}\right)}^2-1\right)-w^2}}}=\\ -\arcsin \left(\frac{w}{\sqrt{\left({\left(\frac{r}{c_1}\right)}^2-1\right)}}\right)=-\arcsin \left(\frac{\cot \theta }{\sqrt{\left({\left(\frac{r}{c_1}\right)}^2-1\right)}}\right)\end{array}}$

Obtenemos la ecuación del plano que pasa por dos puntos y el origen. Su intersección con la superficie esférica de radio r es una circunferencia máxima

${\displaystyle \begin{array}{l}\phi =-\arcsin \frac{\cot \theta }{c_3}+c_2\\ \sin \left(c_2-\phi \right)-\frac{\frac{\cos \theta }{\sin \theta }}{c_3}=0\\ \sin c_2·r·\sin \theta \cos \phi -\cos c_2·r\sin \theta \sin \phi -\frac{r\cos \theta }{c_3}=0\\ x\sin c_2-y\cos c_2-\frac{z}{c_3}=0\\ \sin A·x-\cos A·y-Bz=0\end{array}}$

Elegimos dos puntos de la superficie esférica de radio unidad, r=1, especificando sus ángulos (φ, θ).

${\displaystyle P_1\{\begin{array}{l}{x}_1=\cos {\phi }_1\sin {\theta }_1\\ y_1=\sin {\phi }_1\sin {\theta }_1\\ z_1=\cos {\theta }_1\end{array}{P}_2\{\begin{array}{l}{x}_2=\cos {\phi }_2\sin {\theta }_2\\ y_2=\sin {\phi }_2\sin {\theta }_2\\ z_2=\cos {\theta }_2\end{array}}$

Determinamos la ecuación del plano que pasa por el origen y por los puntos P₁ y P₂.

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\sin A·x_1-\cos A·y_1-B·z_1=0\\ \sin A·x_2-\cos A·y_2-B·z_2=0\end{array}\\ A=\arctan \left(\frac{y_1{z}_2-y_2{z}_1}{x_1{z}_2-x_2{z}_1}\right)\\ B=\frac{\sin A·x_1-\cos A·y_1}{z_1}\end{array}}$

Para trazar la circunferencia máxima, en la ecuación del plano, sustituimos x, y, z en coordenadas polares de radio r=1

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin A·x-\cos A·y-Bz=0\\ \sin A·\cos \phi \sin \theta -\cos A·\sin \phi \sin \theta -B\cos \theta =0\\ \sin \theta \left(\sin A·\cos \phi -\cos A·\sin \phi \right)=B\cos \theta \\ \tan \theta =\frac{B}{\sin (A-\phi )}\end{array}}$

Damos valores a φ entre 0 y 2π, obtenemos el ángulo θ, dibujamos el punto de coordenadas (φ,θ), unimos los puntos para trazar la circunferencia máxima que pasa por P₁ y P₂

Ejemplo

• Punto P₁: φ=0, θ=π/4 (45°)
• Punto P₂: φ=π/2, θ=π/2 (90°) en el ecuador

phi=linspace(0,pi,30);
theta=linspace(0,2*pi,40);
[phi,theta]=meshgrid(phi,theta);
x=sin(phi).*cos(theta);
y=sin(phi).*sin(theta);
z=cos(phi);
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6]);

%punto P1
th=pi/4;
phi=0;
x1=cos(phi)*sin(th);
y1=sin(phi)*sin(th);
z1=cos(th);
plot3(x1,y1,z1,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')

%punto P2
th=pi/2;
phi=pi/2;
x2=cos(phi)*sin(th);
y2=sin(phi)*sin(th);
z2=cos(th);
plot3(x2,y2,z2,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')

%plano
A=atan2((y1*z2-y2*z1),(x1*z2-x2*z1));
B=(x1*sin(A)-y1*cos(A))/z1;
[x,y] = meshgrid(-1:0.1:1);
z = (x*sin(A)-y*cos(A))/B;
mesh(x,y,z)

%geodésica
phi=(0:360)*pi/180;
th=atan2(B,sin(A-phi));
plot3(cos(phi).*sin(th),sin(phi).*sin(th),cos(th), 'r','lineWidth',1.5)

axis equal
axis off
view(100,5)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Superficie esférica')

En la figura, vemos los dos puntos en color azul, el plano que pasa por los dos puntos y el origen y su intersección con la superficie esférica de radio unidad, línea gruesa de color rojo

Eliminaremos el plano y dibujaremos los puntos P₁ y P₂ y la circunferencia que pasa por dichos puntos

