Formulación discreta de las ecuaciones del movimiento de un cohete

Un cohete expulsa una fracción m de su combustible a intervalos de tiempos fijos (por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Este es un problema similar al de un patinador de masa M en una pista de hielo que arroja repetidamente bolas de masa m con velocidad constante u respecto del patinador o un vehículo propulsado por los proyectiles disparados, que se ha descrito en la sección choques de este capítulo.

Supondremos que el cohete está en el espacio exterior y por tanto, no actúa ninguna fuerza exterior sobre el mismo. Para calcular la velocidad del cohete a medida que va expulsando el combustible aplicamos el principio de conservación del momento lineal.

El cohete tiene una masa M que incluye la carga útil, el combustible y la masa del depósito que lo contiene. Supondremos que el cohete expulsa n fracciones de combustible de masa m a intervalos fijos de tiempo, es decir, en los instantes 0, Δt, 2·Δt...(n-1) ·Δt, alcanzando la velocidad en v1,v2, ....vn, tal como se muestra en la figura.

Velocidad del cohete

  1. En el intervalo (0-Δt)
  2. En el instante inicial t=0, expulsa una fracción m de combustible con una velocidad u respecto del cohete. El cohete pierde una masa m y adquiere una velocidad v1. Si el cohete estaba inicialmente en reposo, su momento lineal es cero. Por tanto, la suma del momento lineal del cohete más el momento lineal del combustible expulsado debe dar cero.

    (M-m)v1+m(-u)=0

    v 1 = m·u Mm

    El cohete se moverá con velocidad constante v1 en el intervalo de tiempo 0-Δt. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante –u.

  3. En el intervalo (Δt-t)
  4. En el instante Δt, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v2.

    El momento lineal inicial del cohete (M-m)v1 es igual al momento final del cohete más la fracción m del combustible expulsado.

    (M-2m)v2+m(v1-u)= (M-m)v1

    v 2 = v 1 + m·u M2m =mu( 1 Mm + 1 M2m )

    El cohete se moverá con velocidad constante v2 en el intervalo de tiempo Δt -2Δt. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v1-u.

  5. En el intervalo (2Δt-t)
  6. En el instante 2Δt, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v2-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v3. Aplicando el principio de conservación del momento lineal, despejamos v3.

    (M-3m)v3+m(v2-u)= (M-2m)v2

    v 3 = v 2 + m·u M3m =mu( 1 Mm + 1 M2m + 1 M3m )

    El cohete se moverá con velocidad constante v3 en el intervalo de tiempo 2Δt -3Δt. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v2-u.

  7. En el intervalo ((n-1)Δt-t)
  8. En el instante (n-1)Δt, el cohete expulsa la última fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o vn-1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad vn.

    v n =mu( 1 Mm + 1 M2m +..+ 1 Mn·m )=mu i=1 n 1 Mi·m

    El cohete se moverá con velocidad constante vn en a partir del instante t=(n-1)Δt. La última fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante vn-1-u.

Momento lineal

En el intervalo de tiempo comprendido entre (i-1)·Δt -i·Δt el momento lineal del cohete es

Pc=(M-i·m)vi

El momento lineal del combustible expulsado, como comprobamos en la primera figura es

Pg=m(-u)+m(v1-u)+m(v2-u)+…m(vi-1-u)

La conservación del momento lineal del sistema aislado formado por el cohete y el combustible que expulsa, exige que ambos momentos sean iguales y de sentido contrario. Pc+Pg=0.

Energía

La energía final del sistema, es la suma de la energía cinética del cohete Ec con velocidad final vn, y la energía cinética Eg de las fracciones de masa m de combustible expulsados con velocidad (-u), (v1-u), (v2-u)(vn-1-u), respectivamente.

E c = 1 2 ( Mn·m ) v n 2 E g = 1 2 m· ( u ) 2 + 1 2 i=1 n1 m ( v i u ) 2

Desplazamiento

El desplazamiento total en el intervalo de tiempo (0-Δt) será

x= i=1 n x i =Δt· i=1 n v i = Δt·mu· i=1 n j=1 i 1 Mm·j

Del modelo discreto al continuo

El paso del modelo discreto al modelo continuo, que veremos en la siguiente página, implica incrementar el número n de fracciones de combustible de modo que la masa m de cada fracción sea cada vez más reducida. En el límite, cuando n tienda a infinito, la masa de cada fracción será una cantidad infinitesimal dm. Vamos a comparar las predicciones del modelo discreto frente a las del modelo continuo.

La masa inicial M es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa del recipiente que será proporcional a la masa del combustible que contiene

masa inicial  M =carga útil+(1+r) ·combustible.

donde r es del orden del 5% ó 0.05.

Tomaremos el intervalo de tiempo Δt =1 s. De modo que, la primera fracción de combustible se expulsa en el instante t=0, la segunda en el instante t=1 s., la tercera en el instante t=2 s, y así sucesivamente. El combustible se agota en el instante t=(n-1) s.

