Elektromagnetismoa

Autoindukzioa 
eta elkar-indukzioa

Autoindukzioa.
R-L zirkuitua

Zirkuitu akoplatuak (I)

Zirkuitu akoplatuak (II)

Oszilazio elektrikoak

Kondentsadore-
bikotearen problema

K. alternoko zirkuitu
baten elementuak

Sistema elektro-
mekaniko oszilatzailea

Eraztun baten auto-
indukzioa neurtzea

LCR zirkuitua seriean
Erresonantzia

Argiaren abiadura
hutsean neurtzea

Faraday-ren legearen
efektu mekanikoak

Thomson-en eraztuna (I)

Thomson-en eraztuna (II)

Eraztunak jasandako indarra, autoindukzioa kontuan hartu gabe

Eraztuna R-L zirkuitu gisa, iturri alterno batean konektatua

Eraztunak jasandako batezbesteko indarra egoera egonkorrean

Saiakuntza

Esperimentuak. Adierazpen grafikoa

Erreferentziak

Solenoide bat korronte alternoko iturri batean konektatzen da eta burdinazko nukleo bat sartzen zaio. Eraztun eroale bat, a erradioduna, burdinazko nukleoaren inguruan zentratuta ipintzen da eta orekan flotatzen duela behatzen da. Oreka posizioan, z altueran, berdinak dira, eraztunaren pisua eta solenoideak eraztunean induzitutako korronteari eragiten dion indarra. Orri honetan ez da eraztunaren dinamika osoa aztertuko. Bai esango da indar magnetikoak eraztuna gorantz bultzatzen duela, eta are gorago iritsiko da eraztuna lehenago nitrogeno likidotan hozten bada. Orri honetan eremu magnetikoak eraztunari egindako indarra kalkulatuko da baina orekan dagoenean soilik.

Indarra dinamometro batez neur daiteke, edo dispositiboari buelta emanda eta eraztuna balantza zehatz batean etzaten bada, balantzak eremu magnetikoaren eta pisuaren batura neurtuko ditu. Irakur bitez erreferentziak atalean aipatzen diren artikuluak.

Faraday-ren legea

Solenoidean zehar korronte alternoa zirkulatzen ari da, eta korronte horrek sortzen duen eremu magnetikoa ere denborarekiko aldakorra da. Eremu horrek eraztunean zehar eragiten duen fluxua hau da:

F =M·I_s

Hemen M, solenoidearen eta eraztunaren arteko elkar-indukzio koefizientea da, I_s solenoideko korrontearen intentsitatea da eta denborarekiko honela adierazten da:

I_s=I_0s·sin(w t)

I_0s anplitudea da eta w maiztasun edo frekuentzia angeluarra: w =2p f. Esate baterako, sare elektriko komertzialak Europan f=50 Hz ditu eta Estatu Batuetan f =60 Hz.

Solenoidea finkoa bada, M elkar indukzio koefizientea eraztunaren a erradioaren eta z posizioaren menpekoa da soilik.

Faraday-ren legea aplikatuz eraztunean induzitutako indar elektroeragilea kalkulatzen da: V_a . Eta Lenz-en legea aplikatuz indar elektroeragilearen noranzkoa deduzitzen da, fluxuaren aldakuntzaren aurkakoa.

Eraztunak R erresistentzia badu korrontea induzituko da:  I_a

Eraztunak jasandako indarra, autoindukzioa kontuan hartu gabe

Eremu magnetikoaren eremu-lerroak nolakoak diren ikuskatzeko begira bedi solenoide batek sortutako eremu magnetikoa. Eremu magnetikoaren lerroak solenoidearen ardatzaren paraleloak dira barnean, eta kanpoan irudiak erakusten duen bezala zabaltzen dira. Solenoideak sortutako eremuak simetria zilindrikoa du, eta eraztuna dagoen z posizioan bi osagai baino ez ditu: bata Z ardatzaren norabidean, Bz , eta bestea norabide erradialean, Br .

