La aceleración en un M.A.S.
Una bolita sobre una plataforma que describe un MAS

La plataforma describe un MAS de frecuencia ω angular. En el instante t=0 parte del reposo desde la posición x=-A, siendo A la amplitud de la oscilación
en el instante t=0, la posición y velocidad inicial son, respectivamente,
-A=Asinφ
0=Aωcosφ
De las condiciones iniciales, despejamos la fase inicial φ=-π/2
La ecuación del MAS se escribe
x=A·sin(ωt-π/2)=-A·cos (ωt)
Derivando con respecto al tiempo obtenemos las expresiones de la velocidad y aceleración.
v=A·ωsin (ωt)
a=A·ω2cos(ωt)=-ω2x
Fuerzas sobre la bolita
Cuando la plataforma se encuentra en la posición x las fuerzas sobre la bolita que descansa en la plataforma son
- El peso, mg
- La reacción o fuerza que ejerce la plataforma, N
- Cuando la plataforma está por debajo del origen x<0, (figura de la izquierda) la aceleración a es positiva
- Cuando la plataforma está por encima del origen x>0, (figura de la derecha) la aceleración a es negativa
La segunda ley de Newton se escribe
N-mg=-mω2x
N=mg-mω2x
Como x<0 la reacción N es siempre mayor que el peso
La segunda ley de Newton se escribe
N-mg=-mω2x
N=mg-mω2x
Como x>0 la reacción N es siempre menor que el peso
La máxima aceleración se produce cuando la plataforma alcanza el punto de retorno x=A. La bolita permanecerá sobre la plataforma siempre que N>0, es decir siempre que
mg> mω2A o bien, que g>ω2A
Cuando N se hace cero la bolita deja de estar en contacto con la plataforma, esto se produce en la posición x0>0 tal que
g=ω2x0
En el instante t0 tal que
La velocidad de la plataforma y la inicial de la bolita son
v0=A·ωsin (ωt0)
La bolita se mueva baja la acción de la aceleración constante de la gravedad.
La bolita chocará repetidamente con la plataforma
Ejemplo.
Sea la amplitud A=0.1, la bolita se desprende de la plataforma si la frecuencia angular ω es mayor que ωc o el periodo P<Pc.
Si el periodo P=0.45 s, la frecuencia angular es ω=13.96 rad/s
La bolita se desprende en la posición x0=0.05 m
En el instante t0, tal que
x0=-0.1cos (ωt0), t0=0.15 s
La velocidad inicial de la bolita en dicho instante es
v0=0.1ωsin (ωt0)=1.21 m/s
Actividades
Se introduce
- El periodo del MAS que describe la plataforma, en el control titulado Periodo
- La amplitud del MAS de la plataforma se ha fijado en A=0.1 m
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos el movimiento de la bolita sobre la plataforma. A la derecha, la gráfica de la posición de la bolita (en color rojo) y de la plataforma (en color azul) en función del tiempo.
A la izquierda, las fuerzas sobre la bolita
- El peso, mg
- La reacción de la plataforma, N
Cuando la fuerza que ejerce la plataforma N se hace cero, la bolita despega de la plataforma.
Un bloque encima de otro unido a un muelle elástico
Un bloque de masa M está unido a un muelle de constante elástica k. Encima de este bloque se coloca otro de masa m. Supondremos que el bloque de masa M desliza sin rozamiento sobre el plano horizontal. Sin embargo, entre las superficies en contacto de ambos bloques hay rozamiento, el coeficiente estático es μs.
El sistema formado por los dos bloques y el muelle elástico parte del origen y describe un MAS de amplitud A. Su posición, x, velocidad v, y aceleración a, en función del tiempo t son

La aceleración a es de sentido contrario al desplazamiento x. Sobre el boque de masa m actúan las siguientes fuerzas:
- El peso, mg
- La reacción N de la superficie de contacto con el bloque de masa M, que es igual al peso
- La fuerza de rozamiento Fr, entre ambas superficies
De acuerdo a la segunda ley de Newton
Fr=m|a|=mω2x
A medida que se incrementa el desplazamiento x de los bloques, la fuerza de rozamiento Fr va aumentando hasta que alcanza el valor máximo μsN=μsmg en la posición x0
A partir del instante t0 tal que, x0=Asin(ωt0), la aceleración del boque de masa m es μsg y la aceleración del bloque de masa M es ω2x.
Suponiendo que a partir del instante t0, los bloques dejan de estar en contacto. El sistema formado por el bloque de masa M y el muelle elástico de constante k, describirá un Movimiento Armónico Simple de distinta frecuencia angular
Donde la nueva amplitud A1 y fase inicial φ1 se calculan a partir de las condiciones iniciales en el instante t0.
Actividades
Se introduce
- La masa M del bloque unido al muelle elástico, en el control titulado Masa M
- La masa del bloque que se coloca encima está fijada en m= 1 kg
- La constante elástica del muelle se ha fijado en k=20 N/m
- El coeficiente estático μs de rozamiento entre las superficies en contacto de ambos bloques en el control titulado Coef. rozamiento
- La amplitud del MAS se ha fijado en A=0.9 m
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Ejemplo
La masa del bloque M=6 kg, la masa del bloque que se coloca encima m=1 kg. El coeficiente estático μs=0.2
La posición en la que el bloque de masa m se cae es
que corresponde al instante t0=0.51 s, la velocidad de los bloques es v0=0.985 m/s
Cuando el bloque de masa m se ha caído, la frecuencia angular es mayor
La amplitud A1 del nuevo MAS es
En color rojo se representa el primer MAS de amplitud A y frecuencia angular ω y en color azul, el segundo MAS de amplitud A1 y frecuencia angular mayor ω1
Referencias
Último apartado
Lim Yung-kuo. Problems and Solutions on Mechanics. World Scientific (1994). Problem 1078, pp. 126-127