Movimiento en una superficie cónica

Consideremos una partícula de masa m que se puede mover sobre una superficie cónica de ángulo 2θ bajo la acción de su propio peso. En un instante dado t, la partícula dista r del vértice del cono y hace un ángulo φ con el eje X tal como se muestra en la figura. Describimos el movimiento de la partícula en coordenadas esféricas (r, φ, θ) con el ángulo θ constante.
La posición de la partícula es
Derivando con respecto del tiempo obtenemos las componentes de la velocidad
La energía cinética es
La energía potencial es V=mgz=mgrcosθ
La lagrangiana L=T-V es
Ecuaciones del movimiento
La primera ecuación del movimiento es
La segunda ecuación del movimiento es
Principios de conservación
Como la lagrangiana L es independiente de φ, obtenemos una cantidad h que se conserva
Comprobamos que h está relacionado con la componente Z del momento angular
La ecuación del movimiento en la dirección radial se convierte en
que a su vez es la derivada con respecto del tiempo de una cantidad que se conserva
La conservación de la energía ε se expresa
Energía potencial efectiva
V(r) es la energía potencial efectiva para el movimiento en la dirección radial.
Para un valor dado de la energía ε el movimiento en la dirección radial tiene lugar entre las distancias r1 y r2 dados por las soluciones de la ecuación
theta=pi/3; %ángulo del cono h2=4; %cuadrado del momento angular Lz energia=10; %energía %energia potencial f=@(r) h2/(2*r^2*sin(theta)^2)+9.8*r*cos(theta); fplot(f,[0.2,3],'color','r') ylim([0,20]) line([0,3],[energia,energia],'color','k') %raíces g=@(r) f(r)-energia; r1=fzero(g,0.4); r2=fzero(g,2); line([r1,r1],[0,energia], 'lineStyle','--') line([r2,r2],[0,energia],'lineStyle','--') grid on xlabel('r') ylabel('V(r)') title('Energía potencial')
En vez de utilizar fzero, buscamos las raíces de la ecuación cúbica
>> a=-energia/(9.8*cos(theta)); >> c=h2/(2*9.8*sin(theta)^2*cos(theta)); >> raices_3([1,a,0,c]) ans = -0.4659 1.8882 0.6186
De las tres raíces reales dos son positivas r1 y r2 y una es negativa.
El mínimo de V(r) corresponde a una trayectoria circular de radio r0.
Conocido el momento angular h, despejamos el radio de la trayectoria circular r0
De la constancia del momento angular h, obtenemos la velocidad angular dφ/dt constante de la partícula
Trayectoria sobre la superficie cónica
Para representar la trayectoria seguida por la partícula, partimos de la posición r=r1 en el que se cumple que dr/dt=0, establecemos φ=0. Determinamos la constante h a partir de los datos de r1 y r2. Igualando V(r1)=V(r2) obtenemos
Integramos las dos ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales señaladas para obtener la trayectoria r=r(φ) en la superficie cónica
r1=1; r2=4; %radios mínimo y máximo theta=pi/6; %ángulo del cono %cuadrado del moemnto angular Lz h2=2*9.8*r1^2*r2^2*sin(theta)^2*cos(theta)/(r1+r2); x0=[r1,0,0]; %condiciones iniciales tspan=[0,20]; % x(1)=r, x(2)=dr/dt,x(3)=phi fg=@(t,x)[x(2); h2/(x(1)^3*sin(theta)^2)-9.8*cos(theta); sqrt(h2)/(x(1)^2*sin(theta)^2)]; [t,x]=ode45(fg,tspan,x0); xp=x(:,1).*cos(x(:,3))*sin(theta); yp=x(:,1).*sin(x(:,3))*sin(theta); zp=x(:,1)*cos(theta); hold on view(120,70) %superficie cónica phi=linspace(0,2*pi,40); r=linspace(0,4); [phi,r]=meshgrid(phi,r); x=r.*cos(phi)*sin(theta); y=r.*sin(phi)*sin(theta); z=r*cos(theta); h1=mesh(x,y,z); set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6], 'FaceAlpha',0.5,'EdgeAlpha',0.5) %trayectoria h1=line(xp,yp,zp); set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5) hold off grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en una superficie cónica')
Trayectorias casi circulares
Para una trayectoria circular de radio r0, la velocidad angular dφ/dt es constante
Si el radio r de la trayectoria cambia muy poco con el tiempo, r=r0+δ(t) . Aproximamos 1/r3
>> syms x x0; >> taylor(1/x^3,x,x0,'Order',2) ans =1/x0^3 - (3*(x - x0))/x0^4
Introduciendo esta aproximación en la primera ecuación diferencial
que corresponde a un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular Ω
El cociente Ω/ω es independiente de r0
La trayectoria es cerrada si este cociente es un número racional m/n. Por ejemplo, si θ=60° el cociente es 3/2. Para que el cociente sea 1/2 el ángulo θ=16.8°
Escribimos la aproximación r=r0+δ(t)=r0+ρcos(Ωt). Donde ρ<<r0, es la amplitud
Conocida la expresión de r(t), obtenemos la expresión aproximada del ángulo φ(t), del siguiente modo
%r1=2; %r2=2.5; %radios mínimo y máximo r0=2.25; theta=pi/3; % probar con asin(sqrt(3)/6); w=sqrt(9.8*cos(theta)/r0)/sin(theta); W=sqrt(3*9.8*cos(theta)/r0); t=0:0.01:2*pi*W/w; r=r0+0.25*sin(W*t); phi=w*t-2*(0.25/r0)*(w/W)*sin(W*t); xp=r.*cos(phi)*sin(theta); yp=r.*sin(phi)*sin(theta); zp=r*cos(theta); hold on view(120,70) %superficie cónica phi=linspace(0,2*pi,40); r=linspace(0,4); [phi,r]=meshgrid(phi,r); x=r.*cos(phi)*sin(theta); y=r.*sin(phi)*sin(theta); z=r*cos(theta); h1=mesh(x,y,z); set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6], 'FaceAlpha',0.5,'EdgeAlpha',0.5) %trayectoria h1=line(xp,yp,zp); set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5) hold off grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en una superficie cónica')
Referencias
Ricardo López-Ruiz, Amalio F Pacheco Sliding on the inside of a conical surface, Eur. J. Phys. 23 (2002) 579-589