La ecuación de segundo grado

Las raíces de la ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0, son

${\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}{x}_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Creamos una función denominada raices_2 que se le pasan el vector p de los coeficientes [a, b, c] y devuelve las raíces x1 y x2.

function [x1,x2] = raices_2(p)
    dis= sqrt(p(2)*p(2)-4*p(1)*p(3));
    x1=(-p(2)+dis)/(2*p(1));
    x2=(-p(2)-dis)/(2*p(1));
end

Para calcular las raíces de la ecuación de segundo grado x²+x-6 en la la ventana de comandos llamamos a la función raices_2 y le pasamos los coeficientes del polinomio

>> [r1,r2]=raices_2([1 1 -6])
r1= 2
r2= -3

Para calcular las raíces de la ecuación de segundo grado x²+x+1 escribimos

>> [r1,r2]=raices_2([1 1 1])
r1=-0.5000+0.8660i
r2=-0.5000-0.8660i

La ecuación de tercer grado

Sea la ecuación de tercer grado

z³+az²+bz+c=0

Hacemos la sustitución, z=x-a/3, obteniendo una ecuación reducida, sin el término x²

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(x-\frac{a}{3}\right)}^3+a{\left(x-\frac{a}{3}\right)}^2+b\left(x-\frac{a}{3}\right)+c=0\\ x^3+Px=Q\{\begin{array}{l}P=b-\frac{a^2}{3}\\ Q=\frac{ab}{3}-c-\frac{2a^3}{27}\end{array}\end{array}}$

Nos fijamos en la siguiente identidad e identificamos

${\displaystyle {\left(u-v\right)}^3+3uv\left(u-v\right)=u^3-v^3\{\begin{array}{l}u-v=x\\ uv=\frac{P}{3}\\ u^3-v^3=Q\end{array}}$

De las dos últimas, deducimos una ecuación de segundo grado en v³

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{P}{3v}\right)}^3-v^3=Q\\ {\left(v^3\right)}^2+Q{v}^3-{\left(\frac{P}{3}\right)}^3=0\end{array}}$

Las soluciones de esta ecuación son conocidas

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}^3=\frac{-Q}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{Q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{P}{3}\right)}^3}\\ u=\frac{P}{3v}\end{array}}$

Conocidos u y v. La solución de la ecuación reducida es x=u-v y de la original z=x-a/3

Ejemplo 1

Sea la ecuación de tercer grado, x³-6x=4. Con P=-6 y Q=4

Las dos soluciones de la ecuación de segundo grado en v³ son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{v}^3=-2+2i\\ v^3=-2-2i\end{array}}$

• Calculamos las tres raíces del número complejo, -2+2i

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}^3=2\sqrt{2}\exp \left(\frac{3\pi }{4}i\right)\{\begin{array}{l}{v}_1=\sqrt{2}\exp \left(\left(\frac{\pi }{4}+0\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(\cos 45º+i\sin 45º\right)\\ v_2=\sqrt{2}\exp \left(\left(\frac{\pi }{4}+1\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(\cos 165º+i\sin 165º\right)\\ v_3=\sqrt{2}\exp \left(\left(\frac{\pi }{4}+2\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(\cos 285º+i\sin 285º\right)\end{array}\\ u=\frac{P}{3v}=-\frac{2}{v}\{\begin{array}{l}{u}_1=-\sqrt{2}\exp \left(-\left(\frac{\pi }{4}+0\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(-\cos 45º+i\sin 45º\right)\\ u_2=-\sqrt{2}\exp \left(-\left(\frac{\pi }{4}+1\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(-\cos 165º+i\sin 165º\right)\\ u_3=-\sqrt{2}\exp \left(-\left(\frac{\pi }{4}+2\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(-\cos 285º+i\sin 285º\right)\end{array}\end{array}}$

Las tres soluciones de la ecuación de tercer grado son

${\displaystyle x=u-v\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\sqrt{2}\cos 45º=-2\\ x_2=-2\sqrt{2}\cos 165º=2\sqrt{2}\cos 15º\\ x_3=-2\sqrt{2}\cos 285º=-2\sqrt{2}\sin 15º\end{array}}$

