Concepto de trabajo

Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

${\displaystyle dW=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{dl}=Fds\cos \theta =F_{t}ds}$

Donde F_t es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento $\overrightarrow{dl}$ , y θ  el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales

${\displaystyle W=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{F}·\overrightarrow{dl}=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}{F}_{t}ds}$

Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza F_t, y el desplazamiento s.

Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.

La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral

${\displaystyle W={\displaystyle \underset{0}{\overset{0.05}{\int }}1000x·dx=}{1000\frac{x^2}{2}|}_0^{0.05}=1000\frac{{0.05}^2}{2}=1.25\text{J}}$

El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J

Ejemplo:

Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

• Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo
• Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo
• Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

Concepto de energía cinética

Supongamos que $\overrightarrow{F}$ es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

${\displaystyle \begin{array}{l}W=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{F}·\overrightarrow{dl}=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}{F}_{t}ds=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}m{a}_{t}ds=\hfill \\ \underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}m\frac{dv}{dt}ds=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}m\frac{ds}{dt}dv=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}mvdv=\frac{1}{2}m{v}_B^2-\frac{1}{2}m{v}_A^2\hfill \end{array}}$

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.

En la segunda línea, la aceleración tangencial a_t es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

La energía cinética es la expresión

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}m{v}^2}$

Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.

El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J

La velocidad final v es

${\displaystyle -126=\frac{1}{2}0.015v^2-\frac{1}{2}0.015·{450}^{2}v=431\text{m/s}}$

Fuerza conservativa. Energía potencial

Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.

${\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{F}·\overrightarrow{dl}=E_{pA}-E_{pB}{E}_p=E_p(x,y,z)}$

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{F}·\overrightarrow{dl}=0}$

Ejemplo

Sobre una partícula actúa la fuerza $\overrightarrow{F}=2xy\widehat{i}+x^2\widehat{j}$ N

Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.

• La curva AB es el tramo de parábola y=x²/3.
• BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y
• CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento

${\displaystyle dW=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{dl}=\left(F_x\widehat{i}+F_y\widehat{j}\right)\left(dx·\widehat{i}+dy·\widehat{j}\right)=F_{x}dx+F_{y}dy}$

Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con respecto a x.

Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.

• Tramo AB

Trayectoria y=x²/3, dy=(2/3)x·dx.

${\displaystyle \begin{array}{l}dW=F_{x}dx+F_{y}dy=2x\frac{x^2}{3}dx+x^2\frac{2}{3}xdx=\frac{4}{3}{x}^{3}dx\\ W_{AB}={\displaystyle \underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{4}{3}{x}^{3}dx}=27\text{J}\end{array}}$

• Tramo BC

La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.

y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx

${\displaystyle \begin{array}{l}dW=F_{x}dx+F_{y}dy=2x\left(\frac{2}{3}x+1\right)dx+x^2\frac{2}{3}dx=(2x^2+2x)dx\\ W_{BC}={\displaystyle \underset{3}{\overset{0}{\int }}(2x^2+2x)dx}=-27\text{J}\end{array}}$

• Tramo CD

La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza $\overrightarrow{F}=0$ y por tanto, el trabajo W_CA=0

• El trabajo total

W_ABCA=W_AB+W_BC+W_CA=27+(-27)+0=0

El peso es una fuerza conservativa

Calculemos el trabajo de la fuerza peso $\overrightarrow{F}=-mg\widehat{j}$ cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es y_A hasta la posición B cuya ordenada es y_B.

${\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{F}·\overrightarrow{dl}=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}(-mg\widehat{j})\cdot (dx·\widehat{i}+dy·\widehat{j})=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}-mgdy=mg{y}_A-mg{y}_B}$

${\displaystyle E_p=mgy+c}$

Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.

La fuerza que ejerce un muelle es conservativa

Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.

Para x>0, F=-kx

Para x<0, F=kx

El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición x_A a la posición x_B es

${\displaystyle {\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}F·dx}={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}-kxdx}=\frac{1}{2}k{x}_A^2-\frac{1}{2}k{x}_B^2}$

La función energía potencial E_p correspondiente a la fuerza conservativa F vale

${\displaystyle E_p(x)=\frac{1}{2}k{x}^2+c}$

El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, E_p=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.

${\displaystyle F=-kx{E}_p=\frac{1}{2}k{x}^2}$