Los caso particulares más simples se producen cuando los puntos P₁ y P₂ están en el mismo meridiano φ=0, la circunferencia máxima es el meridiano. O cuando ambos están en el ecuador, θ=π/2

Otro caso particular, se produce cuando los P₁ y P₂ están alineados con el origen. P₁ y P₂ son antípodas. Hay infinitas circunferencias máximas que pasan por los dos puntos

phi=linspace(0,pi,30);
theta=linspace(0,2*pi,40);
[phi,theta]=meshgrid(phi,theta);
x=sin(phi).*cos(theta);
y=sin(phi).*sin(theta);
z=cos(phi);
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6]);

%punto P1
th=pi/4;
phi=0;
x1=cos(phi)*sin(th);
y1=sin(phi)*sin(th);
z1=cos(th);
plot3(x1,y1,z1,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')

%punto P2
th=3*pi/4;
phi=pi;
x2=cos(phi)*sin(th);
y2=sin(phi)*sin(th);
z2=cos(th);
plot3(x2,y2,z2,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')

%plano
A=atan2((y1*z2-y2*z1),(x1*z2-x2*z1));
B=(x1*sin(A)-y1*cos(A))/z1;
%circunferencia máxima
phi=(0:360)*pi/180;
th=atan2(B,sin(A-phi));
plot3(cos(phi).*sin(th),sin(phi).*sin(th),cos(th), 'r','lineWidth',1.5)

axis equal
axis off
view(100,5)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Superficie esférica')

Longitud del arco que une dos puntos

Los vectores que unen el origen con los puntos P₁ y P₂ de la superficie esférica, son

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{O{P}_1}=\cos {\phi }_1\sin {\theta }_1·\widehat{i}+\sin {\phi }_1\sin {\theta }_1·\widehat{j}+\cos {\theta }_1·\widehat{k}\\ \overrightarrow{O{P}_2}=\cos {\phi }_2\sin {\theta }_2·\widehat{i}+\sin {\phi }_2\sin {\theta }_2·\widehat{j}+\cos {\theta }_2·\widehat{k}\end{array}}$

El producto escalar de estos dos vectores de módulo unidad es

${\displaystyle \overrightarrow{O{P}_1}·\overrightarrow{O{P}_2}=\cos \alpha =\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2}$

Conocido el ángulo α, la longitud del arco es s=Rα. Siendo R el radio de la superficie terrestre

Superficie cilíndrica

La ecuación de una superficie lateral cilíndrica de radio r es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \\ z=z\end{array}}$

Para esta superficie, u es z y v es φ

${\displaystyle \begin{array}{l}P={\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial z}\right)}^2=1\\ R={\left(\frac{\partial x}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \phi }\right)}^2=r^2{\sin }^2\phi +r^2{\cos }^2\phi =r^2\\ Q=\frac{\partial x}{\partial z}\frac{\partial x}{\partial \phi }+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial y}{\partial \phi }+\frac{\partial z}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \phi }=0\end{array}}$

La longitud de la línea que une dos puntos A y B de la superficie lateral cilíndrica y que está contenida en dicha superficie es

${\displaystyle L={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\sqrt{1+r^2{\left(\frac{d\theta }{dz}\right)}^2}}·dz}$

Q=0, P y R no son funciones de v=φ. Estamos en el primer caso con u=z

${\displaystyle \begin{array}{l}\phi =c_1{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{r^2-c_1^{2}r}}dz}+c_2\\ \phi =c_{3}z+c_2\end{array}}$

Dados dos puntos P₁ y P₂ de la superficie lateral cilíndrica, calculamos las constantes c₂ y c₃. Dibujamos una superficie cilíndrica de radio r=1 y la espiral φ=0.05z

r=1*ones(30,1);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi);
y=r.*sin(phi);
z=repmat(linspace(0,2,30),30,1);
hold on
surfl(x,y,z);
shading interp
colormap(gray);
%espiral
th=(0:10:6*360)*pi/180;
plot3(cos(th),sin(th),0.05*th, 'r','lineWidth',1.5) 

hold off
axis equal
axis off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Superficie cilíndrica')
view(60,15)

Superficie cónica

La ecuación de una superficie cónica de ángulo α es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\sin \alpha \cos \phi \\ y=r\sin \alpha \sin \phi \\ z=r\cos \alpha \end{array}}$