• Calculamos las tres raíces del número complejo, -2-2i

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}^3=\sqrt{8}\exp \left(\frac{5\pi }{4}i\right)\{\begin{array}{l}{v}_1=\sqrt{2}\exp \left(\left(\frac{5\pi }{12}+0\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(\cos 75º+i\sin 75º\right)\\ v_2=\sqrt{2}\exp \left(\left(\frac{5\pi }{12}+1\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(\cos 195º+i\sin 195º\right)\\ v_3=\sqrt{2}\exp \left(\left(\frac{5\pi }{12}+2\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(\cos 315º+i\sin 315º\right)\end{array}\\ u=\frac{P}{3v}=-\frac{2}{v}\{\begin{array}{l}{u}_1=-\sqrt{2}\exp \left(-\left(\frac{\pi }{12}+0\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(-\cos 75º+i\sin 75º\right)\\ u_2=-\sqrt{2}\exp \left(-\left(\frac{\pi }{12}+1\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(-\cos 195º+i\sin 195º\right)\\ u_3=-\sqrt{2}\exp \left(-\left(\frac{\pi }{12}+2\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\sqrt{2}\left(-\cos 315º+i\sin 315º\right)\end{array}\end{array}}$

Las soluciones de la ecuación de tercer grado coinciden con el caso anterior. Solamente puede haber tres soluciones de una ecuación de tercer grado

${\displaystyle x=u-v\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\sqrt{2}\cos 75º=-2\sqrt{2}\sin 15º\\ x_2=-2\sqrt{2}\cos 195º=2\sqrt{2}\cos 15º\\ x_3=-2\sqrt{2}\cos 315º=-2\end{array}}$

cos15° y sin15° se calculan mediante las fórmulas del ángulo doble

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos (2\theta )={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1\\ \cos (2\theta )={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =1-2{\sin }^2\theta \\ \cos 15º=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ \sin 15º=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}\end{array}}$

Finalmente, las raíces de la ecuación de tercer grado, x³-6x=4, son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1=-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=-\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}=1-\sqrt{3}\\ x_2=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}\\ x_3=-2\end{array}}$

Comprobación

>> syms x;
>> solve(x^3-6*x-4,x)
ans =
          -2
 1 - 3^(1/2)
 3^(1/2) + 1

Ejemplo 2

Sea la ecuación de tercer grado, x³-6x=9. Con P=-6 y Q=9

Las dos soluciones de la ecuación de segundo grado en v³ son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{v}^3=-1\\ v^3=-2^3\end{array}}$

• Calculamos las tres raíces del número complejo, -1

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}^3=\exp \left(\pi i\right)\{\begin{array}{l}{v}_1=\exp \left(\left(\pi +0\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\cos 180º=-1\\ v_2=\exp \left(\left(\pi +1\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\cos 300º+i\sin 300º=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ v_3=\exp \left(\left(\pi +2\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\cos 60º+i\sin 60º=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}i\\ u=\frac{P}{3v}=-\frac{2}{v}\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_2=-1-\sqrt{3}i\\ u_3=-1+\sqrt{3}i\end{array}\end{array}}$

Las tres soluciones de la ecuación de tercer grado son

${\displaystyle x=u-v\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ x_3=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}}$

• Calculamos las tres raíces del número complejo, -8

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}^3=2\exp \left(\pi i\right)\{\begin{array}{l}{v}_1=2\exp \left(\left(\pi +0\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=\cos 180º=-2\\ v_2=2\exp \left(\left(\pi +1\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=2\left(\cos 300º+i\sin 300º\right)=1-\sqrt{3}\\ v_3=2\exp \left(\left(\pi +2\frac{2\pi }{3}\right)i\right)=2\left(\cos 60º+i\sin 60º\right)=1+\sqrt{3}i\end{array}i\\ u=\frac{P}{3v}=-\frac{2}{v}\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_2=-\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{3}i\right)\\ u_3=-\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{3}i\right)\end{array}\end{array}}$

