Choques en una dimensión

En esta página, se describen los choques frontales de dos partículas en el Sistema de Referencia del Laboratorio (Sistema -L) y en el Sistema de Referencia del Centro de Masa (Sistema–C).

Coeficiente de restitución

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión

v 1 v 2 =e( u 1 u 2 )

donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

Choques frontales

Descripción desde el Sistema de Referencia del Laboratorio

Supongamos que la segunda partícula u2=0, está en reposo antes del choque. La conservación de la conservación del momento lineal

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

De la definición del coeficiente de restitución e

-e(u1-u2)=v1-v2

Despejando las velocidades después del choque v1 y v2

v 1 = ( m 1 m 2 e) u 1 + m 2 (1+e) u 2 m 1 + m 2 v 2 = m 1 (1+e) u 1 +( m 2 m 1 e) u 2 m 1 + m 2

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

V cm = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 + m 2

Escribimos las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v1 y v2 de forma más simplificada.

v1=(1+e)Vcm-eu1
v2
=(1+e)Vcm-eu2

Si la segunda partícula está en reposo antes del choque, u2=0. Las velocidades después del choque v1 y v2 serán.

v 1 = m 1 e m 2 m 1 + m 2 u 1 v 2 = m 1 (1+e) m 1 + m 2 u 1

Descripción desde el Sistema de Referencia del Centro de Masa

v1cm=-e·u1cm
v2cm=-e·u2cm

La velocidad de ambos objetos después del choque en el Sistema-C se reducen en un factor e.

Comprobamos también que se cumple el principio de conservación del momento lineal en el Sistema-C

m1·u1cm+m2·u2cm=0
m1·v1cm+m2·v2cm=
0

Energía perdida en el choque

La energía perdida en la colisión Q es la diferencia de las energías cinéticas después del choque y antes del choque en el Sistema-L.

Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 1 2 m 1 u 1 2 1 2 m 2 u 2 2

Pero es mucho más fácil calcular esta diferencia en el Sistema-C.

Q= 1 2 ( 1 e 2 ) m 1 m 2 m 1 + m 2 ( u 1 u 2 ) 2

Ejemplo:

  1. Principio de conservación del momento lineal
  2. 1·2+2·0=1·v1+2·v2

  3. Definición de coeficiente de restitución
  4. -0.9(2-0)=v1-v2

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos

v1=-0.53, v2=1.27 m/s

Energía perdida en la colisión (Sistema-L)

Q= 1 2 1· 0.53 2 + 1 2 2· 1.27 2 1 2 1· 2 2 =0.253J

Calculada mediante la fórmula (Sistema-C)

Q= 1 2 ( 1 0.9 2 ) 1·2 1+2 ( 20 ) 2 =0.253J

Solución con MATLAB

%masas y velocidades iniciales de las partículas
m1=1;
u1=2;
m2=2;
u2=0;
e=0.9; %coeficiente de restitución
%velocidades después del choque
v1=((m1-m2*e)*u1+m2*(1+e)*u2)/(m1+m2);
v2=(m1*(1+e)*u1+(m2-m1*e)*u2)/(m1+m2);
fprintf('Velocidades: %1.2f de la partícula 1, 
%1.2f de la partícula 2\n',v1,v2);
Q=0.5*(1-e^2)*m1*m2*(u1-u2)^2/(m1+m2);
labels = {'Ek partícula 1','Ek partícula 2','Energía perdida'}
X=[m1*v1^2/2,m2*v2^2/2,Q];
pie(X,labels) 
Velocidades: -0.53 de la partícula 1, 1.27 de la partícula 2

En el diagrama de tarta vemos como se reparte la energía inicial del sistema de dos partículas: Energía cinética de la primera partícula, energía cinética de la segunda partícula, energía Q perdida en el choque

Choques elásticos

Obtenemos de forma alternativa, las velocidades v1 y v2 después del choque para un choque elástico empleando la conservación del momento lineal y de la energía cinética.

