Movimiento en una superficie cónica

Consideremos una partícula de masa m que se puede mover sobre una superficie cónica de ángulo 2θ bajo la acción de su propio peso. En un instante dado t, la partícula dista r del vértice del cono y hace un ángulo φ con el eje X tal como se muestra en la figura. Describimos el movimiento de la partícula en coordenadas esféricas (r, φ, θ) con el ángulo θ constante.

La posición de la partícula es

{ x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ

Derivando con respecto del tiempo obtenemos las componentes de la velocidad

{ dx dt = dr dt sinθcosφrsinθsinφ dφ dt dy dt = dr dt sinθsinφ+rsinθcosφ dφ dt dz dt = dr dt cosθ

La energía cinética es

T= 1 2 m( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 + ( dz dt ) 2 )= 1 2 m( ( dr dt ) 2 + r 2 sin 2 θ ( dφ dt ) 2 )

La energía potencial es V=mgz=mgrcosθ

La lagrangiana L=T-V es

L= 1 2 m( ( dr dt ) 2 + r 2 sin 2 θ ( dφ dt ) 2 )mgrcosθ L= 1 2 m( r ˙ 2 + r 2 sin 2 θ· φ ˙ 2 )mgrcosθ

Ecuaciones del movimiento

La primera ecuación del movimiento es

d dt ( L r ˙ ) L r =0 d 2 r d t 2 r sin 2 θ ( dφ dt ) 2 +gcosθ=0

La segunda ecuación del movimiento es

d dt ( L φ ˙ ) L φ =0 r 2 sin 2 θ d 2 φ d t 2 =0

Principios de conservación

Como la lagrangiana L es independiente de φ, obtenemos una cantidad h que se conserva

r 2 sin 2 θ dφ dt =h

Comprobamos que h está relacionado con la componente Z del momento angular L=r×mv

L z =m( x dy dt y dx dt )=m r 2 sin 2 θ dφ dt

La primera ecuación se convierte en

d 2 r d t 2 h 2 r 3 sin 2 θ +gcosθ=0

que a su vez es la derivada con respecto del tiempo de una cantidad que se conserva

d dt ( 1 2 ( dr dt ) 2 + h 2 2 r 2 sin 2 θ +grcosθ )=0

La conservación de la energía ε se expresa

1 2 ( dr dt ) 2 + h 2 2 r 2 sin 2 θ +grcosθ=ε

Donde V(r) es la energía potencial efectiva para el movimiento en la dirección radial.

V(r)= h 2 2 r 2 sin 2 θ +grcosθ

Para un valor dado de ε el movimiento en la dirección radial tiene lugar entre las distancias r1 y r2 dados por las soluciones de la ecuación

ε= h 2 2 r 2 sin 2 θ +grcosθ

theta=pi/3; %ángulo del cono
h2=4; %cuadrado del momento angular Lz
energia=10; %energía
%energia potencial
f=@(r) h2/(2*r^2*sin(theta)^2)+9.8*r*cos(theta);
fplot(f,[0.2,3],'color','r')
ylim([0,20])
line([0,3],[energia,energia],'color','k')

%raíces
g=@(r) f(r)-energia;
r1=fzero(g,0.4);
r2=fzero(g,2);
line([r1,r1],[0,energia], 'lineStyle','--')
line([r2,r2],[0,energia],'lineStyle','--')
grid on
xlabel('r')
ylabel('V(r)')
title('Energía potencial')

En vez de utilizar fzero, buscamos las raíces de la ecuación cúbica

r 3 ε gcosθ r 2 + h 2 2g sin 2 θcosθ =0

>> a=-energia/(9.8*cos(theta));
>> c=h2/(2*9.8*sin(theta)^2*cos(theta));
>> raices_3([1,a,0,c])
ans =
   -0.4659
    1.8882
    0.6186

De las tres raíces reales dos son positivas r1 y r2 y una es negativa.