Las soluciones de la ecuación de tercer grado coinciden con el caso anterior. Solamente puede haber tres soluciones de una ecuación de tercer grado

${\displaystyle x=u-v\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ x_3=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}}$

Comprobación

>> syms x;
>> solve(x^3-6*x-9,x)
ans =
                      3
 - (3^(1/2)*1i)/2 - 3/2
   (3^(1/2)*1i)/2 - 3/2

Ejemplo 3

Este ejemplo, muestra que una ecuación de tercer grado con raíces tan sencillas como 1,-2 y 3, requiere de un cálculo intensivo, que realizaremos con Math Symbolic de MATLAB, para obtenerlas

Sea la ecuación de tercer grado, z³-2z²-5z+6=0. Comprobamos que sus raíces son, 1,-2 y 3

>> syms z;
>> solve(z^3-2*z^2-5*z+6,z)
ans =
 -2
  1
  3

Hacemos la sustitución, z=x-a/3, obteniendo una ecuación reducida

${\displaystyle x^3+Px=Q\{\begin{array}{l}P=b-\frac{a^2}{3}\\ Q=\frac{ab}{3}-c-\frac{2a^3}{27}\end{array}}$

Con P=-19/3 y Q=-56/27

Calculamos una de las raíces de la ecuación de segundo grado en v³

${\displaystyle v^3=\frac{-Q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{Q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{P}{3}\right)}^3}}$

Obtenemos las tres raíces v de v³

${\displaystyle v=\sqrt[3]{r}\exp \left(i\frac{\theta +2\pi k}{3}\right)k=\mathrm{0,1,2}}$

r es el módulo del número complejo y θ es el argumento

Para cada raíz v, calculamos u=P/(3v) y la diferencia x=u-v, las raíces de la ecuación reducida x³+Px=Q

Finalmente, las raíces de la ecuación de tercer grado son, z=x-a/3

Creamos un script para realizar todos estos cálculos con Math Symbolic

a=sym(-2);
b=sym(-5);
c=sym(6);
P=b-a^2/3;
Q=a*b/3-c-2*a^3/27;
v3=-Q/2+sqrt((Q/2)^2+(P/3)^3); %una de las raíces, la otra con (-)
v=zeros(0,3);
k=sym(0:2);
v=abs(v3)^(1/3)*exp(1i*(angle(v3)+k*2*pi)/3);
u=P./(3*v);
x=u-v; %raíces de la ecuación reducida
z=x-a/3 %raíces de la ecuación de tercer grado

z =
[ 2/3 - exp((atan((45*3^(1/2))/28)*1i)/3)*((19*19^(1/2))/27)^(1/3) - 
(19*exp(-(atan((45*3^(1/2))/28)*1i)/3))/(9*((19*19^(1/2))/27)^(1/3)), 

2/3 - exp((pi*2i)/3 + (atan((45*3^(1/2))/28)*1i)/3)*((19*19^(1/2))/27)^(1/3) - 
(19*exp(- (pi*2i)/3 - (atan((45*3^(1/2))/28)*1i)/3))/(9*((19*19^(1/2))/27)^(1/3)), 

2/3 - exp((pi*4i)/3 + (atan((45*3^(1/2))/28)*1i)/3)*((19*19^(1/2))/27)^(1/3) - 
(19*exp(- (pi*4i)/3 - (atan((45*3^(1/2))/28)*1i)/3))/(9*((19*19^(1/2))/27)^(1/3))]

La expresión de las raíces z es muy larga y no ha sido posible simplificarla

Convertimos la variable simbólica z en un número

>> double(z)
ans =
    -2     3     1

Fórmulas para calcular las raíces

Expresamos una ecuación de tercer grado en la forma equivalente

x³+ax²+bx+c=0

dividiendo todos los coeficientes por el primero, de modo que el coeficiente del término x³ es la unidad.