  1. Principio de conservación del momento lineal

  2. m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

  3. En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final, Q=0.

  4. 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Dados u1 y u2, las velocidades de las partículas m1 y m2 antes del choque, calculamos las velocidades de las partículas v1 y v2 después del choque resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Trasformamos las dos ecuaciones, en las equivalentes

m 1 ( u 1 v 1 )= m 2 ( u 2 v 2 ) m 1 ( u 1 2 v 1 2 )= m 2 ( u 2 2 v 2 2 )

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia

m 1 ( u 1 v 1 )= m 2 ( u 2 v 2 ) m 1 ( u 1 v 1 )( u 1 + v 1 )= m 2 ( u 2 v 2 )( u 2 + v 2 )

Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver

m 1 ( u 1 v 1 )= m 2 ( u 2 v 2 ) ( u 1 + v 1 )=( u 2 + v 2 )

Despejamos las velocidades de las partículas después del choque v1 y v2

v 1 = 2 m 2 u 2 +( m 1 m 2 ) u 1 m 1 + m 2 v 2 = 2 m 1 u 1 +( m 2 m 1 ) u 2 m 1 + m 2

Son las mismas ecuaciones que hemos obtenido previamente con el coeficiente de restitución e=1.

El caso particular mas interesante ocurre cuando las masas de las dos partículas son iguales, m1=m2 y la segunda partícula está inicialmente en reposo u2=0. Después del choque, la primera partícula queda en reposo v1=0 y la velocidad de la segunda partícula v2=u1. La energía cinética de la primera particula se transfiere integramente a la segunda

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

V cm = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 + m 2

Escribimos las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v1 y v2 de forma más simplificada.

v1=2Vcm-u1
v2
=2Vcm-u2

Choque completamente inelásticos

Las partículas quedan pegadas después del choque moviéndose con la misma velocidad v1=v2=v

  1. Principio de conservación del momento lineal

  2. m1u1+m2u2=(m1+m2)v

  3. En un choque inelástico, la energía cinética inicial es mayor que la final

  4. 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 +Q= 1 2 ( m 1 + m 2 ) v 2 Q= 1 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 ( u 1 u 2 ) 2

Los mismos resultados que hemos obtenido para los choques frontales con el coeficiente de restitución e=0

Definimos la razón f al cociente entre energía cinética final e inicial

f= 1 2 ( m 1 + m 2 ) v 2 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = ( m 1 u 1 + m 2 u 2 ) 2 ( m 1 + m 2 )( m 1 u 1 2 + m 2 u 2 2 ) f= ( 1+mx ) 2 (1+m)( 1+m x 2 ) ,x= u 2 u 1 ,m= m 2 m 1

Para que se produzca un choque

Representamos f en función de x para tres valores de m=1/3, 1, 3.

hold on
for m=[1/3,1,3]
    f=@(x) ((1+m*x).^2)./((1+m)*(1+m*x.^2));
    fplot(f,[-10,1])
end
xlabel('u_2/u_1')
ylabel('f')
grid on
legend('m=1/3','m=1','m=3', 'Location','best')
title('Fracción de energía cinética')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

En la mitad superior del programa interactivo, se representa el choque frontal en el Sistema-L del laboratorio. Una cruz de color rosa representa la posición del centro de masas del sistema formado por las dos partículas interactuantes. Se representa también mediante un diagrama de tarta la energía inicial y final de las partículas. Cuando el choque es elástico la energía inicial es igual a la final. Cuando el choque es inelástico (coeficiente de restitución menor que la unidad) la energía final es menor que la inicial.

En la parte inferior, se representa el mismo choque en el Sistema-C del centro de masas

Se proporcionan los datos correspondientes a la velocidad de las partículas antes del choque y después del choque tanto en el Sistema–L como en el Sistema-C. Se representan también los momentos lineales en forma de vectores antes del choque y después del choque. De este modo el lector puede comprobar de forma visual la conservación del momento lineal.

     

Ejemplo

Dos cuerpos A y B de la misma masa m se sitúan en un plano inclinado θ muy largo, con A por encima de B separados una distancia d.

Se cumple que tan θ>μB>μA.

Los cuerpos se sueltan en el instante t=0.