Eraztunak jasandako indar magnetikoa hau da:

Ondorengo irudian ikusten da, dl korronte-elementu batek jasandako indarrak bi osagai dituela:

1. Bata Z ardatzaren norabidean:  dF_z= - I_a·B_r·dl¸ (I_a korrontea positiboa da erlojuaren orratzen aurkakoa denean, irudiak erakusten duen alderantzizkoa).
2. Bestea norabide erradialean, dF_r= - I_a·B_z·dl.

Indar totalerako, indar erradial guztiak bikoteka anulatzen dira, baina Z norabideko indarrak ordea, denak batzen dira. Beraz, solenoideak sortutako B eremu magnetikoak eraztunean induzitutako I_a  korronteari egiten dion indar totalak Z ardatzaren norabidea du eta bere modulua hau da:

Eremu magnetikoaren B_r osagaia, solenoideko I_s korrontearen proportzionala da, alegia sin(w t)-ren proportzionala, baina eraztuneko I_a korrontea ordea, –cos(w t)-ren proportzionala da. Orduan indarra sin(w t)·cos(w t) biderketaren proportzionala da, edo bestela esanda  F_z= c·sin(2w t), eta hemen c proportzionaltasun konstante bat baino ez da.

Hortaz, eraztunak jasaten duen indarraren batezbesteko balioa periodo oso batean, <F_z> , zero da:

Periodo erdiak irauten duen bitartean, P=p /w,  indarra erakarlea da eta beste periodo erdian aldaratzailea. Solenoideak eraztunari egiten dion indar netoa beraz, nulua da. Baina esperientziak erakusten du indar hori goranzkoa dela pisua orekatzea lortzen duelako.

Beraz eraztunaren lebitazio magnetikoaren fenomenoa aztertzeko Faraday-ren legea beharrezkoa da, baina ez da nahikoa azalpen osoa emateko.

Eraztuna R-L zirkuitu gisa i.e.e. alterno batean konektatuta

Aurreko atalean kalkulatu da, solenoideak eraztunari eragiten dion indar netoa nulua dela, indar erakarlea eta aldaratzailea berdinak direlako. Indar aldaratzailea erakarlea baino handiagoa izateko, eraztunean korronte induzituaren eta i.e.e-aren artean desfasea egon behar da. Horixe gertatuko da, eraztunak L autoindukzioa badu.

Demagun eraztuna R-L serie zirkuitua dela i.e.e alterno batean konektatuta eta  V_a = -V_0a cos(w t).

• Autoindukzioaren muturren artean potentzial-diferentzia aurreratuta dago intentsitatearekiko 90º , eta anplitudeen artean erlazioa hau da: V_L=I₀·w L.
• Erresistentziaren muturren artean potentzial-diferentzia fasean dago intentsitatearekin. Anplitudeen arteko erlazioa hau da:  V_R=I₀·R.

Goiko irudiak erakusten duenez, eraztuneko i.e.e, V_a , aurreratuta dago I_a intentsitatearekiko f  angelu bat.

Indar elektroeragilearen adierazpena eta induzitutako intentsitatea, denboraren menpe hauek dira:

Indar elektroeragilea solenoideak sortutakoa da, eta V_0a=M·I_0s·ω . Eta eraztunean induzitutako I_a intentsitatea, erlazio trigonometrikoak ordezkatuz, honela berridatz daiteke:

Eraztunak jasandako indarra kalkulatzeko, berriz ere, eremu magnetikoaren B_r osagaia bidertu behar da, eraztuneko I_a  intentsitatearekin: lehena sin(w t)-ren proportzionala da eta bigarrena –cos(w t-f )-ren proportzionala. Biderketa ondoko funtzio honen menpe geratuko da:

 f(t)= - sin(w t)·cos(w t-f )  . Funtzio horren batezbesteko balioa ere kalkulatu behar da:

• Lehen terminoa, sin(w t)·cos(w t), eraztuneko korrontearen atal bat da, alegia V_a-rekin fasean dagoena, eta beraz solenoideko korrontearekin 90º desfasatuta. Termino horrek sortzen duen indarrak 2w maiztasuna du eta bere batezbestekoa, periodo oso batean, nulua da, aurreko atalean erakutsi den bezala.
• Bigarren terminoa, sin(w t)·sin(w t), korrontearen atal induktibotik dator, 90º-ko desfasea du V_a-rekin, eta beraz fasean dago solenoideko intentsitatearekin. Termino horrek sortzen du, hain zuzen, eraztuna bultzatzen duen indarra.

Hortaz, eraztunak jasaten duen indarra, batezbestean, nulua izan ez dadin, nahitaez f  desfase bat egon behar da eraztuneko V_a indar elektroeragilearen eta I_a korronte induzituaren artean. Desfase hori eraztunaren L autoindukzioak eragiten du.

Adibidea:

Laborategian aluminiozko eraztun bat dago eta bere neurriak hauek dira: 62 mm diametroa, 15 mm luzera eta 1 mm lodiera. Eraztunaren erresistentzia elektrikoa ondoko formulaz baliatuz kalkula daiteke:

Aluminioaren erresistibitatea r =2.8·10-8 W ·m, S=(1 mm· 15 mm)=15·10-6 m2, eta  l=p ·62 mm=p ·62·10-3 m. Beraz, R=3.63·10-4 W .

Badago beste formula bat eraztunaren autoindukzio-koefizientea kalkulatzeko balio duena: eraztuna toroide-itxurakoa bada, D diametro nagusia eta sekzio zirkularra d diametroduna bada, orduan L autoindukzioa:

Eraztunaren sekzioa ez da zirkularra, laukizuzena baizik, baina azalera berdinarekin sekzio zirkularra balu bere diametroa hau izango litzateke: 15·1=πd2/4    d=4.37 mm

Indar elektroeragilearen frekuentzia f=50 Hz bada, ω=2πf=100π rad/s eta desfasea:

Eraztunak jasaten duen indarraren batezbesteko balioa, <F_z>, ondokoaren proportzionala da:  -(sinf)/2= - 0.05

Saiakuntza

Idatz bedi:

• Eraztunean aplikatutako i.e.e eta induzitutako intentsitatearen arteko f  desfasea gradutan.

Sakatu Irudia botoia.

Applet-ean hiru grafika adierazten dira.

1. Gainean, eremu magnetikoaren B_r osagaia, denboraren menpe. Solenoideko I_s  korrontearen proportzionala da, hau da, sin(w t)-ren proportzionala.

2. Erdiko grafikoan, bi magnitude: eraztunean aplikatzen den V_a indar elektroeragilea eta  intentsitatea. Izatez, V_a ,  –cos(w t)-ren proportzionala da eta intentsitatea f  gradu atzeratuta dago V_a-rekiko.
3. Azpian, ondoko biderketa adierazten da: eremu magnetikoa, B_r alegia, sin(w t)-ren proportzionala, eta eraztunean induzitutako I_a intentsitatea –cos(w t-f )-ren proportzionala. Gainera, indarraren batezbesteko balioa ere kalkulatzen da, <F_z>; azken hori -(sinf)/2-ren proportzionala da.

Eraztunean induzitutako korrontea. Zirkuituaren ekuazioa

Atal honetan eraztuneko I_a intentsitatea kalkulatuko da berriro, baina beste metodo alternatibo batez.