Para esta superficie, u es r y v es φ

${\displaystyle \begin{array}{l}P={\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}^2={\sin }^2\alpha {\cos }^2\phi +{\sin }^2\alpha {\sin }^2\phi +{\cos }^2\alpha =1\\ R={\left(\frac{\partial x}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial \phi }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \phi }\right)}^2=r^2{\sin }^2\phi {\sin }^2\alpha +r^2{\cos }^2\phi {\sin }^2\alpha =r^2{\sin }^2\alpha \\ Q=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial \phi }+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial \phi }+\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial z}{\partial \phi }=-\sin \alpha \cos \phi ·r\sin \alpha \sin \phi +\sin \alpha \sin \phi ·r\sin \alpha \cos \phi =0\end{array}}$

La longitud de la línea que une dos puntos A y B de la superficie cónica y que está contenida en dicha superficie es

${\displaystyle L={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\sqrt{1+r^2{\sin }^2\alpha {\left(\frac{d\phi }{dr}\right)}^2}}·dr}$

Q=0, P y R no son funciones de v=φ. Estamos en el primer caso con u=r

${\displaystyle \phi =c_1{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{r^4{\sin }^4\alpha -c_1^2{r}^2{\sin }^2\alpha }}dr}+c_2}$

Resolvemos la integral haciendo el cambio de variable, s=rsinα/c₁

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dr}{r\sin \alpha \sqrt{\frac{r^2{\sin }^2\alpha }{c_1^2}-1}}}=\frac{1}{\sin \alpha }{\displaystyle \int \frac{ds}{s\sqrt{s^2-1}}}}$

Hacemos el cambio, s=sect, s=1/cost, ds=sint/cos²t

$\frac{1}{\sin \alpha }{\displaystyle \int dt}=\frac{1}{\sin \alpha }t$

Deshacemos los cambios y despejamos r

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{\sin \alpha }\text{arcsec(s)}\\ \phi =\frac{1}{\sin \alpha }\text{arcsec}\left(\frac{r\sin \alpha }{c_1}\right)-c_2\\ \frac{r\sin \alpha }{c_1}=\frac{1}{\cos \left(\phi \sin \alpha +c_2\right)}\\ r=\frac{c_1}{\sin \alpha ·\cos \left(\phi \sin \alpha +c_2\right)}\end{array}}$

Para una geodésica que pase por los puntos P₁ (φ₁=0, r₁) y P₂ (φ₂, r₂), las constantes c₁ y c₂, valen

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_1=\frac{c_1}{\sin \alpha ·\cos c_2}\\ r_2=\frac{c_1}{\sin \alpha ·\cos \left({\phi }_2\sin \alpha +c_2\right)}\\ \frac{r_1}{r_2}=\frac{\cos \left({\phi }_2\sin \alpha +c_2\right)}{\cos c_2}\\ \tan c_2=\frac{\cos \left({\phi }_2\sin \alpha \right)-\frac{r_1}{r_2}}{\sin \left({\phi }_2\sin \alpha \right)}\\ c_1=r_1\sin \alpha ·\cos c_2\end{array}}$

Ejemplo

• Angulo del cono, α=π/3 (60°)
• Punto P₁: r₁=1, φ₁=0
• Punto P₂: r₂=1, φ₂=5π/6 (150°)

alfa=pi/3;
r=linspace(0,1,30);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(alfa);
y=r.*sin(phi)*sin(alfa);
z=r*cos(alfa);
hold on
surfl(x,y,z);
shading interp
colormap(gray);

%puntos
r1=1;
r2=1;
th_2=5*pi/6;
c2=atan2((cos(th_2*sin(alfa))-r1/r2),sin(th_2*sin(alfa)));
c1=sin(alfa)*cos(c2)*r1;
%geodésica
th=linspace(0,th_2,100);
r=c1./(sin(alfa)*cos(th*sin(alfa)+c2));
x=r.*cos(th)*sin(alfa);
y=r.*sin(th)*sin(alfa);
z=r*cos(alfa);
plot3(x,y,z,'r','lineWidth',1.5)
hold off
axis off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Superficie cónica')
view(47,50)

Comprobamos que para obtener la geodésica, el ángulo φ₂<π/sinα. Si disminuimos el ángulo α del cono podemos aumentar el ángulo φ₂ por encima de 2π, como en este ejemplo

• Angulo del cono, α=π/7 (25.7°)
• Punto P₁: r₁=1, φ₁=0
• Punto P₂: r₂=1, φ₂=6.46 (370°)

Referencias

J Villanueva. Geodesics on surfaces by Variational Calculus. Florida Memorial University, Miami