Dinámica de un sistema de partículas

Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F 1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F 12 . Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F 2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F 21 .

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

d p 1 dt = F 1 + F 12 d p 2 dt = F 2 + F 21

Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F 12 = F 21 , tenemos que

d p 1 dt + d p 2 dt = d( p 1 + p 2 ) dt = F 1 + F 2 d P dt = F ext

Donde P es el momento lineal total del sistema y F ext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas.

Conservación del momento lineal de un sistema de partículas

Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema.

La partícula 1 se mueve bajo la acción de la fuerza F 12 que ejerce la partícula 2. La partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza F 21 que ejerce la partícula 1. La tercera ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que ambas fuerzas tendrán que ser iguales y de signo contrario.

F 1 + F 2 =0

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas

d p 1 dt + d p 2 dt = d( p 1 + p 2 ) dt =0

El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2

Donde u 1 y u 2 son las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2 y v 1 y v 2 las velocidades finales de dichas partículas.

El centro de masa.

En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor.

x cm = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

En general, la posición del centro de masa de un sistema de N partículas es

r cm = 1 N m i r i 1 N m i

Donde r i es el vector posición de la partícula i, respecto a un sistema de referencia.

La velocidad del centro de masas se obtiene derivando con respecto del tiempo

v cm = 1 N m i v i 1 N m i = P M

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas.

De la dinámica de un sistema de partículas tenemos que

d P dt = F ext M d v cm dt = F ext

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza externa aplicada al sistema.

En un sistema aislado F ext =0 el centro de masas se mueve con velocidad constante v cm =cte .

El Sistema de Referencia del Centro de Masas

Para un sistema de dos partículas

v cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es

v 1cm = v 1 v cm = m 2 ( v 1 v 2 ) m 1 + m 2

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es

v 2cm = v 2 v cm = m 1 ( v 1 v 2 ) m 1 + m 2

En el sistema-C, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas.

Momento lineal

Comprobamos fácilmente que el momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partícula 2 respecto del sistema-C

p 1cm = m 1 v 1cm p 2cm = m 2 v 2cm p 1cm = p 2cm

Energía cinética

La relación entre las energías cinéticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C es fácil de obtener

E k = E kcm + 1 2 ( m 1 + m 2 ) v cm 2

El primer término, es la energía cinética relativa al centro de masas. El segundo término, es la energía cinética de una partícula cuya masa sea igual a la del sistema moviéndose con la velocidad del centro de masa. A este último término, se le denomina energía cinética de traslación del sistema.

En un sistema de partículas es conveniente separar el movimiento del sistema en dos partes:

En las siguientes páginas, mostraremos la importancia de centro de masas en la descripción del movimiento de un sistema de dos partículas que interactúan a través de un muelle elástico.

Energía de un sistema de partículas

Supongamos que la partícula de masa m1 se desplaza dr 1 , y que la partícula de masa m2 se desplaza dr 2 , como consecuencia de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas.

El trabajo infinitesimal realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la primera partícula es igual al producto escalar

( F 1 + F 12 )· dr 1

Del mismo modo, el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m2 será

( F 2 + F 21 )· dr 2

Teniendo en cuenta que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula modifica la energía cinética de la partícula, es decir, la diferencia entre la energía cinética final y la inicial.

( F 1 + F 12 )· dr 1 = 1 2 m 1 v 1f 2 1 2 m 1 v 1i 2 ( F 2 + F 21 )· dr 2 = 1 2 m 2 v 2f 2 1 2 m 2 v 2i 2

Sumando miembro a miembro, escribimos el trabajo como suma del trabajo de las fuerzas exteriores más el trabajo de las fuerza interiores o de interacción mutua. Se tiene en cuenta que las fuerzas interiores F 12 = F 21 son iguales y de sentido contrario

F 1 · dr 1 + F 2 · dr 2 + F 12 · dr 12 = ( 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 ) f ( 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 ) i

La fuerza interior F 12 realiza trabajo siempre que haya un desplazamiento relativo de la partícula 1 respecto de la 2, ya que dr 1 dr 2 = dr 12

Normalmente, la fuerza F 12 es conservativa (es de tipo gravitatorio, eléctrico, muelle elástico, etc.) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y final.

F 12 · dr 12 = ( E p ) i ( E p ) f

Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma

W ext = F 1 · dr 1 + F 2 · dr 2

Tendremos

W ext = ( 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + E p ) f ( 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + E p ) i

Entre paréntesis tenemos cantidad que es la suma de la energía cinética de las dos partículas que forman el sistema y de la energía potencial que describe la interacción entre las dos partículas. A esta cantidad la denominamos energía U del sistema de partículas.

Wext=Uf-Ui

El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la diferencia entre la energía del sistema de partículas en el estado final y la energía del sistema de partículas en el estado inicial.

Para un sistema de dos partículas, hay una sola interacción de la partícula 1 con la 2 descrita por la fuerza interna conservativa F 12 o por la energía potencial Ep12. La energía del sistema U se escribe

U= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + E p12

Para un sistema formado por tres partículas hay tres interacciones, de la partícula 1 con la 2, la 1 con la 3 y la 2 con la 3, descritas por las fuerzas internas conservativas F 12 , F 23 , F 13 o por sus correspondientes energías potenciales. La energía del sistema es

U= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 m 3 v 3 2 + E p12 + E p13 + E p23

Sistema aislado

Para un sistema aislado, Fext=0, el trabajo Wext de las fuerzas exteriores es cero, la energía U del sistema de partículas se mantiene constante. Para un sistema de dos partículas cuya interacción mutua está descrita por la energía potencial Ep12.

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + E p12 =cte

Colisiones

Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 1 u 1 2 +Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

El término Q engloba a las energías potenciales de interacción mutua, inicial y final entre las dos partículas. Alternativamente, el término Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.

La fuerza exterior Fext es conservativa

El trabajo de la fuerza exterior es igual a la diferencia entre de energía potencial inicial y la final

Wext=Epi-Epf

Tenemos por tanto que Ui+Epi=Uf+Epf=cte

Para un sistema de dos partículas que interaccionan entre sí, y que ambas están bajo la acción de la fuerza conservativa peso, la conservación de la energía se escribirá

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + E p12 + m 1 g x 1 + m 2 g x 2 =cte