Presión producida por la curvatura de una superficie

La ecuación Young-Laplace para una burbuja

Vamos a mostrar que en el interior de una gota o una burbuja en equilibrio hay una presión superior a la exterior. Este exceso de presión es debido a la curvatura de la superficie límite de separación.

Las fuerzas de presión ejercen una fuerza que es normal a la superficie. Supongamos que la presión en el interior de la burbuja es p y en el exterior es p0, entonces la fuerza sobre una porción (en color rosa) dA=(2πrsinθ)(r·dθ) de la lámina es dF=(p-p0)dA, y tiene dirección radial, su componente Y es (p-p0)dA·cosθ. Las componentes X de las fuerzas se anulan por simetría

F 1 = 0 π/2 ( (p p 0 )2πrsinθ·rdθ )cosθ =2π(p p 0 ) r 2 cos 2 θ 2 | 0 π/2 =(p p 0 )π r 2

Una burbuja está formada por dos láminas superficiales esféricas muy próximas entre sí. Consideremos la mitad de la burbuja y busquemos las fuerzas que mantienen a esa porción en equilibrio.

La mitad izquierda de la burbuja (no representada) ejerce una fuerza hacia la izquierda igual a dos veces la tensión superficial por el perímetro (flechas rojas en la figura) F2=2γ·r

En el equilibrio F1=F2

p p 0 = 4γ r

la diferencia de presiones es tanto mayor cuanto menor es el radio r. Esta expresión es un caso particular de la denominada ley de Laplace.

El factor cuatro aparece por que una pompa de jabón tiene dos caras: interior y exterior. En el caso de una gota de agua, solamente hay una cara por lo que la diferencia de presión se reduce a la mitad.

La ecuación de Young-Laplace para una gota

Supongamos una gota que se forma en el extremo de una jeringa al desplazar el émbolo, tal como se indica en la figura.

Sea p0 la presión exterior. Para formar la gota de radio r es necesario aplicar mediante el émbolo una presión p algo mayor que p0.

El trabajo realizado por el émbolo sobre el líquido al desplazarse es p·dV. Pero la gota realiza un trabajo p0·dV sobre su entorno ya que desplaza el aire al incrementar su volumen dV. Ambos volúmenes son iguales debido a que el líquido es incomprensible.

El trabajo total sobre el líquido será dW=(p-p0)·dV

Este trabajo se emplea en incrementar la superficie de la gota, mientras se mantiene la temperatura y el volumen del líquido constantes. dW=γdA

Igualando ambos trabajos y teniendo en cuenta las fórmulas del área y del volumen de una superficie esférica.

V= 4 3 π r 3 A=4π r 2 dV=4π r 2 ·drdA=8πr·dr p p 0 = 2γ r

La ecuación Young-Laplace para la superficie de un líquido

Consideremos un elemento diferencial dS situada en un punto P de una superficie convexa de un fluido, y sea n ^ , el vector unitario normal a dicha superficie.

Un plano que contenga la dirección normal define un elemento diferencial de curva con un radio de curvatura r. Al girar el plano que contiene la normal, obtenemos el valor mínimo y máximo del radio de curvatura (a la derecha en la figura). Estos dos planos son perpendiculares. Sea r2 el mínimo radio de curvatura y r1 el máximo.

El área del elemento diferencial de superficie dS=(r11)(r22)

La fuerza que genera la diferencia de presión Δp entre el interior y exterior de la superficie tiene la dirección normal, su módulo es, Δp·dS=Δp(r11)(r22)

Las fuerzas que origina la tensión superficial actúan en los bordes del elemento diferencial de superficie, señaladas con cuatro flechas de color azul. Sus módulos son

La dirección es tangente a la superficie en el borde del elemento diferencial de superficie, tal como se indica en la parte derecha de la figura

Las componentes perpendiculares a la dirección normal de estas fuerzas se cancelan, las componentes a lo largo de la dirección normal se suman.

