Distancia más corta, superficie mínima, forma de un cuerpo

La distancia más corta entre dos puntos

El problema más sencillo de cálculo de variaciones consiste en encontrar el camino más corto que une los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2). Conocemos la respuesta que es el segmento de la recta que pasa por dichos puntos

Para cada intervalo dx a lo largo del eje X le corresponde un trozo de camino de longitud ds. Utilizando el teorema de Pitágoras

ds= d x 2 +d y 2 = 1+ ( dy dx ) 2 dx=( 1+ y ˙ 2 )dx

Tenemos que encontrar el camino más corto y=y(x) entre los puntos A y B tal que la longitud de la trayectoria (la integral)

I(y)= x 1 x 2 1+ y ˙ 2 dx

sea mínima, con las condiciones de contorno

{ y( x 1 )= y 1 y( x 2 )= y 2

La función, f(x,y, y ˙ )= 1+ y ˙ 2 , no depende de x e y. Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange

f y ˙ = y ˙ 1+ y ˙ 2 y ˙ 1+ y ˙ 2 =C

La solución es

C 2 + C 2 y ˙ 2 = y ˙ 2 y ˙ =m dy dx =m dy =m dx + C 1 y=mx+ C 1

Que es la ecuación de una recta. Calculamos la constante C1 sabiendo que la recta pasa por A(x1,y1)

C1=y1-m·x1

La ecuación de la recta es

y-y1=m(x-x1)

Calculamos la constante m (pendiente de la recta) sabiendo que la recta pasa por B(x2,y2)

y= y 2 y 1 x 2 x 1 ( x x 1 )+ y 1

Superficie mínima de revolución

Se genera una superficie de revolución haciendo girar la curva y=y(x) alrededor del eje X.

Por ejemplo, si y=mx, es una recta que pasa por el origen, se genera una superficie cónica, si y=cte, se genera una superficie cilíndrica.

Se tratará de encontrar la función y=y(x) que hace que el área de la superficie de revolución generada entre los puntos x=a y x=b sea mínima.

Tal como vemos en la figura, el elemento diferencial de área (en color negro) es

dA=2πy(xds, siendo ds= d x 2 +d y 2 . El área es

A(y)= a b 2πy(x) 1+ ( dy dx ) 2 dx

Buscamos el mínimo de la función f(x,y, y ˙ )=y 1+ y ˙ 2 , que no depende de x. La ecuación de Euler-Lagrange, se escribe

f f y ˙ y ˙ = C 1 y 1+ y ˙ 2 y y ˙ 2 1+ y ˙ 2 = C 1 C 1 dy dx = y 2 C 1 2

La solución es

x+ C 2 = C 1 dy y 2 C 1 2 x+ C 2 = C 1 cosh 1 ( y C 1 ) y= C 1 cosh( x+ C 2 C 1 )

Ejemplo, sea C2=0, y C1=1

y=cosh(x)

Dibujamos la superficie que se genera al girar la curva y=cosh(x) alrededor del eje X, entre los puntos de abscisa x=0 y x=2

>> syms x t;
>> ezsurf(x,cosh(x)*cos(t),cosh(x)*sin(t),[0,2*pi,0,2])
>> title('superficie de revolución')

Forma de un cuerpo que se mueve en un fluido, para que presente una resistencia mínima

Consideremos un sólido de revolución que se mueve con velocidad v a través de un gas rarificado en el espacio exterior. Deseamos conocer la forma del cuerpo, es decir, la función y=y(x) que al girar alrededor del eje X genera la superficie de revolución, de modo que su resistencia al movimiento a través del gas sea mínima

Choque de una molécula contra el cuerpo

Nos situamos en el sistema de referencia que se mueve con el cuerpo. Una molécula de gas de masa m y velocidad v paralela al eje X choca con el cuerpo en la posición de abscisa x. El ángulo que forma la recta tangente a curva y=y(x) en x es tanθ=dy/dx.

Después del choque la partícula se refleja, (supondremos que la masa del cuerpo es mucho mayor que la masa m de la molécula). El ángulo que forma el vector v después del choque con el eje X es 2θ.

El cambio de momento lineal a lo largo del eje X es mvcos(2θ)-mv. El cuerpo ejerce una fuerza dirigida a la izquierda sobre la molécula para que cambie la dirección de su velocidad. La molécula ejerce sobre el cuerpo una fuerza igual y de sentido contrario, dirigida hacia la derecha. Este es el origen de la fuerza de resistencia que experimenta un cuerpo cuando se mueve a través de un gas

Δp=mvcos( 2θ )mv=2mv sin 2 θ

Flujo de moléculas

Supongamos que todas las moléculas se mueven con la misma velocidad v. Se denomina flujo al número de partículas que atraviesan la sección normal Sn en la unidad de tiempo, que es el producto del número n de partículas por unidad de volumen, por la velocidad v de las partículas y por el área de la sección normal Sn.

n·v·Sn

Si la superficie S está inclinada formando un ángulo θ, el flujo será

n·v·Scosθ, el producto escalar n v ·S

Consideremos el elemento dS de superficie de revolución marcado en color rojo en la figura. Su área es, dS=2πy·ds, siendo ds el elemento de arco

ds= d x 2 +d y 2 = 1+ ( dy dx ) 2 dx

El flujo de moléculas a través de este elemento de superficie es

n v · dS =nv( 2πy·ds )cos( 90+θ )=2πnvy·ds·sinθ

El cambio de momento lineal de las moléculas que chocan con este elemento de superficie, en la unidad de tiempo, es

2πnvy·ds·sinθ( 2mv sin 2 θ )=4πnm v 2 y sin 3 θ·ds

La densidad ρ del gas es la masa por unidad de volumen, o el producto del número de moléculas n por unidad de volumen por la masa m de cada molécula, ρ=m·n

Recordando que tanθ=dy/dx, y

sinθ= tanθ 1+ tan 2 θ sinθ= y ˙ 1+ y ˙ 2

La fuerza F que ejerce el cuerpo sobre las moléculas es el cambio de momento lineal de todas las moléculas que chocan con su superficie de revolución en la unidad de tiempo

F=4πρ v 2 0 L y sin 3 θ·ds F=4πρ v 2 0 L y ( y ˙ 1+ y ˙ 2 ) 3 1+ y ˙ 2 dx F(y)=4πρ v 2 0 L y y ˙ 3 1+ y ˙ 2 dx

El problema consiste en hallar la función y(x) en la que F alcanza su valor menor posible siendo y(0)=0 e y(L)=R. Dado que la función

f(x,y, y ˙ )= y y ˙ 3 1+ y ˙ 2

no depende de x, la ecuación de Euler-Lagrange se escribe

f y ˙ f y ˙ = C 1 y ˙ 3 y ( 1+ y ˙ 2 ) 2 = C 1

Despejamos dy/dx, obteniendo la ecuación diferencial

C 1 ( dy dx ) 4 y ( dy dx ) 3 +2 C 1 ( dy dx ) 2 + C 1 =0

Si hacemos la aproximación (dy/dx)2<<1, la ecuación diferencial se puede resolver fácilmente

y ( dy dx ) 3 = C 1 y 1/3 dy= C 1 dx+ C 2 y 4/3 = C 1 x+ C 2 y= ( C 1 x+ C 2 ) 3/4

Las constantes C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones de contorno: x=0, y=0, C2=0; x=L, y=R, C1=R4/3/L

y=R ( x L ) 3/4

Referencias

M. L. Krasnov, G. I. Makarenko, A. I. Kiseliov. Cálculo Variacional (ejemplos y problemas). Editorial Mir (1992)