La aceleración en un M.A.S.

La plataforma describe un MAS de frecuencia ω angular. En el instante t=0 parte del reposo desde la posición x=-A, siendo A la amplitud de la oscilación

x=Asin(ωt+ϕ) v= dx dt =Aωcos(ωt+ϕ)

en el instante t=0, la posición y velocidad inicial son, respectivamente,

-A=Asinφ
0=cosφ

De las condiciones iniciales, despejamos la fase inicial φ=-π/2

La ecuación del MAS se escribe

x=A·sin(ωt-π/2)=-A·cos (ωt)

 Derivando con respecto al tiempo obtenemos las expresiones de la velocidad y aceleración.

v=A·ωsin (ωt)

a=A·ω2cos(ωt)=- ω2x

Fuerzas sobre la bolita

Cuando la plataforma se encuentra en la posición x las fuerzas sobre la bolita que descansa en la plataforma son

La máxima aceleración se produce cuando la plataforma alcanza el punto de retorno x=A. La bolita permanecerá sobre la plataforma siempre que N>0, es decir siempre que

mg>2A o bien, que g>ω2A

Cuando N se hace cero la bolita deja de estar en contacto con la plataforma, esto se produce en la posición x0>0 tal que

g=ω2x0

En el instante t0 tal que

g ω 2 =Acos(ω t 0 )

La velocidad de la plataforma y la inicial de la bolita son

v0=A·ωsin (ωt0)

La bolita se mueva baja la acción de la aceleración constante de la gravedad.

y= x 0 + v 0 (t t 0 ) 1 2 g ( t t 0 ) 2

La bolita chocará repetidamente con la plataforma

Ejemplo.

Sea la amplitud A=0.1, la bolita se desprende de la plataforma si la frecuencia angular ω es mayor que ωc o el periodo P<Pc.

ω c = g A ω c = 9.8 0.1 =9.90rad/s P c = 2π ω c =0.63s

Si el periodo P=0.45 s, la frecuencia angular es ω=13.96 rad/s

La bolita se desprende en la posición x0=0.05 m

En el instante t0, tal que

x0=-0.1cos (ωt0), t0=0.15 s

La velocidad inicial de la bolita en dicho instante es

v0=0.1ωsin (ωt0)=1.21 m/s

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de la bolita sobre la plataforma. A la derecha, la gráfica de la posición de la bolita (en color rojo) y de la plataforma (en color azul) en función del tiempo.

A la izquierda, las fuerzas sobre la bolita

Cuando la fuerza que ejerce la plataforma N se hace cero, la bolita despega de la plataforma.