En el equilibrio, la fuerza generada por la diferencia de presión entre el interior y exterior de la superficie tiene que ser igual a la resultante de las fuerzas debidas a la tensión superficial que actúa en los cuatro lados del elemento diferencial de superficie dS. Teniendo en cuenta que para un ángulo muy pequeño, sinx≈x

Δp·dS= F AD d θ 1 2 + F BC d θ 1 2 + F CD d θ 2 2 + F AB d θ 2 2 Δp·( r 2 d θ 2 )( r 1 d θ 1 )=γ( r 2 d θ 2 )d θ 1 +γ( r 1 d θ 1 )d θ 2 Δp=γ( 1 r 1 + 1 r 2 )

Esta ecuación nos proporciona la diferencia de presión a través de la superficie del líquido en cualquier punto en términos de la tensión superficial y de los dos principales radios de curvatura (máximo y mínimo) en dicho punto

Desinflando un globo

En la página titulada Un globo que asciende en la atmósfera estudiamos la relación entre la diferencia presión Δp y el radio r del globo

En esta página, estudiaremos los globos que utilizan los niños en las fiestas y que se inflan soplando aire con sus bocas. Supondremos que la relación entre la diferencia presión Δp y el radio del globo, es similar a la de una pompa de jabón

p p 0 = 2γ r

γ es la tensión superficial del material elástico del que está hecho el globo, p es la presión en el interior del globo, poco más grande que la presión atmosférica p0

Supondremos que el globo sin inflar tiene forma esférica de radio r0. Vamos a calcular el tiempo que tarda un globo inflado hasta un radio r en desinflarse

Calculamos la masa m de aire que hay dentro de un globo que ha sido inflado hasta el radio r>r0, aplicando la ecuación de los gases perfectos

pV= m M RT m=pV M RT =( p 0 + 2γ r )( 4 3 π r 3 ) M RT = 4π 3 p 0 M RT ( r 3 + 2γ p 0 r 2 )= 4π 3 ρ( r 3 + 2γ p 0 r 2 )

R es la constante de los gases, T es la temperatura y M es la peso molecular

Supondremos que el aire que sale por el orificio del globo de sección A, se comporta como un fluido ideal y por tanto, es aplicable la ecuación de Bernoulli

p= p 0 + 1 2 ρ v 2

La masa de aire que sale por el orificio en la unidad de tiempo es

dm dt =Aρv=Aρ 2(p p 0 ) ρ =2A ργ r

Escribimos la ecuación diferencial en términos de la variable r ya que conocemos la masa de aire m que hay en un globo de radio r

4π 3 ρ( 3 r 2 + 4γ p 0 r ) dr dt =2A ργ r 2π( r 5/2 + 4γ 3 p 0 r 3/2 )dr=A γ ρ dt

Integramos, sabiendo que en el instante t=0, el radio del globo es r y en el instante t el globo se ha desinflado, su radio es r0

2π r r 0 ( r 5/2 + 4γ 3 p 0 r 3/2 )dr=A γ ρ 0 t dt t= 4π A ρ γ { 1 7 ( r 7/2 r 0 7/2 )+ 4γ 15 p 0 ( r 5/2 r 0 5/2 ) }

Ejemplo

Se representa en el eje X, el radio r en m y en el eje Y, el tiempo t en s

Comprobamos que el primer término correspondiente a la potencia 7/2 de r es dominante

A=1.79e-5; %área del orificio
r0=0.024; %radio final del globo
p0=1.013e5; %presión atmosférica
rho=1.225; %densidad del aire
gamma=500; %tensión superficial
hold on
t1=@(r) 4*pi*sqrt(rho/gamma)*((r.^(7/2)-r0^(7/2))/7
+4*gamma*(r.^(5/2)-r0^(5/2))/(15*p0))/A;
fplot(t1,[r0,0.12])

%se suprime el segundo término, potencia 5/2
t2=@(r) 4*pi*sqrt(rho/gamma)*((r.^(7/2)-r0^(7/2))/7)/A;
fplot(t2,[r0,0.12])
hold off
grid on
legend('exacto','aprox.', 'location', 'best')
xlabel('r')
ylabel('t')
title('Un globo se desinfla')

Obtenemos el primer término (potencia 7/2 de r), suponiendo que el aire es un fluido ideal, incompresible. Un volumen de aire Av sale por el orificio en la unidad de tiempo. El volumen del globo supuesto esférico, disminuye

d dt ( 4 3 π r 3 )=Av

Aplicando la ecuación de Bernoulli y teniendo en cuenta que p-p0=2γ/r

d dt ( 4 3 π r 3 )=Av=A 2(p p 0 ) ρ =2A γ ρr

Separamos variables e integramos, sabiendo que en el instante t=0, el radio del globo es r y en el instante t el globo se ha desinflado, su radio es r0

4π r 2 dr dt =2A γ ρr r 5/2 dr= A 2π γ ρ ·dt r r 0 r 5/2 dr = A 2π γ ρ 0 t dt t= 4π 7A ρ γ ( r 7/2 r 0 7/2 )

Comunicando dos pompas de jabón

Si ponemos dos pompas de jabón de radios r1 y r2 en los extremos de un tubo y abrimos la llave que las comunica veremos que la pompa de jabón de radio menor es "comida" por la pompa de radio mayor.