Trayectoria sobre la superficie cónica

Para representar la trayectoria seguida por la partícula, partimos de la posición r=r1 en el que se cumple que dr/dt=0, establecemos φ=0. Determinamos la constante h a partir de los datos de r1 y r2. Igualando V(r1)=V(r2) obtenemos

ε= h 2 2 r 1 2 sin 2 θ +g r 1 cosθ= h 2 2 r 2 2 sin 2 θ +g r 2 cosθ h 2 =2g r 1 2 r 2 2 r 1 + r 2 sin 2 θcosθ

Integramos las dos ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales señaladas para obtener la trayectoria r=r(φ) en la superficie cónica

d 2 r d t 2 h 2 r 3 sin 2 θ +gcosθ=0 r 2 sin 2 θ dφ dt =h

r1=1;
r2=4; %radios mínimo y máximo
theta=pi/6; %ángulo del cono
%cuadrado del moemnto angular Lz
h2=2*9.8*r1^2*r2^2*sin(theta)^2*cos(theta)/(r1+r2); 
x0=[r1,0,0]; %condiciones iniciales
tspan=[0,20];
% x(1)=r, x(2)=dr/dt,x(3)=phi
fg=@(t,x)[x(2); h2/(x(1)^3*sin(theta)^2)-9.8*cos(theta); 
sqrt(h2)/(x(1)^2*sin(theta)^2)];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
xp=x(:,1).*cos(x(:,3))*sin(theta);
yp=x(:,1).*sin(x(:,3))*sin(theta);
zp=x(:,1)*cos(theta);
 
hold on
view(120,70)
%superficie cónica
phi=linspace(0,2*pi,40);
r=linspace(0,4);
[phi,r]=meshgrid(phi,r);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6], 'FaceAlpha',0.5,'EdgeAlpha',0.5)
 
%trayectoria
h1=line(xp,yp,zp);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
 
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en una superficie cónica')

Trayectorias casi circulares

Para una trayectoria circular de radio r0, la velocidad angular dφ/dt es constante

h 2 =g r 0 3 sin 2 θcosθ ω= dφ dt = h r 0 2 sin 2 θ = 1 sinθ gcosθ r 0

Si el radio r de la trayectoria cambia muy poco con el tiempo, r=r0+δ(t) . Aproximamos 1/r3

1 r 3 = 1 r 0 3 ( 1+ δ r 0 ) 3 1 r 0 3 ( 13 δ r 0 )

>> syms x x0;
>> taylor(1/x^3,x,x0,'Order',2)
ans =1/x0^3 - (3*(x - x0))/x0^4

Introduciendo esta aproximación en la primera ecuación diferencial

d 2 δ d t 2 h 2 sin 2 θ 1 r 0 3 ( 13 δ r 0 )+gcosθ=0 d 2 δ d t 2 + 3cosθ r 0 δ=0

que corresponde a una oscilación con frecuencias angular Ω

Ω= 3gcosθ r 0

El cociente Ω/ω es independiente de r0

Ω ω = 3 sinθ

La trayectoria es cerrada si este cociente es un número racional m/n. Por ejemplo, si θ=60° el cociente es 3/2. Para que el cociente sea 1/2 el ángulo θ=16.8°

En el script anterior cambiamos las líneas

r1=2;
r2=2.5; %radios mínimo y máximo
....

para obtener mediante integración numérica la trayectoria de la partícula, y compararla con la trayectoria que se obtiene al suponer una trayectoria casi circular

r1=2;
r2=2.5; %radios mínimo y máximo
theta=pi/3; % probar con asin(sqrt(3)/6);
w=sqrt(9.8*cos(theta)/r1)/sin(theta);
W=sqrt(3*9.8*cos(theta)/r1);
t=0:0.01:2*pi*W/w;
r=(r1+r2)/2+(r2-r1)*sin(W*t)/2;
phi=w*t;
xp=r.*cos(phi)*sin(theta);
yp=r.*sin(phi)*sin(theta);
zp=r*cos(theta);

hold on
view(120,70)
%superficie cónica
phi=linspace(0,2*pi,40);
r=linspace(0,4);
[phi,r]=meshgrid(phi,r);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6], 'FaceAlpha',0.5,'EdgeAlpha',0.5)
 
%trayectoria
h1=line(xp,yp,zp);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
 
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en una superficie cónica')