Ejemplo 1:

La masa inicial del cohete es (carga útil+combustible+masa del depósito)

M=800+1.05·9000=10250 kg.

La masa de cada fracción de combustible es m=9000/3=3000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, y t=2 s.

La velocidad con la que se expulsa cada una de las fracciones es u=2000 m/s constante respecto del cohete y está fijada en el programa interactivo.

Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son

(01)s      v 1 =3000·2000 1 102501·3000 =827.6m/s (12)s      v 2 = v 1 +3000·2000( 1 102502·3000 )=2239.3m/s (23)s      v 3 = v 2 +3000·2000( 1 102503·3000 )=7039.3m/s

Intervalo (s) Masa del cohete (kg) Velocidad cohete (m/s) Velocidad del combustible (m/s)
0-1 10250-3000 827.6 -2000
1-2 10250-2·3000 2239.3 827.6-2000
2-3 10250-3·3000 7039.3 2239.3-2000
  1. Desplazamiento del cohete en el intervalo de (0- 3) s es el área bajo la curva escalonada, velocidad-tiempo.
  2. x=827.6·1+2239.3·1+7039.3·1=10106.3 m.

  3. Momento lineal final del cohete:
  4. Pc=(10250-3·3000)·7039.3=8799188.6 kg·m/s

    Momento lineal final de los gases expulsados:

    Pg=3000·(-2000)+3000·(827.6-2000)+3000·(2239.3-2000)=-8799188.6 kg·m/s.

  5. Energía del cohete:
  6. Ec=(10250-3·3000)·7039.32/2=3.097·1010 J

    Energía de los gases expulsados:

    Eg=3000·(-2000)2/2+3000·(827.6-2000)2/2+3000·(2239.3-2000)2/2=8.148·109 J

    La energía total necesaria para que el cohete alcance la velocidad final de 7039.3 m/s es la suma de las dos contribuciones.

    E= Ec+ Eg=3.912·1010 J

n=3; %fracciones
u=2000; %velocidad de disparo (respecto al móvil)
combustible=9000; %combustible
carga=800;  %carga útil
M=carga+1.05*combustible; %masa total
m=combustible/n; %masa de cada fracción
Dt=1; %intervalo de tiempo entre disparos

i=1:n;
vf=m*u*sum(1./(M-i*m));
xf=0;
for i=1:n;
    j=1:i;
    xf=xf+Dt*m*u*sum(1./(M-j*m));
end
fprintf('Velocidad final %4.1f, posición final %5.1f\n',vf,xf);
Velocidad final 7039.4, posición final 10106.3 

Ejemplo 2:

La masa inicial del cohete es (carga útil+combustible+masa del depósito)

M=800+1.05·9000=10250 kg.

La masa de cada fracción de combustible es m=9000/9=1000 kg, se expulsan en los instantes t=0, t=1, ...t=8 s.

La velocidad de expulsión de cada una de las fracciones es de u=2000 m/s respecto del cohete, está fijada en el programa interactivo.

Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son

Intervalo (s) Masa del cohete (kg) Velocidad cohete (m/s) Velocidad del combustible (m/s)
0-1 9250 216.2 -2000
1-2 8250 458.6 216.2-2000
2-3 7250 734.5 458.6-2000
3-4 6250 1054.5 734.5-2000
4-5 5250 1435.5 1054.5-2000
5-6 4250 1906.0 1435.5-2000
6-7 3250 2521.4 1906.0-2000
7-8 2250 3410.3 2521.4-2000
8-9 1250 5010.3 3410.3-2000
  1. El desplazamiento total del cohete en el intervalo (0-9) s es x=16747.4 m
  2. El momento lineal final del cohete es Pc=6262895.8 kg·m/s
  3. El momento lineal final del combustible expulsado es Pg=-6262895.8 kg·m/s

  4. La energía cinética del cohete es Ec=1.57·1010 J
  5. La energía cinética del combustible expulsado es Eg=7.32 109 J.

    La energía total es E= Ec+ Eg=2.30·1010 J.

En el script de MATLAB cambiamos el número de fracciones n de 3 a 9. Corremos el script

Velocidad final 5010.3, posición final 16747.4

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte inferior, vemos el movimiento del cohete, en color azul, y el movimiento de las fracciones de combustible expulsados (en color rojo).

En la parte superior izquierda, tenemos un conjunto de tres barras:

Finalmente, tenemos la representación de la velocidad del cohete en función del tiempo. En color rojo la curva continua describe el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo continuo, que describiremos en las siguientes páginas. En color azul, tenemos una curva escalonada que representa el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo discreto descrito en esta página.

Veremos cómo a medida que se incrementa n las predicciones del modelo discreto se acercan a las del modelo continuo.



Referencias

Bose S. K.. The rocket problem revisited. Am. J. Phys. 51 (5) 1983, pp. 463-464