Las fórmulas que permiten calcular las raíces de esta ecuación son las siguientes (véase la primera referencia):

${\displaystyle Q=\frac{a^2-3b}{9}R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}}$

Si R²<Q³ entonces la ecuación tiene tres raíces reales

${\displaystyle \theta =\arccos \left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta }{3}\right)-\frac{a}{3}\\ x_2=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta +2\pi }{3}\right)-\frac{a}{3}\\ x_3=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta -2\pi }{3}\right)-\frac{a}{3}\end{array}}$

En caso contrario, R²≥Q³ tenemos una raíz real y dos complejas.

${\displaystyle \begin{array}{l}A=-\mathrm{sgn}(R){\left(\left|R\right|+\sqrt{R^2-Q^3}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}\\ B=\{\begin{array}{l}Q/AA\ne 0\\ 0A=0\end{array}\end{array}}$

La raíz real y las dos complejas conjugadas son:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1=(A+B)-\frac{a}{3}\\ x_2=-\frac{1}{2}(A+B)-\frac{a}{3}+i\frac{\sqrt{3}}{2}(A-B)\\ x_3=-\frac{1}{2}(A+B)-\frac{a}{3}-i\frac{\sqrt{3}}{2}(A-B)\end{array}}$

Creamos una función denominada raices_3 a la que se le pasa el vector p de los coeficientes [1, a, b, c] y devuelve las valores de raíces x1, x2 y x3.

function [x1,x2,x3] = raices_3(p)
   %código
end

Ahora bien, para hacerla similar a la función roots de MATLAB, vamos a definirla para que devuelva un vector x

function x = raices_3(p)
    Q=(p(2)*p(2)-3*p(3))/9;
    R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54;
    x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos
    if (R*R)<(Q^3)
        tetha=acos(R/sqrt(Q^3));
        x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3;
        x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3;
        x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3;
    else
        A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3);
        if A==0
            B=0;
        else
            B=Q/A;
        end
        x(1)=(A+B)-p(2)/3;
        x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i
        x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1);
    end
end

En la ventana de comandos llamamos a la función raices_3 para calcular las raíces de la ecuación, x³-7x-6=0 o bien, x³+0x²-7x-6=0

>> r=raices_3([1 0 -7 -6])
r =
   -2.0000
    3.0000
   -1.0000

Para calcular las raíces de la ecuación x³+3x²+3x+2=0 escribimos en la ventana de comandos

>> r=raices_3([1 3 3 2])
r =
  -2.0000
  -0.5000-0.8660i
  -0.5000+0.8660i

Ecuación de cuarto grado

Utilizamos el procedimiento de Ferrari para resolver la ecuación de cuarto grado, x⁴+2ax³+bx²+2cx+d=0

Vamos a calcular tres números A, B y C para expresar el polinomio como diferencia de dos cuadrados

${\displaystyle x^4+2a{x}^3+b{x}^2+2cx+d={\left(x^2+ax+A\right)}^2-{\left(Bx+C\right)}^2}$

y luego, expresar la diferencia de cuadrados como producto de dos factores, M²-N²=(M+N)(M-N)

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^4+2a{x}^3+b{x}^2+2cx+d=\left(x^2+ax+A+(Bx+C)\right)\left(x^2+ax+A-(Bx+C)\right)\\ x^4+2a{x}^3+b{x}^2+2cx+d=\left(x^2+(a+B)x+A+C\right)\left(x^2+(a-B)x+A-C\right)\end{array}}$

Se reduce la ecuación de cuarto grado a la resolución de dos ecuaciones de segundo grado

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^2+(a+B)x+A+C=0\\ x^2+(a-B)x+A-C=0\end{array}}$

Primero, calculamos los tres números A, B y C

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^4+2a{x}^3+b{x}^2+2cx+d=x^4+2a{x}^3+\left(a^2+2A-B^2\right)x^2+2\left(aA-BC\right)x+A^2-C^2\\ \{\begin{array}{l}b=a^2+2A-B^2\\ c=aA-BC\\ d=A^2-C^2\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{B}^2=a^2+2A-b\\ BC=aA-c\\ C^2=A^2-d\end{array}\end{array}}$