Kontsidera dezagun berriro eraztuna, R erresistentzia eta L autoindukzioa dituen zirkuitua dela eta iturri alterno batean konektatzen dela. Zirkuituaren ekuazioa honela idatz daiteke (indar elektroeragileen batura berdin intentsitatea bider erresistentzia) :

Ekuazio diferentzial horren soluzioa honelakoa da:

Lehen termino biak ekuazio diferentzialaren soluzio partikularra dira eta hirugarrena soluzio homogeneoa. C koefizientea hasierako baldintzen araberakoa da, baina ez da garrantzizkoa, denbora-tarte bat iragan ondoren bidertzen ari den esponentzialak zerorantz jotzen duelako. Beraz, soluzioaren termino hori iragankorra da. Gainera R>>L bada, denbora-tarte hori txikia da. Gainontzeko beste bi terminoak egonkorrak dira:  I_a=Acos(w t)+ Bsin(w t). Soluzio hori ekuazio diferentzialean ordezkatuz A eta B koefizienteak kalkula daitezke.

Eraztunak jasandako batezbesteko indarra egoera egonkorrean.

Lehenago aipatu denez, a erradiodun eraztun batek jasandako indarra hau da:  F_z= - 2p a·I_a·B_r.

Solenoideak sortutako B_r eremua eraztuna dagoen tokian, z posizioan alegia, solenoideko I_s korrontearen proportzionala da:

B_r=k(z)·I_s.     k(z), proportzionaltasun konstantea, beherakorra izan behar da z-rekiko.

Solenoidea finkoa bada, orduan bien arteko elkar-indukzio M koefizientea ere z posizioaren menpekoa izango da soilik, eta beherakorra. Guztira, indarra honela idatz daiteke:

Azter dezagun batezbesteko <F_z> indarraren menpekotasuna hiru parametroekiko: solenoideko I_s  intentsitatea, w maiztasuna eta z distantzia:

• Batezbesteko <F_z> indarraren menpekotasuna, solenoideko I_s  intentsitatearekiko:

Batezbesteko <Fz> indarra, solenoideko intentsitatearen I0s  anplitudearen karratuaren proportzionala da.

• Batezbesteko <F_z> indarraren menpekotasuna, solenoideko korrontearen w  maiztasunarekiko:

Batezbesteko indarraren adierazpenean, maiztasuna parentesiaren barruan bi tokitan agertzen da. Azter ditzagun limiteak:

Maiztasuna txikia denean R/L-rekin konparatuta, batezbesteko indarra w maiztasunaren karratuaren proportzionala da, eta R erresistentziaren karratuaren alderantziz proportzionala. Maiztasuna handia denean R/L-rekin konparatuta, batezbesteko indarra konstantea da eta gainera eraztunaren R erresistentziaren independientea.

• Batezbesteko <F_z> indarraren menpekotasuna, solenoidearen eta eraztunaren arteko z distantziarekiko:

Batezbesteko <Fz> indarra beherakorra da z distantziarekiko bi aldetik: M(z) elkar-indukzio koefizientea beherakorra delako eta gainera eremuaren k(z) proportzionaltasun konstantea ere beherakorra delako. Beraz indarra ere beherakorra baina, biderketagatik, bizkorrago.

Saiakuntza

Orri honetako programa interaktiboan, solenoidearen ordez, bobina estu bat erabili da, berak sortzen duen eremu magnetikoa kalkulatzea  errazagoa delako. Esperimentu osoa kualitatiboki berdina da, eta ez du emaitza aldatzen.

Bobinak 100 espira ditu eta eraztuna z altueran dago. Bobinak eraztunari egiten dion indarra kalkulatzen da, euren arteko z distantzia aldatuz; horretarako, applet-aren ezkerraldeko gezi horizontal urdina saguarekin mugitu behar da.

Idatzi:

• Bobinako korronte alternoaren f  frekuentzia.
• Bobinako korronte alternoaren intentsitatearen anplitudea, I_s0 , Intentsitatea laukian.
• Eraztunaren R erresistentzia (10^-4 Ω-ko unitateetan).
• Eraztunaren L autoindukzioa  (10^-7 H unitateetan).

Berria botoia klikatu datu guztiak onartzeko eta gero Hasi botoia animazioa hasteko.