Choque elástico

Sea un choque elástico, coeficiente de restitución e=1, entre dos partículas de la misma masa, m1=m2=m. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones

{ u 1 + u 2 = v 1 + v 2 ( u 1 u 2 )= v 1 v 2

Las velocidades iniciales, justo antes del choque son u1 y u2 y las velocidades finales, justo después del choque, v1 y v2

Alternativamente, de la conservación del momento lineal y la energía

{ u 1 + u 2 = v 1 + v 2 1 2 u 1 2 + 1 2 u 2 2 = 1 2 v 1 2 + 1 2 v 2 2

El resultado es v1=u2, v2=u1. Se intercambian las velocidades de las dos partículas

Etapa inicial

La condición tanθ>μ, implica que mg·sinθ>μmg·cosθ, el cuerpo desliza a lo largo del plano inclinado. Las ecuaciones del movimiento son

{ N=mgcosθ ma=mgsinθ F r F r =μN=μmgcosθ a=g( sinθμcosθ )

Las aceleraciones de cada uno de los cuerpos son

{ a A =g( sinθ μ A cosθ ) a B =g( sinθ μ B cosθ ) μ A < μ B , a A > a B

En la etapa inicial, el cuerpo A desliza y alcanza el cuerpo B con el que choca. Ponemos el origen en la posición inicial del cuerpo A, de modo que, en el instante t=0, xA=0 y xB=d, parten del reposo. En el instante t

A{ v= a A t x= 1 2 a A t 2 B{ v= a B t x=d+ 1 2 a B t 2

Se encuentran en el instante t1, cuando xA=xB

1 2 a A t 2 =d+ 1 2 a B t 2 t 1 = 2d a A a B = 2d g( μ B μ A )cosθ

La posición de encuentro es

x 1 = 1 2 a A t 1 2 = 1 2 g( sinθ μ A cosθ ) t 1 2

En el instante t1 los cuerpos van a chocar, sus velocidades inmediatamente antes del choque son

{ u A =g( sinθ μ A cosθ ) t 1 u B =g( sinθ μ B cosθ ) t 1

Primera etapa

Las velocidades después del choque, iniciales para la primera etapa del movimiento son

{ v 0A = u B =g( sinθ μ B cosθ ) t 1 v 0B = u A =g( sinθ μ A cosθ ) t 1 v 0A < v 0B

La velocidad inicial de A es menor que la de B pero la aceleración de A es mayor que la de B luego, se volverán a encontrar

La velocidad y la posición en el instante t de cada uno de los cuerpos

A{ v= v 0A + a A t x= x 1 + v 0A t+ 1 2 a A t 2 B{ v= v 0B + a B t x= x 1 + v 0B t+ 1 2 a B t 2

Se encuentran en el instante t1+t2. Calculamos t2 haciendo xA=xB

x 1 + v 0A t+ 1 2 a A t 2 = x 1 + v 0B t+ 1 2 a B t 2 t 2 = 2( v 0B v 0A ) a A a B =2 t 1

La posición de encuentro es

x 2 = x 1 + v 0A t 2 + 1 2 a A t 2 2 = 1 2 g( sinθ μ A cosθ ) t 1 2 +g( sinθ μ B cosθ ) t 1 ·2 t 1 + 1 2 g( sinθ μ A cosθ ) ( 2 t 1 ) 2 x 2 = 1 2 g( 9sinθ( 5 μ A +4 μ B )cosθ ) t 1 2

Las velocidades de los dos cuerpos, en el instante 3t1, antes del choque, son

{ u A = v 0A + a A t 2 = a B t 1 + a A t 2 =g( 3sinθ( μ B +2 μ A )cosθ ) t 1 u B = v 0B + a B t 2 = a A t 1 + a B t 2 =g( 3sinθ( μ A +2 μ B )cosθ ) t 1

Segunda etapa

Las velocidades después del choque, iniciales para la segunda etapa del movimiento son

{ v 0A = u B =g( 3sinθ( μ A +2 μ B )cosθ ) t 1 v 0B = u A =g( 3sinθ( μ B +2 μ A )cosθ ) t 1

