Choques en una dimensión

En esta página, se describen los choques frontales de dos partículas en el Sistema de Referencia del Laboratorio (Sistema -L) y en el Sistema de Referencia del Centro de Masa (Sistema–C).

Coeficiente de restitución

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión

v 1 v 2 =e( u 1 u 2 )

donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

Choques frontales

Descripción desde el Sistema de Referencia del Laboratorio

Supongamos que la segunda partícula u2=0, está en reposo antes del choque. La conservación de la conservación del momento lineal

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

De la definición del coeficiente de restitución e

-e(u1-u2)=v1-v2

Despejando las velocidades después del choque v1 y v2

v 1 = ( m 1 m 2 e) u 1 + m 2 (1+e) u 2 m 1 + m 2 v 2 = m 1 (1+e) u 1 +( m 2 m 1 e) u 2 m 1 + m 2

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

V cm = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 + m 2

Escribimos las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v1 y v2 de forma más simplificada.

v1=(1+e)Vcm-eu1
v2
=(1+e)Vcm-eu2

Si la segunda partícula está en reposo antes del choque, u2=0. Las velocidades después del choque v1 y v2 serán.

v 1 = m 1 e m 2 m 1 + m 2 u 1 v 2 = m 1 (1+e) m 1 + m 2 u 1

Descripción desde el Sistema de Referencia del Centro de Masa

v1cm=-e·u1cm
v2cm=-e·u2cm

La velocidad de ambos objetos después del choque en el Sistema-C se reducen en un factor e.

Comprobamos también que se cumple el principio de conservación del momento lineal en el Sistema-C

m1·u1cm+m2·u2cm=0
m1·v1cm+m2·v2cm=
0

Energía perdida en el choque

La energía perdida en la colisión Q es la diferencia de las energías cinéticas después del choque y antes del choque en el Sistema-L.

Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 1 2 m 1 u 1 2 1 2 m 2 u 2 2

Pero es mucho más fácil calcular esta diferencia en el Sistema-C.

Q= 1 2 ( 1 e 2 ) m 1 m 2 m 1 + m 2 ( u 1 u 2 ) 2

Ejemplo:

  1. Principio de conservación del momento lineal
  2. 1·2+2·0=1·v1+2·v2

  3. Definición de coeficiente de restitución
  4. -0.9(2-0)=v1-v2

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos

v1=-0.53, v2=1.27 m/s

Energía perdida en la colisión (Sistema-L)

Q= 1 2 1· 0.53 2 + 1 2 2· 1.27 2 1 2 1· 2 2 =0.253J

Calculada mediante la fórmula (Sistema-C)

Q= 1 2 ( 1 0.9 2 ) 1·2 1+2 ( 20 ) 2 =0.253J

Solución con MATLAB

%masas y velocidades iniciales de las partículas
m1=1;
u1=2;
m2=2;
u2=0;
e=0.9; %coeficiente de restitución
%velocidades después del choque
v1=((m1-m2*e)*u1+m2*(1+e)*u2)/(m1+m2);
v2=(m1*(1+e)*u1+(m2-m1*e)*u2)/(m1+m2);
fprintf('Velocidades: %1.2f de la partícula 1, 
%1.2f de la partícula 2\n',v1,v2);
Q=0.5*(1-e^2)*m1*m2*(u1-u2)^2/(m1+m2);
labels = {'Ek partícula 1','Ek partícula 2','Energía perdida'}
X=[m1*v1^2/2,m2*v2^2/2,Q];
pie(X,labels) 
Velocidades: -0.53 de la partícula 1, 1.27 de la partícula 2

En el diagrama de tarta vemos como se reparte la energía inicial del sistema de dos partículas: Energía cinética de la primera partícula, energía cinética de la segunda partícula, energía Q perdida en el choque

Choques elásticos

Obtenemos de forma alternativa, las velocidades v1 y v2 después del choque para un choque elástico empleando la conservación del momento lineal y de la energía cinética.

  1. Principio de conservación del momento lineal

  2. m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

  3. En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final, Q=0.

  4. 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Dados u1 y u2, las velocidades de las partículas m1 y m2 antes del choque, calculamos las velocidades de las partículas v1 y v2 después del choque resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Trasformamos las dos ecuaciones, en las equivalentes

m 1 ( u 1 v 1 )= m 2 ( u 2 v 2 ) m 1 ( u 1 2 v 1 2 )= m 2 ( u 2 2 v 2 2 )

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia

m 1 ( u 1 v 1 )= m 2 ( u 2 v 2 ) m 1 ( u 1 v 1 )( u 1 + v 1 )= m 2 ( u 2 v 2 )( u 2 + v 2 )

Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver

m 1 ( u 1 v 1 )= m 2 ( u 2 v 2 ) ( u 1 + v 1 )=( u 2 + v 2 )

Despejamos las velocidades de las partículas después del choque v1 y v2

v 1 = 2 m 2 u 2 +( m 1 m 2 ) u 1 m 1 + m 2 v 2 = 2 m 1 u 1 +( m 2 m 1 ) u 2 m 1 + m 2

Son las mismas ecuaciones que hemos obtenido previamente con el coeficiente de restitución e=1.

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

V cm = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 + m 2

Escribimos las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v1 y v2 de forma más simplificada.

v1=2Vcm-u1
v2
=2Vcm-u2

Choque completamente inelásticos

Las partículas quedan pegadas después del choque moviéndose con la misma velocidad v1=v2=v

  1. Principio de conservación del momento lineal

  2. m1u1+m2u2=(m1+m2)v

  3. En un choque inelástico, la energía cinética inicial es mayor que la final

  4. 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 +Q= 1 2 ( m 1 + m 2 ) v 2 Q= 1 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 ( u 1 u 2 ) 2

Los mismos resultados que hemos obtenido para los choques frontales con el coeficiente de restitución e=0

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

En la mitad superior del programa interactivo, se representa el choque frontal en el Sistema-L del laboratorio. Una cruz de color rosa representa la posición del centro de masas del sistema formado por las dos partículas interactuantes. Se representa también mediante un diagrama de tarta la energía inicial y final de las partículas. Cuando el choque es elástico la energía inicial es igual a la final. Cuando el choque es inelástico (coeficiente de restitución menor que la unidad) la energía final es menor que la inicial.

En la parte inferior, se representa el mismo choque en el Sistema-C del centro de masas

Se proporcionan los datos correspondientes a la velocidad de las partículas antes del choque y después del choque tanto en el Sistema–L como en el Sistema-C. Se representan también los momentos lineales en forma de vectores antes del choque y después del choque. De este modo el lector puede comprobar de forma visual la conservación del momento lineal.