Movimiento Armónico Simple

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x=A·sin(ωt+φ)

donde

Las características de un M.A.S. son:

Se denomina frecuencia f a la inversa del periodo P. La frecuencia se mide en Hz (Hercio) en honor a Hertz. La ecuación de un MAS se escribe

x=A·sin(2πf·t+φ)

Examinamos utilizando MATLAB el papel de la amplitud A, frecuencia f y fase inicial φ

Dos amplitudes distintas, A=10 y A=5 y la misma frecuencia f=100 Hz, (el tiempo se mide en milisegundos, ms)

subplot(2,1,1)
t=0:0.1:50; %en milisegundos
x=10*sin(2*pi*0.1*t); %amplitud 10
plot(t,x,'r')
xlabel('t(ms)')
ylabel('x')
title('Distinta amplitud')
ylim([-11,11])
grid on

subplot(2,1,2)
x=5*sin(2*pi*0.1*t); %amplitud 5
plot(t,x,'r')
ylim([-10,10])
xlabel('t(ms)')
ylabel('x')
ylim([-11,11])
grid on

La misma amplitud A=10, dos frecuencias distintas f=100 y f=200 Hz

subplot(2,1,1)
t=0:0.1:50; %milisegundos
x=10*sin(2*pi*0.1*t); %frecuencia, 100 Hz
plot(t,x,'r')
xlabel('t(ms)')
ylabel('x')
title('Distinta frecuencia')
ylim([-11,11])
grid on

subplot(2,1,2)
x=10*sin(2*pi*0.2*t);  %frecuencia, 200 Hz
plot(t,x,'r')
xlabel('t(ms)')
ylabel('x')
ylim([-11,11])
grid on

Fases iniciales distintas: 0, π/2, π,3π/2, misma frecuencia f=100 Hz y misma amplitud A=10

subplot(4,1,1)
t=0:0.1:50; %milisegundos
x=10*sin(2*pi*0.1*t);
plot(t,x,'r')
xlabel('t(ms)')
ylabel('x')
title('Distinta fase inicial')
ylim([-11,11])
grid on

subplot(4,1,2)
x=10*sin(2*pi*0.1*t+pi/2);
plot(t,x,'r')
xlabel('t(ms)')
ylabel('x')
ylim([-11,11])
grid on

subplot(4,1,3)
x=10*sin(2*pi*0.1*t+pi);
plot(t,x,'r')
xlabel('t(ms)')
ylabel('x')
ylim([-11,11])
grid on

subplot(4,1,4)
x=10*sin(2*pi*0.1*t+3*pi/2);
plot(t,x,'r')
xlabel('t(ms)')
ylabel('x')
ylim([-11,11])
grid on

Cinemática de un M.A.S.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x=A·sin(ωt+φ)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

v= dx dt =Aω·cos(ωt+φ)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

a= dv dt =A ω 2 ·sin(ωt+φ)= ω 2 x

M.A.S y movimiento circular

La ecuación de un M.A.S. es

x=A·sin(ωt+φ)

En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular ω igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj.

El ángulo ω t+φ que forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ángulo φ que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.

Se introduce

Se pulsa en el botón titulado Nuevo.


Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F=ma=m ω 2 x

Como la fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep.

x 1 x 2 F·dx = E p1 E p2 x 1 x 2 F·dx = x 1 x 2 m ω 2 x·dx= 1 2 m ω 2 x 2 | x 1 x 2 = 1 2 m ω 2 x 1 2 1 2 m ω 2 x 2 2

La expresión de la energía potencial es

E p (x)= 1 2 m ω 2 x 2 +c

Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial Ep=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0

La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek y de la energía potencial Ep que es constante.

E= E k + E p = 1 2 m v 2 + 1 2 m ω 2 x 2 = 1 2 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt+φ)+ 1 2 m ω 2 A 2 sin 2 (ωt+φ)= 1 2 m ω 2 A 2

Curva de energía potencial

La función E p = 1 2 m ω 2 x 2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

F= d E p dx =m ω 2 x

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

La energía total E de la partícula está representada por el segmento vertical de color negro. En un punto x el segmento vertical de color rojo representa la energía potencial Ep y el segmento de color verde la energía cinética Ek

En un sistema conservativo dibujamos la curva de la energía potencial Ep(x) y una línea horizontal a una altura E, que representa la energía total. De este modo, podemos describir cualitativamente el movimiento de la partícula: los intervalos x en los que se puede mover, las posiciones donde su velocidad es máxima o mínima, las posiciones de equilibrio (F=0), etc.

Se introduce

Se pulsa en el botón titulado Nuevo.

Observamos los valores de la energía cinética, potencial y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuando la partícula pasa por el origen y por las posiciones de máximo desplazamiento.