La velocidad y la posición en el instante t de cada uno de los cuerpos

A{ v= v 0A + a A t x= x 2 + v 0A t+ 1 2 a A t 2 B{ v= v 0B + a B t x= x 2 + v 0B t+ 1 2 a B t 2

Se encuentran en el instante 3t1+t3. Calculamos t3 haciendo xA=xB

x 2 + v 0A t 3 + 1 2 a A t 3 2 = x 2 + v 0B t 3 + 1 2 a B t 3 2 t 3 = 2( v 0B v 0A ) a A a B =2 t 1

La posición de encuentro es

x 3 = x 2 + v 0A t 3 + 1 2 a A t 3 2 x 3 = 1 2 g( 9sinθ( 5 μ A +4 μ B )cosθ ) t 1 2 +g( 3sinθ( μ A +2 μ B )cosθ ) t 1 ( 2 t 1 )+ 1 2 g( sinθ μ A cosθ ) ( 2 t 1 ) 2 x 3 = 1 2 g( 25sinθ( 13 μ A +12 μ B )cosθ ) t 1 2

Las velocidades de los dos cuerpos, en el instante 5t1, antes del choque, son

{ u A = v 0A + a A t 3 u B = v 0B + a B t 3 { u A =g( 3sinθ( μ A +2 μ B )cosθ ) t 1 +g( sinθ μ A cosθ )( 2 t 1 )=g( 5sinθ( 3 μ A +2 μ B )cosθ ) t 1 u B =g( 3sinθ( μ B +2 μ A )cosθ ) t 1 +g( sinθ μ B cosθ )( 2 t 1 )=g( 5sinθ( 2 μ A +3 μ B )cosθ ) t 1

Tercera etapa

Las velocidades después del choque, iniciales para la tercera etapa del movimiento son

{ v 0A = u B =g( 5sinθ( 2 μ A +3 μ B )cosθ ) t 1 v 0B = u A =g( 5sinθ( 2 μ B +3 μ A )cosθ ) t 1

La velocidad y la posición en el instante t de cada uno de los cuerpos

A{ v= v 0A + a A t x= x 3 + v 0A t+ 1 2 a A t 2 B{ v= v 0B + a B t x= x 3 + v 0B t+ 1 2 a B t 2

Se encuentran en el instante 5t1+t4. Calculamos t4 haciendo xA=xB

x 3 + v 0A t 4 + 1 2 a A t 4 2 = x 3 + v 0B t 4 + 1 2 a B t 4 2 t 4 = 2( v 0B v 0A ) a A a B =2 t 1

La posición de encuentro es

x 4 = x 3 + v 0A t 4 + 1 2 a A t 4 2 x 4 = 1 2 g( 25sinθ( 13 μ A +12 μ B )cosθ ) t 1 2 +g( 5sinθ( 2 μ A +3 μ B )cosθ ) t 1 ( 2 t 1 )+ 1 2 g( sinθ μ A cosθ ) ( 2 t 1 ) 2 x 4 = 1 2 g( 49sinθ( 25 μ A +24 μ B )cosθ ) t 1 2

Las velocidades de los dos cuerpos, en el instante 7t1, antes del choque, son

{ u A = v 0A + a A t 4 u B = v 0B + a B t 4 { u A =g( 5sinθ( 2 μ A +3 μ B )cosθ ) t 1 +g( sinθ μ A cosθ )( 2 t 1 )=g( 7sinθ( 4 μ A +3 μ B )cosθ ) t 1 u B =g( 5sinθ( 2 μ B +3 μ A )cosθ ) t 1 +g( sinθ μ B cosθ )( 2 t 1 )=g( 7sinθ( 3 μ A +4 μ B )cosθ ) t 1

Cuarta etapa

Así, sucesivamente ...

Cálculo y representación gráfica

Consideremos el siguiente sistema

Se cumple que tan θ>μB>μA.

Referencias

Indian National Physics Olympiad. Homi Bhabha Centre for Science Eduaction. Solved papers NSEP & INPhO, 2016-2018, Ejemplo 3, enunciado, 213, solución, 216-218