Eliminando el producto BC, obtenemos una ecuación de tercer grado en A

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(aA-c\right)}^2=\left(a^2+2A-b\right)\left(A^2-d\right)\\ A^3-\frac{b}{2}{A}^2+\left(ca-d\right)A+\frac{bd-a^{2}d-c^2}{2}=0\end{array}}$

De las tres soluciones se elige una para A, a continuación se calcula B y C. Finalmente, se resuelve las dos ecuaciones de segundo grado

Ejemplo

Resolver la ecuación de cuarto grado, x⁴-3x²+6x-2=0

Los coeficientes de x⁴+2ax³+bx²+2cx+d=0, son a=0, b=-3, c=3, d=-2

Resolvemos la ecuación de tercer grado en A

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}^3-\frac{b}{2}{A}^2+\left(ca-d\right)A+\frac{bd-a^{2}d-c^2}{2}=0\\ A^3+\frac{3}{2}{A}^2+2A-\frac{3}{2}=0\end{array}}$

Se trata de una ecuación de tercer grado con a=3/2, b=2, y c=-3/2. Reducimos la ecuación a la forma

${\displaystyle x^3+Px=Q\{\begin{array}{l}P=b-\frac{a^2}{3}\\ Q=\frac{ab}{3}-c-\frac{2a^3}{27}\end{array}}$

Por lo que P=5/4, Q=9/4. La solución de la ecuación reducida más sencilla es

${\displaystyle x=u-v\{\begin{array}{l}{v}^3=\frac{-Q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{Q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{P}{3}\right)}^3}\\ u=\frac{P}{3v}\end{array}}$

Como las operaciones son muy largas nos ayudamos de Math Symbolic de MATLAB

a=sym(3/2);
b=sym(2);
c=sym(-3/2);
P=b-a^2/3;
Q=a*b/3-c-2*a^3/27;
v=(-Q/2+sqrt((Q/2)^2+(P/3)^3))^(1/3);
u=P/(3*v);
A=u-v;

>> simplify(A)
ans =1

${\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{l}v=\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{1}{2}\\ u=\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{2}\end{array}\}x=1\\ A=x-\frac{a}{3}=\frac{1}{2}\end{array}}$

Comprobación

>> syms A;
>> solve(A^3+3*A^2/2+2*A-3/2,A)
ans =
1/2
 - 2^(1/2)*1i - 1
 - 1 + 2^(1/2)*1i

Retornamos a la ecuación de cuarto grado con a=0, b=-3, c=3, d=-2. Conocido A, calculamos B y C

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{B}^2=a^2+2A-b=4\\ C^2=A^2-d=\frac{9}{4}\end{array}}$

Por lo que B=±2 y C=±3/2. Decidimos los signos, comprobando que obtenemos la ecuación original, x⁴-3x²+6x-2 a partir de su expresión como diferencia de dos cuadrados

${\displaystyle x^4+2a{x}^3+b{x}^2+2cx+d={\left(x^2+ax+A\right)}^2-{\left(Bx+C\right)}^2}$

La coincidencia se produce para, B=2 y C=-3/2,

Finalmente, calculamos las raíces de las dos ecuaciones de segundo grado

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}^2+(a+B)x+A+C=0\\ x^2+(a-B)x+A-C=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{x}^2+2x-1=0\{\begin{array}{l}{x}_1=-1+\sqrt{2}\\ x_2=-1-\sqrt{2}\end{array}\\ x^2-2x+2=0\{\begin{array}{l}{x}_3=1+i\\ x_4=1-i\end{array}\end{array}\end{array}}$

Comprobación

>> syms x;
>> solve(x^4-3*x^2+6*x-2,x)
 ans =
         1 - 1i
        1 + 1i
 - 2^(1/2) - 1
   2^(1/2) - 1

Referencias

William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. Second Edition. Cambridge University Press (1992), pp. 184-185

Solving Cubic Polynomials

Ferrari's Solution of a Quartic Equation