Eraztuna zein materialez eginda dagoen jakinda, eta neurrien arabera, bere erresistentzia eta autoindukzioa kalkula daitezke, baina programa interaktiboan magnitude bi hauek zuzenki tekleatzen dira, aukera gehiago frogatzeko, alegia, eraztunak erresistentziarik ez duen kasua edo autoindukziorik ez duena.

Programak eraztunaren korrontea kalkulatzen du eta grafikoan adierazten ditu intentsitatea eta indarra. Beraz, indar magnetikoa nola aldatzen den beha daiteke parametro ezberdinak aldatzerakoan.

Programak kargen higidura adierazten du, bai solenoidean (puntu urdinez) zein eraztunean (puntu gorriez), eta horrela korronte induzituaren noranzkoa egiazta daiteke.

Eskumako aldean grafikoki adierazten dira, denboraren menpe, solenoideko korrontearen intentsitatea (urdinez) eta eraztuneko korrontearen intentsitatea (gorriz). Intentsitateak laukia desaktibatzen bada, grafikoan eraztunak jasandako indarra bakarrik adierazten da.

Bai eraztunean induzitutako intentsitatea, zein indarra, asko alda daitezke parametro ezberdinak aldatzean. Horregatik, grafikoa leihatilatik irten ez dadin, bere ardatz bertikala egokitu daiteke Eskalak laukiaren bitartez.

Esperimentuak. Adierazpen grafikoak

1. Eraztunak jasandako indarra, solenoideko intentsitatearen I_0s  anplitudearen  menpe.

Egiazta bedi eraztunak jasandako batezbesteko <F_z>  indarra, solenoideko intentsitatearen I_0s  anplitudearen karratuaren proportzionala dela.

2. Batezbesteko <F_z> indarra, solenoideko korrontearen f  maiztasunaren menpe:

Laborategian egiten den esperimentuan 50 Hz erabiltzen dira, baina programa honetan maiztasuna asko alda daiteke: 10 Hz-tik 150 Hz-raino. Egiazta bedi indarra maiztasunaren karratuarekin hazten dela maiztasuna txikia denean, baina balio konstante batera jotzen duela maiztasuna handia denean.

3. Batezbesteko <F_z> indarra, solenoidearen eta eraztunaren arteko z distantziaren menpe:

Elkar-indukzio koefizientea, M, beherakorra da z distantziarekiko. Solenoideak sortutako eremu magnetikoa ere, B_r, beherakorra da z-rekiko. Magnitude hauek biak ez dira erraz kalkulatzen, eta z-rekiko adierazpenak konplikatuak dira, baina indarrak bi parametroen biderketa du, eta egiazta daiteke oso bizkor gutxitzen dela z distantziarekiko.

Ondorengo applet-ean grafikoki adieraz daiteke, batezbesteko <F_z> indarraren menpekotasuna aurretik aipatu diren hiru parametroekiko: solenoideko I_s  intentsitatea, w maiztasuna eta z distantzia.

Ezkerreko taulan aurreko esperimentuan lortutako emaitzak idatzi behar dira, eta eskuinean grafikoa irudikatzen da.

Grafikoaren Y ardatzean beti adierazten da batezbesteko indarra <F_z>, eta grafikoaren X ardatzean hiru parametrook aukera daitezke:

• Solenoideko korrontearen intentsitatearen anplitudea: I_s0.
• Solenoideko korronte alternoaren frekuentzia: f  (w =2p f) .
• Solenoidearen eta eraztunaren arteko distantzia:  z .

Lehenik aukeratu bedi hiru hauetako parametro bat, dagokion botoia klikatzen, eta ondoren bete bedi taula, aurreko programaren emaitzekin: X ardatzeko datuetan (ezkerreko zutabea) aukeratu den parametroa, eta eskumako zutabean <F_z> indarra.

Datuok idatzita daudenean klika bedi Grafika botoia.

Lortzen diren adierazpen grafikoak aurreko atalean erakutsi direnen antzekoak izan behar dira, alegia Eraztunak jasandako batezbesteko indarra egoera egonkorrean.