La aceleración en un M.A.S.

Una bolita sobre una plataforma que describe un MAS

La plataforma describe un MAS de frecuencia ω angular. En el instante t=0 parte del reposo desde la posición x=-A, siendo A la amplitud de la oscilación

x=Asin(ωt+φ) v= dx dt =Aωcos(ωt+φ)

en el instante t=0, la posición y velocidad inicial son, respectivamente,

-A=Asinφ
0=cosφ

De las condiciones iniciales, despejamos la fase inicial φ=-π/2

La ecuación del MAS se escribe

x=A·sin(ωt-π/2)=-A·cos (ωt)

 Derivando con respecto al tiempo obtenemos las expresiones de la velocidad y aceleración.

v=A·ωsin (ωt)

a=A·ω2cos(ωt)=-ω2x

Fuerzas sobre la bolita

Cuando la plataforma se encuentra en la posición x las fuerzas sobre la bolita que descansa en la plataforma son

La máxima aceleración se produce cuando la plataforma alcanza el punto de retorno x=A. La bolita permanecerá sobre la plataforma siempre que N>0, es decir siempre que

mg>2A o bien, que g>ω2A

Cuando N se hace cero la bolita deja de estar en contacto con la plataforma, esto se produce en la posición x0>0 tal que

g=ω2x0

En el instante t0 tal que

g ω 2 =Acos(ω t 0 )

La velocidad de la plataforma y la inicial de la bolita son

v0=A·ωsin (ωt0)

La bolita se mueva baja la acción de la aceleración constante de la gravedad.

y= x 0 + v 0 (t t 0 ) 1 2 g ( t t 0 ) 2

La bolita chocará repetidamente con la plataforma

Ejemplo.

Sea la amplitud A=0.1, la bolita se desprende de la plataforma si la frecuencia angular ω es mayor que ωc o el periodo P<Pc.

ω c = g A ω c = 9.8 0.1 =9.90rad/s P c = 2π ω c =0.63s

Si el periodo P=0.45 s, la frecuencia angular es ω=13.96 rad/s

La bolita se desprende en la posición x0=0.05 m

En el instante t0, tal que

x0=-0.1cos (ωt0), t0=0.15 s

La velocidad inicial de la bolita en dicho instante es

v0=0.1ωsin (ωt0)=1.21 m/s

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Observamos el movimiento de la bolita sobre la plataforma. A la derecha, la gráfica de la posición de la bolita (en color rojo) y de la plataforma (en color azul) en función del tiempo.

A la izquierda, las fuerzas sobre la bolita

Cuando la fuerza que ejerce la plataforma N se hace cero, la bolita despega de la plataforma.

Un bloque encima de otro unido a un muelle elástico

Un bloque de masa M está unido a un muelle de constante elástica k. Encima de este bloque se coloca otro de masa m. Supondremos que el bloque de masa M desliza sin rozamiento sobre el plano horizontal. Sin embargo, entre las superficies en contacto de ambos bloques hay rozamiento, el coeficiente estático es μs.

El sistema formado por los dos bloques y el muelle elástico parte del origen y describe un MAS de amplitud A. Su posición, x, velocidad v, y aceleración a, en función del tiempo t son

x=Asin( ωt )ω= k m+M v= dx dt =Aωcos( ωt ) a= dv dt =A ω 2 sin( ωt )= ω 2 x

La aceleración a es de sentido contrario al desplazamiento x. Sobre el boque de masa m actúan las siguientes fuerzas:

De acuerdo a la segunda ley de Newton

Fr=m|a|=mω2x

A medida que se incrementa el desplazamiento x de los bloques, la fuerza de rozamiento Fr va aumentando hasta que alcanza el valor máximo μsN=μsmg en la posición x0

μ s mg=m ω 2 x 0 x 0 = μ s g ω 2

A partir del instante t0 tal que, x0=Asin(ωt0), la aceleración del boque de masa m es μsg y la aceleración del bloque de masa M es ω2x.

Suponiendo que a partir del instante t0, los bloques dejan de estar en contacto. El sistema formado por el bloque de masa M y el muelle elástico de constante k, describirá un Movimiento Armónico Simple de distinta frecuencia angular

x= A 1 sin( ω 1 (t t 0 )+ φ 1 ) ω 1 = k M v= dx dt = A 1 ω 1 cos( ω 1 (t t 0 )+ φ 1 )

Donde la nueva amplitud A1 y fase inicial φ1 se calculan a partir de las condiciones iniciales en el instante t0.

t= t 0 { x 0 =Asin( ω t 0 ) v 0 =Aωcos( ω t 0 ) A 1 = x 0 2 + ( v 0 ω 1 ) 2 tan φ 1 = ω 1 x 0 v 0

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Ejemplo

La masa del bloque M=6 kg, la masa del bloque que se coloca encima m=1 kg. El coeficiente estático μs=0.2

La posición en la que el bloque de masa m se cae es

ω= k m+M = 20 6+1 = 20 7 ω 2 x 0 = μ s g x 0 = 0.2·9.8 20 7 =0.686m

que corresponde al instante t0=0.51 s, la velocidad de los bloques es v0=0.985 m/s

Cuando el bloque de masa m se ha caído, la frecuencia angular es mayor

ω 1 = k M = 20 6 rad/s

La amplitud A1 del nuevo MAS es

A 1 = x 0 2 + ( v 0 ω 1 ) 2 = 0.686 2 + 0.985 2 ·6 20 =0.872m

En color rojo se representa el primer MAS de amplitud A y frecuencia angular ω y en color azul, el segundo MAS de amplitud A1 y frecuencia angular mayor ω1