La diferencia de presión entre el exterior y el interior de una pompa de jabón es muy pequeña comparada con la presión atmosférica. Por tanto, podemos considerar la densidad del aire no cambia (fluido incompresible) cuando pasa de una pompa a la otra.

La diferencia de presión entre las esferas de radio r1 y de radio r2 serán

p 2 p 1 =4γ( 1 r 2 1 r 1 )

Como consecuencia de la diferencia de presión, el aire circula por el tubo de comunicación con una velocidad dada por el teorema de Bernoulli

p 2 p 1 = 1 2 ρ v 2

El volumen de aire que pasa de la segunda esfera a la primera en el tiempo dt es vSdt, siendo S=πR2 la sección del tubo que comunica ambas esferas. ρ=1.29 kg/m3 es la densidad del aire

El volumen de la primera esfera aumenta y el de la segunda, disminuye.

d V 1 =Sv·dt 4π r 1 2 d r 1 =S 4γ( r 1 r 2 ) ρ r 1 r 2 dt

Hay que resolver la integral por procedimientos numéricos

R 01 R 1 x 2 dx (V x 3 ) 1/3 1/x = R 2 4 4γ ρ tV= r 01 3 + r 02 3 = r 1 3 + r 2 3

Conocido el radio inicial de la esfera izquierda, r01 se calcula el tiempo t cuando dicha esfera alcanza el radio r01r1<V1/3

La última ecuación, indica que la suma de los volúmenes de las dos esferas es constante. hemos considerado en esta aproximación que el aire es un fluido incomprensible, ya que los cambios de presión que experimenta en el interior de las burbujas son muy pequeños, comparados con la presión atmosférica.

r_01=10; %cm
r_02=7.5; %cm
tension=0.073; %tensión superficial N/m
rCom=0.5; % radio del tubo de comunicación cm
vol=(r_01^3+r_02^3); %volumen total constante
r_1m=vol^(1/3); %máximo valor de r1, r2=0 (desaparece)

cte=rCom^2*sqrt(4*tension/1.29)/4; 
f=@(x) (x.^2)./sqrt((vol-x.^3).^(-1/3)-1./x);
r1=r_01:0.05:r_1m;
t=zeros(0,length(r1));
i=1;
for radio=r1
    t(i)= integral(f,r_01,radio)/(100*cte); %en segundos
    i=i+1;
end
r2= (vol-r1.^3).^(1/3);
plot(t,r1,t,r2)
xlabel('t(s)')
ylabel('r_1,r_2')
legend('r_1','r_2', 'location','southwest')
title('Comunicando dos burbujas')

Nota: La descripción dada en este párrafo, se debe de entender desde el punto de vista cualitativo, explica el fenómeno observado de que dos globos o dos pompas de jabón conectadas por un pequeño tubo de volumen despreciable, la esfera de mayor radio aumenta a costa de la de menor radio, hasta que esta última desaparece. Un análisis termodinámico del problema es demasiado complicado para incluirlo en estas páginas, se puede consultar el artículo de Weinhaus F. citado en las referencias.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos como la burbuja pequeña se hace cada vez más pequeña mientras crece la burbuja grande.



Referencias

Pellicer J., García-Morales V., Hernández M. J., On the demostration of Young-Laplace equations in introductory courses. Phys. Educ 35 (2) March 2000, pp. 126-129.

F. Behroozi. The edge profile of liquid spills. Am. J. Phys. 90 (1), January 2022. pp. 10-14

Don S.Lemons, Trevor C. Lipscombe. Of balls, bladders, and balloons: The time required to deflate an elastic sphere. Am. J. Phys. 89 (1), January 2021, pp. 80-83

Weinhaus F., Barker W. On the equilibrium states of interconnected bubbles o balloons. Am. J. Phys. 46 (10) October 1978, pp. 978-982.